湖南省长沙市雅礼中学2024届高三下学期3月综合测试（一）数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省长沙市雅礼中学2024届高三下学期3月综合测试（一）数学试卷（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了已知函数的图象恰为椭圆C，已知，，则，方程所有正根的和为等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是
A．4B．5C．6D．9
2．圆心在y轴上，半径为1，且过点的圆的方程是
A．B．
C．D．
3．记为等差数列的前n项和，若，，则
A．20B．16C．14D．12
4．若古典概型的样本空间，事件A={1，2}，甲：事件，乙：事件A，B相互独立，则甲是乙的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．一般来说，输出信号功率用高斯函数来描述，定义为，其中为输出信号功率最大值（单位：mW），x为频率（单位：Hz），为输出信号功率的数学期望，为输出信号的方差，3dB带宽是光通信中一个常用的指标，是指当输出信号功率下降至最大值一半时，信号的频率范围，即对应函数图象的宽度。现已知输出信号功率为（如图所示），则其3dB带宽为
A．B．C．D．
6．已知函数的图象恰为椭圆C：x轴上方的部分，若，，成等比数列，则平面上点的轨迹是
A．线段（不包含端点）
B．椭圆一部分
C．双曲线一部分
D．线段（不包含端点）和双曲线一部分
7．已知，，则
A．B．C．D．
8．方程所有正根的和为
A．810πB．1008πC．1080πD．1800π
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知复数，是关于x的方程（，）的两根，则下列说法中正确的是
A．B．
C．D．若，则
10．四棱锥的底面为正方形，PA与底面垂直，，，动点M在线段PC上，则
A．不存在点M，使得
B．的最小值为
C．四棱锥的外接球表面积为5π
D．点M到直线AB的距离的最小值为
11．设a为常数，，，则
A．
B．成立
C．
D．满足条件的不止一个
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．的展开式中的系数为________．（用数字作答）
13．如图，圆锥底面半径为，母线，点B为PA的中点，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，其最短路线长度为________，其中下坡路段长为________．
14．设严格递增的整数数列，，…，满足，．设f为，，…，这19个数中被3整除的项的个数，则f的最大值为________，使得f取到最大值的数列的个数为________．
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（13分）已知抛物线C：的焦点为，过点F的直线l与C交于A，B两点，过A，B作C的切线，，交于点M，且，与x轴分别交于点D，E．
（1）求证：；
（2）设点P是C上异于A，B的一点，P到直线，，l的距离分别为，，d，求的最小值．
16．（15分）如图，在棱长为2的正方体中，点M是正方体的中心，将四棱锥绕直线CG逆时针旋转后，得到四棱锥．
（1）若，求证：平面平面；
（2）是否存在，使得直线平面MBC，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
17．（15分）已知函数（其中a，b为常数且）在处取得极值．
（1）当时，求的极大值点和极小值点；
（2）若在上的最大值为1，求a的值．
18．（17分）物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数，若满足，则称数列为牛顿数列．已知，如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与x轴交点的横坐标为，用代替重复上述过程得到，一直下去，得到数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前n项和为，且对任意的，满足，求整数的最小值．（参考数据：，，，）
19．（17分）若函数满足且，则称函数为“M函数”．
（1）试判断是否为M函数”，并说明理由；
（2）函数为“M函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间；
（3）在（2）条件下，当，关于x的方程（a为常数）有解，记该方程所有解的和为S，求S．
雅礼中学2024届高三综合自主测试（一）
数学参考答案
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1、C【解析】根据题意，数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，
则极差为，故该组数据的中位数是，数据共6个，
故中位数为，解得，因为，
所以该组数据的第40百分位数是第3个数6，故选：C．
2、A【解析】因为圆心在y轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为，
则圆的方程为，又点在圆上，所以，解得，所以所求圆的方程为．故选：A．
3、D【解析】YW是等差数列，SY，，
所以，SY公差，SY，
SY，故选：D．
4、A【解析】若，，则，
而，，所以，
所以事件A，B相互独立，反过来，当，，
此时，，满足，
事件A，B相互独立，所以不一定，
所以甲是乙的充分不必要条件．故选：A
5、D【解析】依题意，由，，得，即，
则有，解得，，
所以3dB带宽为．故选：D
6、A【解析】因为函数的图象恰为椭圆C：x轴上方的部分，
所以，因为，，成等比数列，
所以有，且有，，成立，
即，成立，
由，
化简得：，或，
当时，即，因为，
所以平面上点的轨迹是线段（不包含端点）；
当时，即，
因为，所以，而，
所以不成立，故选：A
7、A【解析】．
，，
，，，
又因为，所以，
则，，所以
．
．故选：A
8、C【解析】，
令，，则，即，
所以，或，，
当，时，即，，
所以，，，，
因为，所以，，，，
当，时，即，，
则，，，，
因为是奇数，所以也是奇数，不成立；
所以方程所有正根的和为：，故选：C
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9、ACD【解析】，SY，
不妨设，，，A正确；
，C正确
，SY，时，，B错；
时，，，计算得，
，，同理，D正确．
故选：ACD．
10、BD【解析】对于A：连接BD，且，如图所示，当M在PC中点时，
因为点O为AC的中点，所以，因为平面ABCD，
所以平面ABCD，又因为平面ABCD，所以，
因为ABCD为正方形，所以．
又因为，且BD，平面BDM，所以平面BDM，
因为平面BDM，所以，所以A错误；
对于B：将和所在的平面沿着PC展开在一个平面上，如图所示，
则的最小值为BD，直角斜边PC上高为，即，
直角斜边PC上高也为，所以的最小值为，所以B正确；
对于C：易知四棱锥的外接球直径为PC，
半径，表面积，所以C错误；
对于D：点M到直线AB的距离的最小值即为异面直线PC与AB的距离，
因为，且平面PCD，平面PCD，所以平面PCD，
所以直线AB到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离，过点A作，
因为平面ABCD，所以，又，且，
故平面PAD，平面PAD，所以，因为，
且PD，平面PCD，所以平面PCD，所以点A到平面PCD的距离，
即为AF的长，如图所示，
在中，，，可得，
所以由等面积得，即直线AB到平面PCD的距离等于，所以D正确，
故选：BCD．
11、ABC【解析】，
对A：对原式令，则，
即，故A正确；
对B：对原式令，
则，
故，
对原式令，
则，故非负；
对原式令，则，解得，
又非负，故可得，故B正确；
对C：由B分析可得：，故C正确；
对D：由B分析可得：满足条件的只有一个，故D错误．
故选：ABC．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12、－40
【解析】的通项公式为，
令得，，此时，
令得，，此时，
故的系数为
故答案为：－40
13、①．②．
【解析】如图，将圆锥侧面沿母线PA剪开并展开成扇形，
易知该扇形半径为2，弧长为，故圆心角，
最短路线即为扇形中的直线段AB由余弦定理易知，
过P作AB的垂线，垂足为M，
当蚂蚁从A点爬行到M点的过程中，它与点P的距离越来越小，故AM为上坡路段，
当蚂蚁从M点爬行到B点的过程中，它与点P的距离越来越大，故MB为下坡路段，
下坡路段长．
故答案为：，．
14、①．18②．25270
【解析】第一个空，设某个数除以a余数为b，则称该数模a余b（a，b均为整数，且），
为了让尽可能多的相邻两数之和被3整除，则要尽量多地出现相邻两数一个模3余1，一个模3余2这样的组合，这样它们之和才会被3整除．
而，均为模3余1，则不可能有19组上述组别，最多出现18组上述组别，例如严格递增数列1，2，4，5，7，8，10，11，13，14，16，17，19，20，22，23，25，26，28，40，满足题意，所以f的最大值为18．
第二个空，因为1-40这40个数中，共有27个数符合模3余1或模3余2，则要从这27个数中选出满足要求的20个数．
第一步，在到这20个数中删去一个数（后面再加回来），使得剩下的19个数满足任意两个相邻数一个模3余1，一个模3余2，这样就形成了18组，即使得f的最大值为18．
第二步，将这27个数从小到大排列，需要删去8个数得到目标19个数的数列．它们中任意相邻两数一个模3余1，一个模3余2，因此，需要删去的8个数应该为4组相邻的数．
第三步，利用捆绑思想，从27个数中删去4组相邻的数等价于从23个数中删去4个数．有二种情况：
①两端均删去，这种情况不满足要求．因为若两端均删去，那么1和40必定被删去，在下一步加出来时也最多加回1或40中的一个，而1和40必定在数列中，因此不满足．
②两端均不删去，从中间21个数中选4个数删去，有种，再从删去的8个数中拿一个加回原来的19个数中，由种，共有种．
③两端中有一个被删去，其余3个数从中间21个数里选，有种，此时加回来的数必定是删去的两端之一中的1或40，有1种选法，共种．
第四步，删去的四组相邻数中有一组中有一个数被加回来，即未被删去，被删去的是这一组中的另一个数，而对于删去的数，假设为A，它旁边两个数分别为B，C，即排列为B，A，C，在第三步捆绑时，可能捆绑的组合为BA，然后删去，再补回B；或者为AC，然后删去，再补回C，这两种删去方式结果相同．
综上，共有种．
故答案为：18；25270
四、解答题（本题共6小题，共70分）
15、（1）因为拋物线C的焦点为，
所以，即C的方程为：，如下图所示：
设点，，
由题意可知直线l的斜率一定存在，设l：，
联立得，
所以，．
由，得，，
所以：，即．
令，得，即，
同理：，且，
所以．
由，得，即．
所以．
故．
（2）设点，结合（1）知：，即：
因为，，
所以．
同理可得，
所以．
又
所以．
当且仅当时，等号成立；
即直线l斜率为0时，取最小值．
16、（1）证明：若，则平面DCGH、平面为同一个平面．
连接BH、，则M是BH中点，是中点，
所以平面MBF与平面BFHD重合，平面与平面重合，由正方体性质可知平面，
因为HF、平面，所以，，，
为二面角的平面角，
因为，，则，同理可得-，
所以，所以，平面平面
（2）解：假设存在，使得直线平面MBC，
以C为原点，分别以、、的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、，故、，
设平面MBC的法向量为，则，
取，得是平面MBC的一个法向量，
取CG的中点P，BF的中点Q，连接PQ、PM，则，
因为，则，同理可知，，
因为，，，则四边形BCPQ为矩形，所以，，
于是是二面角的平面角，
是二面角的平面角，
是二面角的平面角．于是，
因为，，
因为，则，所以，
因为，，，PM、平面，
所以，平面，且，
（（________]（________
故，同理，
所以，
因为，
，
所以，
若直线平面MBC，是平面MBC的一个法向量，则，
即存在，使得，则，
因为，可得，
故方程组无解，
所以不存在，使得直线平面MBC．
17、（1）YW
SY．
YW函数在处取得极值，
SY
SY当时，，则
、随x的变化情况如下表：
SY的单调递增区间为和，单调递减区间为
SY的极大值点为，的极小值点为1．
（2）YW
令得，，
YW在处取得极值
SY—本x=1
法一：当时，在上单调递增，在上单调递减，
SY在区间上的最大值为，则，即
SY
法二：当时，
①当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
SY的最大值1可能在或处取得，
而SY
SY
②当时，在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增
SY的最大值1可能在或处取得，而
SY，即，与
③当时，在区间上单调递增，在上单调递减，
SY的最大值1可能在处取得，而，矛盾．
综上所述，或．
18、（1）YW，
SY在点处的切线方程为：
令，得，
所以是首项为1，公比为的等比数列，
故
（2）令
法一：错位相减法
，，
两式相减得：
化简得：
故化简得
令，
则，
当时，，即，
当时，，即，
所以
从而整数；
法二：裂项相消法
由，
设且，
则，
于是，得，
即
所以
故，化简得
令，
则时，，
当时，，即，
当时，，即，
所以
从而整数
19、（1）不是“M函数”，理由如下：
，
，，
则，
故不是“M函数”；
（2）函数满足，故的周期为，
因为，
所以，
当时，，，
当时，，
，
综上：，，中，
当时，，，此时单调递增区间为，
，，中，
当时，，，
则，
当，即时，函数单调递增，
经检验，其他范围不是单调递增区间，
所以在上的单调递增区间为，；
（3）由（2）知：函数在上图象为：
当或1时，有4个解，由对称性可知：其和为，
当时，有6个解，由对称性可知：其和为，
当时，有8个解，其和为，
所以．x
1
＋
0
－
0
＋
极大值
极小值