2024年陕西省中考数学模拟试卷50

这是一份2024年陕西省中考数学模拟试卷50，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
3的相反数是（ ）
A. -3 B。 C。 3 D。
2.如图，是由棱长都相等的四个小正方体组成的几何体.该几何体的左视图是
3.下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2 ＝a6 B．a7÷a3 ＝a4 C．（﹣3a）2 ＝﹣6a2 D．（a﹣1）2＝a2 ﹣1
4. 如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若∠2＝35°，则∠1的度数为（ ）
A．45° B．55°
C．65°D．75°
5.在面直角坐标系中，一次函数y=x-1的图象是（ ）

A B C D
6.正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，正六边形的周长是12 ，则 ⊙O 的半径是( )
A．B．2
C．D．
7.点P (m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（ ）
A．B．4C．﹣D．﹣
8.如图，在正方形中，对角线相交于点O，点E在BC边上，且，连接AE交BD于点G，过点B作于点F，连接OF并延长，交BC于点M，过点O作交DC于占N，，现给出下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（ ）
①②③B．②③④
C．①②④D．①③④
二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，计 15 分）
9. 分解因式3x2－27y2＝ .
10.如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC＝ 度．
（10题图） （11题图）
11.如图，已知锐角三角形ABC内接于半径为2的⊙O，OD⊥BC于点D，∠BAC＝60°，则OD＝ ．
12.如图，在平面直角坐标系中，函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象与等边三角形OAB的边OA，AB分别交于点M，N，且OM＝2MA，若AB＝3，那么点N的横坐标为 ．
13.由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点，连结，延长交于点．若，则的值为
三、解答题（共 13 小题，计 81 分．解答应写出过程）
14.
15.解分式方程：
16．先化简，再求值: ,其中.
17.如图，点M和点N在∠AOB内部．
（1）请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；
18.如图，在四边形中，与相交于点E．求证：．
19.某校举行了“文明在我身边”摄影比赛.已知每幅参赛作品成绩记为分(60≤x≤100).校方从600幅参赛作品中随机抽取了部分参赛作品，统计了它们的成绩，并绘制了如下不完整的统计图表.
根据以上信息解答下列问题：
(1)统计表中的值为；样本成绩的中位数落在分数段中；
(2)补全频数分布直方图；
(3)若80分以上(含80分)的作品将被组织展评，试估计全校被展评作品数量是多少？


《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价值是多少？该问题中物品的价值是多少钱？
21.如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A－B－D的路线可至山顶D处，假设AB和BD都是直线段，且AB ＝BD＝600m，α＝75°，β＝45°，求DE的长。
（参考数据，sin75°0.97，cs75°0.26，）
22.为落实“垃圾分类”，环卫部门要求垃圾要按A,B,C三类分别装袋,投放，其中A类指废电池,过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料,废纸等可回收垃圾.甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾，这两袋垃圾不同类.
(1)直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率；
(2)求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率.
23.某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．
方案一：没有底薪，只付销售提成；
方案二：底薪加销售提成．
如图中的射线，射线分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资（单位：元）和（单位：元）与其当月鲜花销售量x（单位：千克）（）的函数关系．
（1）分别求﹑与x的函数解析式（解析式也称表达式）；
（2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资超过2000元．这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？
24.如图，在Rt中，，是的平分线，以为直径的交边于点E，连接，过点D作，交于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求线段的长．
25.已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点（2，﹣1），经过点（0，3），且与直线y＝x﹣1交于A，B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在抛物线上恰好存在三点Q，M，N，满足S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S，求S的值；
26.问题提出 如图（1），在和中，，，，点在内部，直线与交于点，线段，，之间存在怎样的数量关系？
问题探究 （1）先将问题特殊化．如图（2），当点，重合时，直接写出一个等式，表示，，之间的数量关系；
（2）再探究一般情形．如图（1），当点，不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展 如图（3），在和中，，，（是常数），点在内部，直线与交于点，直接写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系．
2024 年陕西省中考数学试卷
一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，计 24 分．每小题只有一个选项是符合题意的）
3的相反数是（ ）
A. -3 B。 C。 3 D。
【答案】A
【解析】符号相反的两个数互为相反数
【知识点】相反数
2.如图，是由棱长都相等的四个小正方体组成的几何体.该几何体的左视图是
【答案】B
【解析】直接利用三视图的画法，从左边观察，可画．
【知识点】组合体的三视图
3.下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2 ＝a6 B．a7÷a3 ＝a4 C．（﹣3a）2 ＝﹣6a2 D．（a﹣1）2＝a2 ﹣1
【答案】B
【解析】解：A、原式＝a5，不符合题意；
B、原式＝a4，符合题意；
C、原式＝9a2，不符合题意；
D、原式＝a2﹣2a+1，不符合题意，
故选：B．
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；完全平方公式
4. 如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若∠2＝35°，则∠1的度数为（ ）
A．45° B．55°
C．65°D．75°
【答案】B
【解析】解：如图，
作EF∥AB∥CD，
∴∠2＝∠AEF＝35°，∠1＝∠FEC，
∵∠AEC＝90°，
∴∠1＝90°﹣35°＝55°，
故选：B．
【知识点】平行线的性质
5.在面直角坐标系中，一次函数y=x-1的图象是

A B C D
答案：B，
解析：根据“一次函
数图象性质”，通过一次函数解析式y=x-1即能确定图象，k＞0函数经过第一、三象限，b=-1＜0函数经过第四象限，所以答案选B．
6.正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，正六边形的周长是12 ，则 ⊙O 的半径是( )
A．B．2
C．D．
答案：B，解析：根据“正六边形性质：各边相等，各角都相等；圆的内接正六边形性质”，连接OA、OF，则△OFA为等边三角形，圆半径都相等．
7.点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（ ）
A．B．4C．﹣D．﹣
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，可以得到a的值以及m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可求出m﹣n的最大值．
【详解】
解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，
∴a＝0，
∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣）2﹣，
∴当m＝时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
8.如图，在正方形中，对角线相交于点O，点E在BC边上，且，连接AE交BD于点G，过点B作于点F，连接OF并延长，交BC于点M，过点O作交DC于占N，，现给出下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
【答案】D
【解析】
【分析】
①直接根据平行线分线段成比例即可判断正误；
②过点O作交AE于点H，过点O作交BC于点Q，过点B作交OM的延长线于点K，首先根据四边形MONC的面积求出正方形的边长，利用勾股定理求出AE,AF,EF的长度，再利用平行线分线段成比例分别求出OM,BK的长度，然后利用即可判断；
③利用平行线分线段成比例得出，然后利用勾股定理求出OM的长度，进而OF的长度可求；
④直接利用平行线的性质证明，即可得出结论．
【详解】
如图，过点O作交AE于点H，过点O作交BC于点Q，过点B作交OM的延长线于点K，
∵四边形ABCD是正方形，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
∴，
，
．
，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，故①正确；
，
，
．
，
，
，故④正确；
，
，
，故③正确；
，
即，
∴ ，
，故②错误；
∴正确的有①③④，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查四边形综合，掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例和锐角三角函数是解题的关键．
二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，计 15 分）
9. 分解因式3x2－27y2＝ .
【答案】3（x+3y）（x-3y）
【解析】先提取公因数3，然后利用平方差公式进行分解，即3x2－27y2＝3（x2－9y2）＝3（x+3y）（x-3y）。
【知识点】因式分解
10.如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC＝ 30 度．
【分析】由于六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，所以这个六边形是正六边形，先算出正六边形每个内角的度数，即可求出∠ABC的度数．
【解析】正六边形的每个内角的度数为：(6−2)⋅180°6=120°，
所以∠ABC＝120°﹣90°＝30°，
故答案为：30．
11.如图，已知锐角三角形ABC内接于半径为2的⊙O，OD⊥BC于点D，∠BAC＝60°，则OD＝ 1 ．
【分析】连接OB和OC，根据圆周角定理得出∠BOC的度数，再依据等腰三角形的性质得到∠BOD的度数，结合直角三角形的性质可得OD．
【解析】连接OB和OC，
∵△ABC内接于半径为2的⊙O，∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝120°，OB＝OC＝2，
∵OD⊥BC，OB＝OC，
∴∠BOD＝∠COD＝60°，
∴∠OBD＝30°，
∴OD=12OB＝1，
故答案为：1．
12.如图，在平面直角坐标系中，函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象与等边三角形OAB的边OA，AB分别交于点M，N，且OM＝2MA，若AB＝3，那么点N的横坐标为 ．
【答案】3+52
【解析】解：过点A、M分别作AC⊥OB，MD⊥OB，垂足为C、D，
∵△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝3，∠AOB＝60°
∵又OM＝2MA，
∴OM＝2，MA＝1，
在Rt△MOD中，
OD=12OM＝1，MD=22−12=3，
∴M（1，3）；
∴反比例函数的关系式为：y=3x
在Rt△MOD中，
OC=12OA=32，AC=32−(32)2=332，
∴A（32，332），
设直线AB的关系式为y＝kx+b，把A（32，332），B（3，0）代入得：
3k+b=032k+b=332 解得：k=−3，b=33，
∴y=−3x+33；
由题意得：y=−3x+33y=3x 解得：x=3±52，
∵x＞32，
∴x=3+52，
故点N的横坐标为：3+52
【知识点】反比例函数的图象；等边三角形的性质
由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点，连结，延长交于点．若，则的值为
【答案】
【分析】
如图，设BH交CF于P，CG交DF于Q，根据题意可知BE=PC=DF，AE=BP=CF，根据可得BE=PE=PC=PF=DF，根据正方形的性质可证明△FDG是等腰直角三角形，可得DG=FD，根据三角形中位线的性质可得PH=FQ，CH=QH=CQ，利用ASA可证明△CPH≌△GDQ，可得PH=QD，即可得出PH=BE，可得BH=，利用勾股定理可用BE表示长CH的长，即可表示出CG的长，进而可得答案．
【详解】
如图，设BH交CF于P，CG交DF于Q，
∵由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形，
∴BE=PC=DF，AE=BP=CF，
∵，
∴BE=PE=PC=PF=DF，
∵∠CFD=∠BPC，
∴DF//EH，
∴PH为△CFQ的中位线，
∴PH=QF，CH=HQ，
∵四边形EPFN是正方形，
∴∠EFN=45°，
∵GD⊥DF，
∴△FDG是等腰直角三角形，
∴DG=FD=PC，
∵∠GDQ=∠CPH=90°，
∴DG//CF，
∴∠DGQ=∠PCH，
在△DGQ和△PCH中，，
∴△DGQ≌△PCH，
∴PH=DQ，CH=GQ，
∴PH=DF=BE，CG=3CH，
∴BH=BE+PE+PH=，
在Rt△PCH中，CH==，
∴CG=BE，
∴．
故为：
【点睛】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
三、解答题（共 13 小题，计 81 分．解答应写出过程）
14.
【思路分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解题过程】原式＝1+﹣1﹣2×+3＝3．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；绝对值；特殊角的三角函数值
15.解分式方程：
【思路分析】本题考查了分式方程的解法，去分母将分式方程化为整式方程，然后解这个整式方程，求出的解要代入最简公分母中进行检验．
【解题过程】解：方程两边同时乘以（3+x）（3－x）得9（3－x）＝6（3+x），
整理得15 x＝9，解得x＝，
经检验，x＝是原分式方程的解，所以原分式方程的解为x＝．
【知识点】分式方程的解法；
16．先化简，再求值: ,其中.
【思路分析】根据分式的运算法则先对括号内的通分计算，再用分式除法化为乘法进行计算．
【解题过程】原式＝÷＝•＝，∵|x|＝2时，∴x＝±2，由分式有意义的条件可知：x＝2，∴原式＝3．
【知识点】绝对值；分式的化简求值
17.如图，点M和点N在∠AOB内部．
（1）请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；
【思路分析】∠AOB的角平分线上的点到角两边的距离相等，到点M和N的距离相等的点在线段MN的垂直平分线上；
【解题过程】
(1)
画出∠AOB的角平分线，画出线段MN的垂直平分线，两者的交点就得到P点．
【知识点】角平分线的判定和画法；垂直平分线的判定和画法；
18.如图，在四边形中，与相交于点E．求证：．
【答案】见解析
【分析】
直接利用SSS证明△ACD≌△BDC，即可证明．
【详解】
解：在△ACD和△BDC中，
，
∴△ACD≌△BDC（SSS），
∴∠DAC=∠CBD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意灵活运用SSS的方法．
19.某校举行了“文明在我身边”摄影比赛.已知每幅参赛作品成绩记为分(60≤x≤100).校方从600幅参赛作品中随机抽取了部分参赛作品，统计了它们的成绩，并绘制了如下不完整的统计图表.
根据以上信息解答下列问题：
(1)统计表中的值为；样本成绩的中位数落在分数段中；
(2)补全频数分布直方图；
(3)若80分以上(含80分)的作品将被组织展评，试估计全校被展评作品数量是多少？
思路分析：（1）根据统计表中频率的和为1可求解的值，然后根据安从小到大排列的数据，找到中间一个或两个的平均数即可判断样本成绩的中位数落在的分数段，（2）分别求出a、b的值，然后补全频数分布直方图，（3）根据80分以上的频率求出估计值即可，
解：(1)，70≤x＜80.
(2)画图如图；
(3)600×（0.24+0.06）=180 (幅)

答：估计全校被展评的作品数量是180幅．
20.《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价值是多少？该问题中物品的价值是多少钱？
【答案】53
【分析】
设人数为，再根据两种付费的总钱数一样即可求解．
【详解】
解：设一共有人
由题意得：
解得：
所以价值为：（钱）
故答案是：53．
【点睛】
本题考察一元一次方程的应用，难度不大，属于基础题型．解题的关键是找准等量关系并准确表示．
21.如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A－B－D的路线可至山顶D处，假设AB和BD都是直线段，且AB ＝BD＝600m，α＝75°，β＝45°，求DE的长。
（参考数据，sin75°0.97，cs75°0.26，）
思路分析：分别在Rt△ABC和Rt△BDF中，运用解直角三角形的知识求得BC和DF的近似值，再根据线段的和差求DE．
解：在Rt△ABC中，∵csα＝，∴BC＝AB·csα≈600×0．26＝156(m)；
在Rt△BDF中，∵sinβ＝，∴DF＝BD·sinβ＝(m)．
又EF＝BC＝156(m)，∴DE＝DF＋EF≈423＋156＝579(m)．
22.为落实“垃圾分类”，环卫部门要求垃圾要按A,B,C三类分别装袋,投放，其中A类指废电池,过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料,废纸等可回收垃圾.甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾，这两袋垃圾不同类.
(1)直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率；
(2)求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率.
思路分析：(1)根据垃圾总共有三种，A类只有一种可直接求概率，（2）列出树状图，然后求出能出现的所有可能，及符合条件的可能，根据概率公式求解即可，
解：(1)甲投放的垃圾恰好是A类的概率是.
(2)列出树状图如图所示：
由图可知，共有18种等可能结果，其中乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的结果有12种.
所以，(乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类).
即，乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率是．
23.某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．
方案一：没有底薪，只付销售提成；
方案二：底薪加销售提成．
如图中的射线，射线分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资（单位：元）和（单位：元）与其当月鲜花销售量x（单位：千克）（）的函数关系．
（1）分别求﹑与x的函数解析式（解析式也称表达式）；
（2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资超过2000元．这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？
【答案】（1），；（2）
【分析】
（1）根据图像中l1和l2经过的点，利用待定系数法求解即可；
（2）分别根据方案一和方案二列出不等式组，根据解集情况判断即可．
【详解】
解：（1）根据图像，l1经过点（0，0）和点（40，1200），
设的解析式为，则，
解得：，
∴l1的解析式为，
设的解析式为，
由l2经过点（0，800），（40，1200），
则，解得：，
∴l2的解析式为；
（2）方案一：，即，
解得：；
方案二：，即，即，无解，
∴公司没有采用方案二，
∴公司采用了方案一付给这名销售人员3月份的工资．
【点睛】
本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是结合图像，求出两种方案对应的解析式．
24.如图，在Rt中，，是的平分线，以为直径的交边于点E，连接，过点D作，交于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求线段的长．
【答案】（1）证明见详解；（2）．
【分析】
（1）先根据圆周角定理、角平分线定义、平行线性质证明∠EAD=∠FDE，再根据AD为直径，得到∠ADE+∠DAE=90°，进而得到AD⊥FD，问题得证；
（2）先求出DE=3，证明△AED≌△ACD，得到DE=DC=3，BC=BD+CD=8，解Rt中求出AC=6，进而得到AE=6，求出,证明△ADE∽△AFD，得到，即可求出．
【详解】
解：（1）证明：连接DE，
∵
∴∠CAD=∠CED，
∵ 是的平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
∴∠CED=∠EAD，
∵，
∴∠CED=∠FDE，
∴∠EAD=∠FDE，
∵AD为直径，
∴∠AED=∠ACD=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠ADE+∠FDE=90°，
即AD⊥FD，
又∵为直径，
∴是的切线；
（2）∵∠AED=90°，
∴∠BED=90°，
∴,
∵∠AED=∠ACD，∠DAE=∠DAC，AD=AD，
∴△AED≌△ACD，
∴DE=DC=3，
∴BC=BD+CD=8，
在Rt中，∵，
∴设AC=3x，AB=5x，
∴，
∵x＞0，
∴x=2，
∴AB=5x=10，AC=3x=6，
∵△AED≌△ACD，
∴AE=AC=6，
∴在Rt△ADE中，,
∵∠EAD=∠DAF，∠AED=∠ADF=90°，
∴△ADE∽△AFD，
∴，
即 ,
∴．
【点睛】
本题为圆的综合题，考查了切线的判定，圆的性质，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识，根据题意添加辅助线，熟知圆的性质，利用三角函数解直角三角形是解题关键．
25.已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点（2，﹣1），经过点（0，3），且与直线y＝x﹣1交于A，B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在抛物线上恰好存在三点Q，M，N，满足S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S，求S的值；
【思路分析】（1）已知抛物线顶点坐标，故可设其顶点式为y＝a（x﹣2）2﹣1，再把点C（0，3）代入即求得a的值，进而得到抛物线解析式．
（2）把抛物线解析式与直线y＝x﹣1联立方程组，解方程组求得点A、B坐标，画出抛物线和直线草图．由图可知，△QAB、△MAB、△NAB以AB为公共底时，高相等才有面积相等．假设M、N在直线AB上方的抛物线上，只要MN∥AB，根据平行线间距离处处相等，则一定有S△MAB＝S△NAB＝S；当点Q在直线AB下方且只有唯一的点Q满足S△QAB＝S，则Q到AB距离取最大值．过点Q分别作y轴平行线QC，作直线AB垂线QD，易证△CDQ为等腰直角三角形，故CQ取得最大值时，DQ也最大．设点Q横坐标为t，用t表示CQ的长并配方求得最大值，进而求得DQ最大值，再用S＝S△QAB=12AB•DQ求得S的值．
【解题过程】解：（1）∵抛物线的顶点为（2，﹣1）
∴顶点式为y＝a（x﹣2）2﹣1
∵抛物线经过点C（0，3）
∴4a﹣1＝3
解得：a＝1
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3
（2）y=x2−4x+3y=x−1 解得：x1=1y1=0，x2=4y2=3
∴A（1，0），B（4，3）
∴AB=(4−1)2+32=32
设直线y＝x﹣1与y轴交于点E，则E（0，﹣1）
∴OA＝OE＝1
∴∠AEO＝45°
∵S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S
∴点Q、M、N到直线AB的距离相等
如图，假设点M、N在直线AB上方，点Q在直线AB下方
∴MN∥AB时，总有S△MAB＝S△NAB＝S
要使只有一个点Q在直线AB下方满足S△QAB＝S，则Q到AB距离必须最大
过点Q作QC∥y轴交AB于点C，QD⊥AB于点D
∴∠CDQ＝90°，∠DCQ＝∠AEO＝45°
∴△CDQ是等腰直角三角形
∴DQ=22CQ
设Q（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜4），则C（t，t﹣1）
∴CQ＝t﹣1﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+5t﹣4＝﹣（t−52）2+94
∴t=52时，CQ最大值为94
∴DQ最大值为22×94=928
∴S＝S△QAB=12AB•DQ=12×32×928=278
【知识点】二次函数的图象与性质；二次函数最值；一元二次方程的解法；平行线间距离处处相等；勾股定理；因式分解
26.问题提出 如图（1），在和中，，，，点在内部，直线与交于点，线段，，之间存在怎样的数量关系？
问题探究 （1）先将问题特殊化．如图（2），当点，重合时，直接写出一个等式，表示，，之间的数量关系；
（2）再探究一般情形．如图（1），当点，不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展 如图（3），在和中，，，（是常数），点在内部，直线与交于点，直接写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系．
【答案】（1）．（2）见解析；问题拓展：．
【分析】
（1）先证明△BCE≌△ACD,得到AF=BE，BF-BE=BF-AF=EF=；
（2）过点作交于点，证明，，是等腰直角三角形即可；利用前面的方法变全等为相似证明即可．
【详解】
问题探究 （1）．理由如下：如图（2），
∵∠BCA=∠ECF=90°，
∴∠BCE=∠ACF，
∵BC=AC，EC=CF，
△BCE≌△ACF，
∴BE=AF，
∴BF-BE=BF-AF=EF=；
（2）证明：过点作交于点，则，
∴．
∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴．
∴．
∴，，
∴是等腰直角三角形．
∴．
∴．
问题拓展 ．理由如下：
∵∠BCA=∠ECD=90°，
∴∠BCE=∠ACD，
∵BC=kAC，EC=kCD，
∴△BCE∽△ACD，
∴∠EBC=∠FAC，
过点作交于点M，则，
∴．
∴△BCM∽△ACF，
∴BM:AF=BC:AC=MC:CF=k，
∴BM=kAF,MC=kCF，
∴BF-BM=MF，MF==
∴BF- kAF =．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定，三角形相似的判定，勾股定理是解题的关键．