中考数学一轮复习：专题22.8 一元二次方程章末拔尖卷（华东师大版）（解析版）

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参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023春·安徽安庆·九年级安徽省安庆市外国语学校校考期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2−3x−1=0B．2x2−5x+2=0
C．x2−4x+4=0D．4x−1x+3=−5
【答案】C
【分析】逐项分析四个选项中一元二次方程根的判别式的符号，由此即可得出结论．
【详解】解：A.在x2−3x−1=0中，Δ=−32−4×1×−1=9+4=13>0，所以该方程有两个不相等的实数根，故A不符合题意；
B.在2x2−5x+2=0中，Δ=−52−4×2×2=25−16=9>0，所以该方程有两个不相等的实数根，故B不符合题意；
C.在x2−4x+4=0中，Δ=−42−4×1×4=16−16=0，所以该方程有两个相等的实数根，故C符合题意；
D.将4x−1x+3=−5整理得：4x2+8x−7=0，Δ=82−4×4×−7=64+112=176>0，所以该方程有两个相等的实数根，故D不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与Δ=b2−4ac有如下关系：①Δ>0，方程有两个不相等的实数根，②Δ=0，方程有两个相等的实数根，③Δ−1时，Δ＞0，方程有两个不相等的实根，故①正确，
②当a>0时，两根之积=−a−1，
∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确，
④当a>3时，由（3）可知，两个实根一个大于3，另一个小于3，故④正确，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，一元二次方程的求根公式，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键．
9．（3分）（2023春·福建厦门·九年级厦门市莲花中学校考期中）已知关于x的方程x2﹣（a+2b）x+1＝0有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点P在直线l：y＝﹣x+12上，点Q(12a，b)在直线l下方，则PQ的最小值为（ ）
A．342B．24C．12D．64
【答案】A
【分析】先利用根判别式得到△＝（a+2b）2﹣4＝0，则a+2b=2或a+2b=-2，即点Q的坐标为（1-b，b）或（-1-b，b），如图：当点Q在直线y=-x-1上， EF为两直线的距离，最后求出EF得到PQ的最小值即可
【详解】解：∵关于x的方程x2﹣（a+2b）x+1＝0有两个相等实数根，
∴△＝（a+2b）2﹣4＝0，
∴a+2b＝2或a+2b＝﹣2，
∵点Q（12a，b），即Q（1﹣b，b）或（﹣1﹣b，b），
∴点Q所在的直线为y＝﹣x+1或y＝﹣x﹣1，
∵点Q（12a，b）在直线y＝﹣x+12的下方，
∴点Q在直线y＝﹣x﹣1上，如图，EF为两直线的距离，
∵OE＝24，OF＝22，
∴EF＝324，
∴PQ的最小值为324．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了根的判别式和垂线段最短，掌握一元二次方程的根的判别式△与根的关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△−1和2x2+2x−t−3=0x≤−1都必须有解，
∴−t−2≥02t+7≥0，
∴−72≤t≤−2，
（1）当−t−2=0时，即t=−2时，方程x2=−t−2x>−1只有一个根x=0，
∵当t=−2时，2t+7=3，
∴−1+32>0，−1−32