中考数学一轮复习：专题23.6 解直角三角形章末九大题型总结（拔尖篇）（沪科版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习：专题23.6 解直角三角形章末九大题型总结（拔尖篇）（沪科版）（解析版），共71页。

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\l "_Tc25597" 【题型1 构建直角三角形求锐角三角函数值】 PAGEREF _Tc25597 \h 1
\l "_Tc32654" 【题型2 用等角转换法求锐角三角函数值】 PAGEREF _Tc32654 \h 7
\l "_Tc21021" 【题型3 锐角三角函数与相似三角形的综合应用】 PAGEREF _Tc21021 \h 13
\l "_Tc17309" 【题型4 锐角三角函数与圆的综合应用】 PAGEREF _Tc17309 \h 18
\l "_Tc26825" 【题型5 解非直角三角形】 PAGEREF _Tc26825 \h 26
\l "_Tc11437" 【题型6 巧设辅助未知数解直角三角形】 PAGEREF _Tc11437 \h 32
\l "_Tc9593" 【题型7 构造直角三角形进行线段或角的计算】 PAGEREF _Tc9593 \h 41
\l "_Tc4507" 【题型8 解直角三角形与圆的综合应用】 PAGEREF _Tc4507 \h 50
\l "_Tc7632" 【题型9 构造直角三角形解决实际问题】 PAGEREF _Tc7632 \h 60
【题型1 构建直角三角形求锐角三角函数值】
【例1】（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，∠C=90°，E为边BC上的点，△ADE为等边三角形，BE=8，CE=2，则tan∠AEB的值为（ ）

A．375B．275C．335D．435
【答案】C
【分析】作EF⊥AB于点F，AH⊥BE于点H，解直角△BEF，得出BF=12BE=4，证明△AEF≌△EDC，得出AF=EC=2，再求出AH=33，HE=5，然后利用正切函数定义即可求解．
【详解】如图，作EF⊥AB于点F，AH⊥BE于点H，

∵∠B=60°，BE=8，
∴∠BEF=90°−∠B=30°，
∴BF=12BE=4．
∵△ADE为等边三角形，
∴∠AED=60°，AE=DE，
∵∠BAE+∠B+∠AEB=180°，∠DEC+∠AED+∠AEB=180°，
∴∠BAE=∠DEC，
在△AEF与△EDC中，
∠EAF=∠DEC∠AFE=∠CAE=ED，
∴△AEF≌△EDCAAS，
∴AF=EC=2，
∴AB=AF+BF=2+4=6，
∵∠AHB=90°，∠BAH=90°−∠B=30°，
∴BH=12AB=3，AH=3BH=33，
∴HE=BE−BH=8−3=5，
∴tan∠AEH=AHHE=335．
故选：C．
【点睛】此题考查了解直角三角形，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义等知识，准确作出辅助线，构造全等三角形以及直角三角形是解题的关键．
【变式1-1】（2023春·湖北襄阳·九年级统考期中）如图，在△ABD中，∠A=90°，若BE=mAC，CD=mAB，连接BC、DE交于点F，则cs∠BFE的值为 ．
【答案】m2+1m2+1
【分析】过C作CG⊥BC，过D作DG⊥AD，如图所示，先证明△ABC∽△DCG，得到BE=ma=DG，从而判定四边形BEDG是平行四边形，进而ED∥BG，得到∠BFE=∠CBG，在Rt△ABC中，BC=a2+b2；在Rt△CDG中，GC=ma2+b2；在Rt△BCG中，BG=BC2+CG2=1+m2a2+b2，即可得到cs∠BFE=cs∠CBG=BCBG=a2+b21+m2a2+b2=m2+1m2+1．
【详解】解：过C作CG⊥BC，过D作DG⊥AD，如图所示：
∴DG∥AB，∠BCG=90°，∠CDG=90°，
∵ ∠A=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∵∠BCG=90°，
∴∠ACB+∠DCG=90°，
∴∠ABC=∠DCG，
∴△ABC∽△DCG，
∴ABDC=ACDG，
∵ BE=mAC，CD=mAB，
设AC=a,AB=b，则BE=ma,CD=mb，则bmb=aDG，解得DG=ma，
∴BE=ma=DG，
∵BE∥DG，
∴四边形BEDG是平行四边形，
∴ ED∥BG，
∴ ∠BFE=∠CBG，
在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=a,AB=b，则BC=a2+b2，
在Rt△CDG中，∠CDG=90°，BE=ma,CD=mb，则GC=ma2+b2，
在Rt△BCG中，∠BCG=90°，则BG=BC2+CG2=1+m2a2+b2 cs∠BFE=cs∠CBG=BCBG=a2+b21+m2a2+b2=m2+1m2+1，
故答案为：m2+1m2+1．
【点睛】本题考查求三角函数值，涉及相似三角形判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理及余弦函数定义，准确构造辅助线，熟练运用相似三角形判定与性质是解决问题的关键．
【变式1-2】（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G．若AGGE=73，则tanA= ．

【答案】377
【分析】过点G作GM⊥DE于M，证明△DGE∽△CGD，得出DG2=GE×GC，根据AD∥GM，得AGGE=73=DMME，设GE=3,AG=7，EM=3n，则DM=7n，则EC=DE=10n，在Rt△DGM中，GM2=DG2−DM2，在Rt△GME中，GM2=GE2−EM2，则DG2−DM2=GE2−EM2，解方程求得n=34，则EM=94，GE=3，勾股定理求得GM，根据正切的定义，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点G作GM⊥DE于M，

∵CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥BC
∴∠1=∠2,∠2=∠3
∴∠1=∠3
∴ED=EC
∵折叠，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠4,
又∵∠DGE=∠CGD
∴△DGE∽△CGD
∴DGCG=GEDG
∴DG2=GE×GC
∵∠ABC=90°，DE∥BC，则AD⊥DE，
∴AD∥GM
∴AGGE=DMME，∠MGE=∠A，
∵AGGE=73=DMME
设GE=3,AG=7，EM=3n，则DM=7n，则EC=DE=10n，
∵DG2=GE×GC
∴DG2=3×3+10n=9+30n
在Rt△DGM中，GM2=DG2−DM2
在Rt△GME中，GM2=GE2−EM2
∴DG2−DM2=GE2−EM2
即9+30n−7n2=32−3n2
解得：n=34
∴EM=94，GE=3
则GM=GE2−ME2=32−942=374
∴tanA=tan∠EGM=MEMG=94374=377
故答案为：377．
【点睛】本题考查了求正切，折叠的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式1-3】（2023春·江苏常州·九年级校考期末）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=4，AD是BC边上的高，将△ABC绕点C旋转到△EFC（点E、F分别与点A、B对应），点F落在线段AD上，连接AE，则cs∠EAF= ．
【答案】21−2310
【分析】过点E作EG⊥AD于点G，结合旋转的性质可求cs∠FCD=CDCF=12，进而可证△ACE是等边三角形，可求出AD=21−23，即可求解．
【详解】解：如图，过点E作EG⊥AD于点G，
∵将△ABC绕点C旋转，点B落在线段AD上的点F处，
∴CF=BC=4，CE=EF=AB=5，∠ACB=∠ECF，AC=EC，
∴∠FCD+∠ACF=∠ACE+∠ACF，
∴∠FCD=∠ACE；
∵AB=AC，AD是BC边上的高，
∴CD=12BC=2，
∴cs∠FCD=CDCF=24=12，
∴∠FCD=60°，
∴DF=CF•sin∠FCD =4×32=23，
∴∠ACE=∠FCD=60°，
∵AC=EC，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE=EF=5，
∴在Rt△ACD中
AD=AC2−CD2 =52−22=21，
∴AF=AD−DF =21−23，
∵AE=EF，EG⊥AD，
∴AG=12AF=21−232，
∴cs∠EAF=AGAE =21−2325 =21−2310．
故答案为：21−2310．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形“三线合一”，等边三角形的判定及性质，特殊角的三角函数等，掌握相关性质及定理，构建直角三角形是解题的关键．
【题型2 用等角转换法求锐角三角函数值】
【例2】（2023秋·江苏常州·九年级统考期末）已知点P在△ABC内，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC、△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称点P为△ABC的自相似点，如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，如果点P为直角△ABC的自相似点，那么tan∠ACP= ．
【答案】512
【分析】先找到Rt△ABC的内相似点，再根据三角函数的定义计算tan∠ACP即可．
【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=12，BC=5，
∴∠CAB0)，先根据余弦三角函数得出BE的长，再根据等腰三角形的三线合一可得BB′的长，从而可得AB′的长，然后根据旋转的性质可得A′C=4a，∠A=∠A′，最后根据相似三角形的判定与性质可得B′DCD=AB′A′C，由此即可得出答案．
【详解】如图，过点C作CE⊥AB于点E
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，csB=BCAB=35
∴可设BC=3a(a>0)，则AB=5a，AC=AB2−BC2=4a
∴△BCB′是等腰三角形
∴BB′=2BE（等腰三角形的三线合一）
由旋转的性质可知，B′C=BC=3a,A′C=AC=4a，∠A=∠A′
在Rt△BCE中，csB=BEBC，即BE3a=35
解得BE=9a5
∴BB′=2BE=18a5
∴AB′=AB−BB′=5a−18a5=7a5
在△AB′D和△A′CD中，∠A=∠A′∠ADB′=∠A′DC
∴△AB′D∼△A′CD
∴B′DCD=AB′A′C=7a54a=720
故选：B．

【点睛】本题考查了余弦三角函数、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、旋转的性质等知识点，通过作辅助线，运用余弦三角函数求出BE的长是解题关键．
【变式3-3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝12，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值是（ ）
A．25+34B．25+1C．25+32D．25＋2
【答案】B
【分析】过点A作∠DAP=∠BAC，过点D作AD⊥DP交AP于点P，分别求出PD，PC，在△PDC中，利用三角形的三边关系即可求出CD长的最大值．
【详解】解：如图，过点A作∠DAP=∠BAC，过点D作AD⊥DP交AP于点P，
∵∠ABC=90°，tan∠BAC=12，
∴tan∠DAP=tan∠BAC=12，
∴DPAD=12，
∵AD=2，
∴DP=1，
∵∠DAP=∠BAC，∠ADP=∠ABC，
∴△ADP∽△ABC，
∴APAC=ADAB，
∵∠DAB=∠DAP+∠PAB，∠PAC=∠PAB+∠BAC，∠DAP=∠BAC，
∴∠DAB=∠PAC，APAC=ADAB，
∴△ADB∽△APC，
∴ADAP=DBPC，
∵AP=AD2+DP2=22+12=5，
∴PC=AP⋅DBAD=5×42=25，
∴PD+PC=1+25，PC−PD=25−1，
在△PDC中，∵PD+PC>DC，PC−PD