中考数学一轮复习：专题22.2 解一元二次方程【八大题型】（举一反三）（华东师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习：专题22.2 解一元二次方程【八大题型】（举一反三）（华东师大版）（解析版），共23页。

TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc21946" 【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc21946 \h 1
\l "_Tc31454" 【题型2 用配方法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc31454 \h 2
\l "_Tc3019" 【题型3 用公式法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc3019 \h 4
\l "_Tc31779" 【题型4 用因式分解法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc31779 \h 5
\l "_Tc5424" 【题型5 用指定方法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc5424 \h 6
\l "_Tc20857" 【题型6 用适当的方法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc20857 \h 12
\l "_Tc30017" 【题型7 用换元法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc30017 \h 14
\l "_Tc29487" 【题型8 配方法的应用】 PAGEREF _Tc29487 \h 17
【知识点1 直接开平方法解一元二次方程】
根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.
直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式；
②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.
【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】
【例1】（2022•建华区二模）解方程：−13（x﹣2）2+34=0（开平方法）．
【分析】先把方程变形为（x﹣2）2=94，再两边开方得到x﹣2＝±32，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：−13（x﹣2）2+34=0，
−13（x﹣2）2=−34，
（x﹣2）2=94，
x﹣2＝±32，
所以x1=72，x2=12．
【变式1-1】（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2（开平方法）．
【分析】方程开方转化为一元一次方程，求出解即可．
【解答】解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2，
开方得：2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣3x﹣2，
解得：x1＝1，x2＝﹣1．
【变式1-2】（2021秋•徐汇区校级月考）解方程：4（x+1）2﹣9（x﹣2）2＝0（开平方法）．
【分析】直接开方，再解一元一次方程即可．
【解答】解：4（x+1）2＝9（x﹣2）2，
∴2（x+1）＝±3（x﹣2），
∴x1＝8，x2=45．
【变式1-3】（2022春•黄浦区校级期中）解关于x的方程：x2﹣3＝1+ax2（a≠1）（开平方法）．
【分析】方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解．
【解答】解：方程整理得：（a﹣1）x2＝﹣4，即x2=41−a，
当1﹣a＞0，即a＜1时，x＝±41−a=±21−a1−a；
当1﹣a＜0，即a＞1时，无解．
【知识点2 配方法解一元二次方程】
将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；②方程两边同除以二
次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④
把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法
来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
【题型2 用配方法解一元二次方程】
【例2】（2022春•淄川区期中）（1）请用配方法解方程2x2﹣6x+3＝0；
（2）请用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．
【分析】（1）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半系数平方，利用完全平方公式变形，开方即可求出解；
（2）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半系数平方，利用完全平方公式变形，开方即可求出解．
【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣3x=−32，
配方得：x2﹣3x+94=94−32，即（x−32）2=34，
开方得：x−32=±32，
解得：x1=32+32，x2=32−32；
（2）方程整理得：x2+bax=−ca，
配方得：x2+bax+b24a2=b24a2−ca，即（x+b2a）2=b2−4ac4a2，
开方得：x+b2a=±b2−4ac2a，
解得：x1=−b+b2−4ac2a，x2=−b−b2−4ac2a．
【变式2-1】（2022秋•松江区期末）用配方法解方程：x2−25x=4．
【分析】两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
【解答】解：∵x2−25x=4，
∴x2﹣25x+5＝4+5，即（x−5）2＝9，
∴x−5=3或x−5=−3，
∴x1＝3+5，x2＝﹣3+5．
【变式2-2】（2022秋•伊川县期中）用配方法解方程：4x2﹣8x﹣7＝0．
【分析】根据配方法的步骤先把二次项系数化为1，再在等式左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，然后开方即可．
【解答】解：4x2﹣8x﹣7＝0，
4x2﹣8x＝7，
x2﹣2x=74，
配方得x2﹣2x+12=74+1，
（x﹣1）2=114，
x﹣1＝±112，
x＝1±112，
∴x1＝1+112，x2＝1−112．
【变式2-3】（2022秋•潢川县期末）解方程：2x2﹣5x+1＝0（用配方法）
【分析】将常数项移到右边后把二次项系数化为1，再两边配上一次项系数一半的平方求解可得．
【解答】解：∵2x2﹣5x＝﹣1，
∴x2−52x=−12，
∴x2−52x+2516=−12+2516，即（x−54）2=1716，
则x−54=±174，
∴x=5±174．
【知识点3 公式法解一元二次方程】
当b2−4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为x=−b±b2−4ac2a的形式，这个
式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解
一元二次方程的方法叫做公式法.
【题型3 用公式法解一元二次方程】
【例3】（2022春•通州区校级月考）用公式法解方程：2a2﹣3＝﹣4a．
【分析】先把原方程化成一元二次方程的一般形式，再利用公式法进行计算即可解答．
【解答】解：2a2﹣3＝﹣4a，
整理得：2a2+4a﹣3＝0，
∵Δ＝42﹣4×2×（﹣3）
＝16+24
＝40，
∴a=−4±402×2=−4±2104=−2±102，
∴a1=−2+102，a2=−2−102．
【变式3-1】（2022秋•徐汇区校级月考）解方程：5x+2＝（3x﹣1）（2x+2）（公式法）．
【分析】整理成一般式，先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
【解答】解：方程整理得：6x2﹣x﹣4＝0，
∵a＝6，b＝﹣1，c＝﹣4，
∴b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×6×（﹣4）＝97＞0，
∴x=−b±b2−4ac2a=1±9712，
∴x1=1+9712，x2=1−9712．
【变式3-2】（2022秋•金山区校级期中）用公式法解方程：x2﹣22x﹣3＝0．
【分析】先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出方程的解即可．
【解答】解：x2﹣22x﹣3＝0，
∵a＝1，b＝﹣22，c＝﹣3，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣22）2﹣4×1×（﹣3）＝20＞0，
∴x=−b±b2−4ac2a=22±252，
∴x1=2+5，x2=2−5．
【变式3-3】（2022•市中区二模）用公式法解一元二次方程：2x2﹣7x+6＝0．
【分析】方程利用公式法求出解即可．
【解答】解：方程2x2﹣7x+6＝0，
这里a＝2，b＝﹣7，c＝6，
∵Δ＝49﹣48＝1＞0，
∴x=7±14，
则x1＝2，x2＝1.5．
【知识点4 因式分解法概念】
当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程
转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
【题型4 用因式分解法解一元二次方程】
【例4】（2022秋•莲湖区期中）用因式分解法解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．
【分析】移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
【解答】解：∵2（x﹣3）＝3x（x﹣3），
∴2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，
则（x﹣3）（2﹣3x）＝0，
∴x﹣3＝0或2﹣3x＝0，
解得x1＝3，x2=23．
【变式4-1】（2022秋•徐汇区校级月考）解方程：（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0（因式分解法）．
【分析】利用提取公因式（4﹣3x），将左边因式分解，再进一步求解即可．
【解答】解：∵（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0，
∴（4﹣3x）（5﹣3x）＝0，
则4﹣3x＝0或5﹣3x＝0，
解得x1=43，x2=53．
【变式4-2】（2022秋•长白县期中）用因式分解法解方程：（x+3）2＝（1﹣2x）2．
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：（x+3）2﹣（1﹣2x）2＝0，
分解因式得：（x+3+1﹣2x）（x+3﹣1+2x）＝0，即（4﹣x）（3x+2）＝0，
可得4﹣x＝0或3x+2＝0，
解得：x1＝4，x2=−23．
【变式4-3】（2022秋•简阳市 月考）用因式分解法解方程：x2−3x+2x−6=0
【分析】利用因式分解法把方程化为x−3=0或x+2=0，然后解一次方程即可．
【解答】解：（x−3）（x+2）＝0，
x−3=0或x+2=0，
所以x1=3，x2=−2．
【题型5 用指定方法解一元二次方程】
【例5】（2022秋•兴平市校级月考）按规定的方法解下列方程：
（1）（x+1）2﹣144＝0（直接开平方法）；
（2）x2＝8x+9（配方法）；
（3）2y2+7y+3＝0（公式法）；
（4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）（因式分解法）．
【分析】（1）移项，然后开平方即可求解；
（2）首先移项，然后配方，利用直接开平方法即可求解；
（3）利用公式法即可求解；
（4）移项，然后利用因式分解法即可求解．
【解答】解：（1）（x+1）2＝144，
则x+1＝12或x+1＝﹣12，
解得：x1＝﹣13，x2＝11；
（2）移项，得：x2﹣8x＝9，
配方，得x2﹣8x+16＝25，
则（x﹣4）2＝25，
即x﹣4＝5或x﹣4＝﹣5，
解得：x1＝9，x2＝﹣1；
（3）a＝2，b＝7，c＝3，
△＝49﹣4×2×3＝49﹣24＝25＞0．
则x=−7±54，
则x1＝﹣3，x2=−12；
（4）原式即3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0，
因式分解得：（x﹣2）【3（x﹣2）﹣x】＝0，
即（x﹣2）（2x﹣6）＝0，
则x﹣2＝0或2x﹣6＝0，
解得：x1＝2，x2＝3．
【变式5-1】（2022秋•宁县校级月考）用适当的方法解方程：
（1）x（x﹣2）+x﹣2＝0（用因式分解法）
（2）x2﹣4x+3＝0（用配方法解）
（3）x2+5x+1＝0（用公式法解）
（4）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2（用直接开平方法）
【分析】（1）先提取公因式（x﹣2）因式分解，再求解即可；
（2）先利用完全平方公式配方，然后开平方求解即可；
（3）写出a、b、c的值，然后利用求根公式法求解；
（4）直接开平方求解即可．
【解答】解：（1）因式分解得，（x﹣2）（x+1）＝0，
由此得，x﹣2＝0，x+1＝0，
所以，x1＝2，x2＝﹣1；
（2）配方得，x2﹣4x+4﹣4+3＝0，
即（x﹣2）2＝1，
所以，x﹣2＝±1，
所以，x1＝3，x2＝1；
（3）a＝1，b＝5，c＝1，
Δ＝b2﹣4ac＝52﹣4×1×1＝25﹣1＝24，
x=−5±242×1=−5±262，
x1=−5+262，x2=−5−262；
（4）开平方得，x﹣4＝±（5﹣2x），
所以，x﹣4＝5﹣2x或x﹣4＝2x﹣5，
解得x1＝3，x2＝1．
【变式5-2】（2022秋•简阳市月考）解下列方程
（1）（2x﹣1）2＝7（直接开平方法）
（2）2x2﹣7x﹣4＝0（用配方法）
（3）2x2﹣10x＝3（公式法）
（4）（3x﹣4）2＝（3﹣4x）2（因式分解法）
（5）x2+4−x2+8=26（用换元法解）
（6）（2x2+1）2﹣2x2﹣3＝0（用换元法解）
【分析】（1）用直接开平方法求解就可以了；
（2）先将常数项移到等号的右边，再将二次项系数化为1，然后配方为完全平方公式后直接用开平方法求解就可以；
（3）先化为一般形式，然后确定a、b、c的值，最后代入求根公式求解就可以了；
（4）先移项，然后用平方差公式分解因式就可以求出结论；
（5）设x2+8=a，将原方程变形为a2﹣a＝30，再解一个关于a的一元二次方程求解；
（6）将原方程变形为：（2x2+1）2﹣（2x2+1）﹣2＝0，再设2x2+1＝a，就可以变为a2﹣a﹣2＝0，最后可以运用因式分解法求解．
【解答】解：（1）开平方，得
2x﹣1＝±7，
∴x1=7+12，x2=−7+12；
（2）移项，得
2x2﹣7x＝4，
化二次项的系数为1，得
x2−72x＝2，
配方，得
x2−72x+4916=2+4916，
（x−74）2=8116
开平方，得
x−74=±94，
∴x1＝4，x2=−12；
（3）移项，得
2x2﹣10x﹣3＝0，
∴a＝2，b＝﹣10，c＝﹣3，
∴△＝100+24＝124＞0，
∴x=10±1244，
∴x1=5+312，x2=5−312；
（4）移项，得
（3x﹣4）2﹣（3﹣4x）2＝0
分解因式，得
（3x﹣4+3﹣4x）（3x﹣4﹣3+4x）＝0，
∴﹣x﹣1＝0或7x﹣7＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝1；
（5）原方程变形为：
x2+8−x2+8=30，
设x2+8=a，将原方程变形为：
a2﹣a＝30，
移项，得
a2﹣a﹣30＝0，
因式分解，得
（a+5）（a﹣6）＝0，
∴a+5＝0或a﹣6＝0，
∴a1＝﹣5（舍去），a2＝6，
∴x2+8=6，
解得：x＝±27，
经检验，x＝±27是原方程的根；
（6）原方程变形为：
（2x2+1）2﹣（2x2+1）﹣2＝0，
设2x2+1＝a，则原方程变为：
a2﹣a﹣2＝0，
解得：
a1＝﹣1，a2＝2，
当a＝﹣1时，
2x2+1＝﹣1，
Δ＜0，原方程无解，
当a＝2时，
2x2+1＝2，
解得：x＝±22
【变式5-3】（2022秋•恩阳区月考）解方程：
①x2+（3+2）x+6=0（因式分解法）
②5x2+2x﹣1＝0（公式法）
③y2+6y+2＝0（配方法）
④9（x﹣2）2＝121（x+1）2（直接开平方法）
⑤x+1x2−2x2x+1=1（换元法）
⑥（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6＝0（适当方法）
【分析】①根据方程特点，采用因式分解法解答．
②根据方程的系数特点，应准确确定各个项系数，利用求根公式求得．
③可以先移项，然后利用配方法解答．
④利用直接开平方法解答；
⑤移项整理，利用换元法求得未知数的解即可．
⑥利用换元法解答．
【解答】解：①x2+（3+2）x+6=0，
（x+2）（x+3）＝0，
∴x+2=0或x+3=0，
∴x1=−2，x2=−3；
②5x2+2x﹣1＝0，
a＝5，b＝2，c＝﹣1，
Δ＝b2﹣4ac＝4+20＝24，
x=−2±242×5=−2±2610=−1±65，
所以x1=−1+65，x2=−1−65；
③y2+6y+2＝0，
y2+6y＝﹣2，
y2+6y+9＝﹣2+9，即（y+3）2＝7，
∴y+3=±7，
∴y1＝﹣3+7，y2＝﹣3−7；
④9（x﹣2）2＝121（x+1）2，
3（x﹣2）＝±11（x+1），
∴3（x﹣2）＝11（x+1）或3（x﹣2）＝﹣11（x+1），
∴x1=−178，x2=−514；
⑤x+1x2−2x2x+1=1，
x+1x2−2x2x+1−1＝0，
设y=x+1x2，
则原方程为y−2y−1＝0，
y2﹣y﹣2＝0，
解得：y＝﹣1，或y＝2，
当y＝﹣1，x+1x2=−1，此方程无解；
当y＝2，x+1x2=2，解得：x1＝1，x2=−12，
经检验，x1＝1，x2=−12是原分式方程的解，
所以原方程的解为x1＝1，x2=−12．
⑥（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6＝0，
设y＝x2﹣x，
则原方程为y2﹣5y+6＝0，
解得：y＝3，或y＝2，
当y＝3，x2﹣x＝3，x1=1+132，x2=1−132；
当y＝2，x2﹣x＝2，解得：x3＝2，x4＝﹣1；
所以原方程的解为x1=1+132，x2=1−132，x3＝2，x4＝﹣1．
【题型6 用适当的方法解一元二次方程】
【例6】（2022春•富阳区校级期中）用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）（x+4）2﹣5（x+4）＝0；
（2）x2﹣2x﹣15＝0．
【分析】（1）等式左边可提取公因式（x+4），转化为（x+4）（x﹣1）＝0求解；
（2）根据十字相乘法可将方程变形为（x+3）（x﹣5）＝0，由此可得同解方程x+3＝0或x﹣5＝0，据此求解．
【解答】解：（1）（x+4）2﹣5（x+4）＝0，
将方程变形，得（x+4）（x﹣1）＝0，
即x+4＝0，x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝1．
（2）x2﹣2x﹣15＝0，
将方程变形，得（x+3）（x﹣5）＝0，
则x+3＝0或x﹣5＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝5．
【变式6-1】（2022春•大观区校级期中）用适当的方法解方程
（1）x2﹣x﹣1＝0；
（2）（x+1）2﹣3（x+1）＝0．
【分析】（1）利用公式法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5＞0，
x=1±52×1，
所以x1=1+52，x2=1−52；
（2）（x+1）2﹣3（x+1）＝0．
（x+1）（x+1﹣3）＝0，
x+1＝0或x+1﹣3＝0，
所以x1＝﹣1，x2＝2．
【变式6-2】（2022春•萧山区期中）用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣x﹣6＝0；
（2）4（x﹣1）2＝9（x﹣5）2．
【分析】（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；
（2）先移项，再利用公式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣x﹣6＝0，
∴（x﹣3）（x+2）＝0，
则x﹣3＝0或x+2＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣2；
（2）∵4（x﹣1）2＝9（x﹣5）2，
∴4（x﹣1）2﹣9（x﹣5）2＝0，
∴[2（x﹣1）+3（x﹣5）][2（x﹣1）﹣3（x﹣5）]＝0，
则2（x﹣1）+3（x﹣5）＝0或2（x﹣1）﹣3（x﹣5）＝0，
解得x1＝13，x2=175．
【变式6-3】（2022春•柯桥区期中）选用适当的方法解下列方程．
（1）2x（x﹣1）＝3（x﹣1）；
（2）12x2+22x﹣5＝0．
【分析】（1）方程移项后，利用因式分解法求出解即可；
（2）方程整理后，利用配方法求出解即可．
【解答】解：（1）方程移项得：2x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0，
分解因式得：（x﹣1）（2x﹣3）＝0，
所以x﹣1＝0或2x﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2=32；
（2）方程整理得：x2+42x＝10，
配方得：x2+42x+8＝18，即（x+22）2＝18，
开方得：x+22=±32，
解得：x1=2，x2＝﹣52．
【题型7 用换元法解一元二次方程】
【例7】（2022秋•安居区期末）为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2﹣1＝1，所以x=±2；
当y＝4时，x2﹣1＝4，所以x=±5．
所以原方程的根为x1=2，x2=−2，x3=5，x4=−5．
以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程：
（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4；
（2）x4+x2﹣12＝0．
【分析】（1）设x2﹣x＝a，原方程可化为a2﹣4a+4＝0，求出a的值，再代入x2﹣x＝a求出x即可；
（2）设x2＝y，原方程化为y2+y﹣12＝0，求出y，再把y的值代入x2＝y求出x即可．
【解答】解：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4，
设x2﹣x＝a，则原方程可化为a2﹣4a+4＝0，
解此方程得：a1＝a2＝2，
当a＝2时，x2﹣x＝2，即x2﹣x﹣2＝0，
因式分解得：（x﹣2）（x+1）＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣1，
所以原方程的解是x1＝2，x2＝﹣1；
（2）x4+x2﹣12＝0，
设x2＝y，则原方程化为y2+y﹣12＝0，
因式分解，得（y﹣3）（y+4）＝0，
解得：y1＝3，y2＝﹣4，
当y＝3时，x2＝3，解得：x=±3；
当y＝﹣4时，x2＝﹣4，无实数根，
所以原方程的解是x1=3，x2=−3．
【变式7-1】（2021春•龙口市月考）阅读下面材料：方程x4﹣6x2+8＝0是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设x2＝y，则x4＝y2，∴原方程可化为y2﹣6y+8＝0，解方程求得y的值，进而得到原方程的四个根x1=2，x2=−2，x3＝2，x4＝﹣2．
以上方法叫做换元法，通过换元达到降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．
（1）解方程2（x2+3x）2﹣3（x2+3x）﹣2＝0；
（2）已知实数a满足（a2+3）2﹣3a2＝10+33，请直接写出−3a2的值．
【分析】（1）先设y＝x2+3x，则原方程变形为2y2﹣3y﹣2＝0，运用因式分解法解得y1＝2，y2=−12，再把y＝2和−12分别代入y＝x2+3x得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解；
（2）设y＝a2+3，则y2﹣3y﹣10＝0，运用因式分解法解得y1＝﹣2，y2＝5，再把y＝5代y＝a2+3得到a2+3=5，即可求得a2＝5−3，进而即可求得−3a2的值．
【解答】解：（1）设y＝x2+3x，则2y2﹣3y﹣2＝0，
则（y﹣2）（2y+1）＝0，
解得y1＝2，y2=−12，
当x2+3x＝2，即x2+3x﹣2＝0时，解得x=−3±172；
当x2+3x=−12，即x2+3x+12=0时，解得x=−3±72；
综上所述，原方程的解为x1=−3+172，x2=−3−172，x3=−3+72，x4=−3−72；
（2）（a2+3）2﹣3a2＝10+33整理得：（a2+3）2﹣3（a2+3）﹣10＝0，
设y＝a2+3，则y2﹣3y﹣10＝0，
则（y+2）（y﹣5）＝0，
解得y1＝﹣2，y2＝5，
当y＝﹣2时，则a2+3=−2，无意义，舍去；
当y＝5时，则a2+3=5，得到a2＝5−3，
∴−3a2=−3（5−3）＝3﹣53．
故−3a2的值为3﹣53．
【变式7-2】（2022秋•邵东市期末）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：
已知（x+y﹣3）（x+y+4）＝﹣10，求x+y的值．
解：设t＝x+y，则原方程变形为（t﹣3）（t+4）＝﹣10，即t2+t﹣2＝0
∴（t+2）（t﹣1）＝0得t1＝﹣2，t2＝1∴x+y＝﹣2或x+y＝1
已知（x2+y2﹣4）（x2+y2+2）＝7，求x2+y2的值．
【分析】根据举例进行解答即可．
【解答】解：设t＝x2+y2＞0
∴（t﹣4）（t+2）＝7
t2﹣2t﹣15＝0，
解得：t1＝5，t2＝﹣3（舍去）
∴x2+y2＝5．
【变式7-3】（2022秋•甘井子区月考）【例】解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0．
解：设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0．
解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2；
当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5．
所以原方程的解为x1＝2，x2＝5．
上述解法称为“整体换元法”．
（1）请运用“整体换元法”解方程：（2x﹣5）2﹣（2x﹣5）﹣2＝0；
（2）已知x2﹣xy﹣y2＝0，求xy的值．
【分析】（1）先设y＝2x﹣5，则原方程变形为y2﹣y﹣2＝0，运用因式分解法解得y1＝2，y2＝﹣1，再把y＝2和﹣1分别代y＝2x﹣5得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解；
（2）x2﹣xy﹣y2＝0，方程两边同时除以y2，可得x2−xy−y2y2=0，设xy=m，方程可化为m2﹣m﹣1＝0，类似（1）的减法可得xy的值．
【解答】解：（1）设y＝2x﹣5，则原方程变形为y2﹣y﹣2＝0，
解得y1＝2，y2＝﹣1，
当y＝2时，即2x﹣5＝2，解得x＝3.5；
当y＝﹣1时，2x﹣5＝﹣1，解得x＝2．
所以原方程的解为x1＝3.5，x2＝2；
（2）x2﹣xy﹣y2＝0，
方程两边同时除以y2，得x2−xy−y2y2=0，
设xy=m，方程可化为m2﹣m﹣1＝0，
解得m1=1+52，m2=1−52，
∴xy的值为1+52或1−52．
【题型8 配方法的应用】
【例8】（2022秋•饶平县期末）已知a，b，c满足a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，则a+b﹣c的值为（ ）
A．1B．﹣5C．﹣6D．﹣7
【分析】题目中的式子相加，然后利用配方法变形为完全平方的形式，再利用非负数的性质即可求得所求式子的值．
【解答】解：∵a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，
∴（a2+2b）+（b2﹣2c）+（c2﹣6a）＝7+（﹣1）+（﹣17），
∴a2+2b+b2﹣2c+c2﹣6a＝﹣11，
∴（a2﹣6a+9）+（b2+2b+1）+（c2﹣2c+1）＝0，
∴（a﹣3）2+（b+1）2+（c﹣1）2＝0，
∴a﹣3＝0，b+1＝0，c﹣1＝0，
解得，a＝3，b＝﹣1，c＝1，
∴a+b﹣c＝3﹣1﹣1＝1．
故选：A．
【变式8-1】（2022•武汉模拟）若实数a，b，x满足a﹣b＝2，a2﹣b2＝﹣4x，则多项式a2+ab﹣b2的值可能为（ ）
A．﹣5B．﹣6C．﹣7D．﹣8
【分析】将多项式a2+ab﹣b2进行变形，利用配方法可得（b+3）2﹣5，再根据偶次方的非负数性质解答即可．
【解答】解：∵a﹣b＝2，
∴a＝b+2，
∴a2+ab﹣b2
＝（b+2）2+b（a﹣b）
＝b2+4b+4+2b
＝b2+6b+4
＝（b+3）2﹣5，
∴a2+ab﹣b2的最小值是﹣5．
故选：A．
【变式8-2】（2022春•仪陇县校级月考）已知a+b+c+3＝2a+4b−1+2c−2，则a+b+c的值是 ．
【分析】先将条件配方成(a−1)2+(b−1−2)2+(c−2−1)2=0，根据完全平方式的非负性求出a、b和c的值即可．
【解答】解：∵a+b+c+3＝2a+4b−1+2c−2，
∴(a−2a+1)+b−1−4b−1+4+c−2−2c−2+1=0，
即(a−1)2+(b−1−2)2+(c−2−1)2=0，
∴a−1＝0，b−1−2=0，c−2−1=0，
解得a＝1，b＝5，c＝3．
∴a+b+c＝1+5+3＝9．
故答案为：9．
【变式8-3】（2022春•临湘市期中）阅读材料
例：求代数式2x2+4x﹣6的最小值．
解：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．
根据上面的方法解决下列问题：
（1）m2﹣4m﹣5最小值是 ．
（2）多项式a2+b2﹣4a+6b+18最小值可以是 ．
【分析】（1）将多项式加4再减4，利用配方法后可得结论；
（2）将多项式重新分组，改写成（a2﹣4a+4）+（b2+6b+9）+5，配方后可得结论．
【解答】解：（1）∵m2﹣4m﹣5
＝m2﹣4m+4﹣9
＝（m﹣2）2﹣9，
∴当m＝2时，m2﹣4m﹣5有最小值，最小值是﹣9．
故答案为：﹣9；
（2）∵a2+b2﹣4a+6b+18
＝（a2﹣4a+4）+（b2+6b+9）+5
＝（a﹣2）2+（b+3）2+5，
∴当a＝2，b＝﹣3时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，最小值是5．
故答案为：5．