中考数学一轮复习：专题22.10 一元二次方程章末八大题型总结（拔尖篇）（华东师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习：专题22.10 一元二次方程章末八大题型总结（拔尖篇）（华东师大版）（解析版），共38页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc2359" 【题型1 利用根与系数的关系降次求值】 PAGEREF _Tc2359 \h 1
\l "_Tc11610" 【题型2 利用一元二次方程的解法解特殊方程】 PAGEREF _Tc11610 \h 3
\l "_Tc5857" 【题型3 利用一元二次方程求最值】 PAGEREF _Tc5857 \h 8
\l "_Tc22316" 【题型4 利用一元二次方程的根求取值范围】 PAGEREF _Tc22316 \h 11
\l "_Tc25497" 【题型5 一元二次方程中的新定义问题】 PAGEREF _Tc25497 \h 14
\l "_Tc19093" 【题型6 一元二次方程中的规律探究】 PAGEREF _Tc19093 \h 20
\l "_Tc21578" 【题型7 一元二次方程在几何中的动点问题】 PAGEREF _Tc21578 \h 25
\l "_Tc4319" 【题型8 一元二次方程与几何图形的综合问题】 PAGEREF _Tc4319 \h 33
【题型1 利用根与系数的关系降次求值】
【例1】（2023春·安徽池州·九年级统考期末）已知α和β是方程x2+2023x+1=0的两个根，则α2+2024α+2β2+2024β+2的值为（ ）
A．−2021B．2021C．−2023D．2023
【答案】A
【分析】由α和β是方程x2+2023x+1=0的两个根，根据根于系数关系可得，α⋅β=1，α+β=−2023，由一元二次方程根的定义可得α2+2023α+1=0，β2+2023β+1=0，即可求解；
【详解】∵ α和β是方程x2+2023x+1=0的两个根，
∴α2+2023α+1=0，
β2+2023β+1=0，
α⋅β=1，α+β=−2023，
∴α2+2024α+2β2+2024β+2
=α2+2023α+1+α+1β2+2023β+1+β+1
=α+1β+1
=α⋅β+α+β+1
=1−2023+1
=−2021
故选A．
【点睛】该题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟记一元二次方程根与系数关系公式是解答该题的关键．
【变式1-1】（2023春·四川南充·九年级四川省营山中学校校考期中）已知a，b是方程x2−x−1=0的两根，则代数式2a3+5a+3b3+3b+1的值是（ ）
A．19B．20C．14D．15
【答案】D
【分析】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用降次的方法即可求得结果的值．
【详解】∵a与b是方程x2−x−1=0的两根
∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0
∴a2=a+1，b2=b+1
∵a3=a2·a=(a+1)a=a2+a=a+1+a=2a+1，同理：b3=2b+1
∴2a3+5a+3b3+3b+1
=2(2a+1)+5a+3(2b+1)+3b+1
=9a+9b+6
=9(a+b)+6
=9×1+6
=15
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行整式的运算是解题的关键．
【变式1-2】（2023春·全国·九年级专题练习）已知a是方程x2−2021x+1=0的一个根，则a3−2021a2−2021a2+1= ．
【答案】−2021
【分析】由方程根的定义可得a2−2021a+1=0，变形为a2+1=2021a．再将a2−2021a+1=0等号两边同时乘a并变形得a3−2021a2=−a，代入a3−2021a2−2021a2+1逐步化简即可．
【详解】∵a是方程x2−2021x+1=0的一个根．
∴a2−2021a+1=0，即a2+1=2021a．
将a2−2021a+1=0等号两边同时乘a得：
a(a2−2021a+1)=0，即a3−2021a2=−a．
∴a3−2021a2−2021a2+1=−a−20212021a=−a−1a=−a2+1a=−2021aa=−2021．
故答案为：-2021．
【点睛】本题考查一元二次方程解的定义以及代数式求值．熟练掌握整体代入的思想是解答本题的关键．
【变式1-3】（2023春·四川自贡·九年级统考期末）若m、n是一元二次方程x2+2x−1=0的两个实数根，则n3+n2m2n−1的值为（ ）
A．1B．-1C．2D．-2
【答案】C
【分析】利用方程根的定义和根与系数关系得到n2+2n−1=0，m+n=−2， n3+n2m2n−1分子进行因式分解后，利用整体代入即可得到答案．
【详解】解：∵m，n是x2+2x−1=0的两个实数根
∴n2+2n−1=0，m+n=−2
∴n2=1-2n
∴n3+n2m2n−1
=n2(n+m)2n−1
=−2(1−2n)2n−1
=2
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数关系等知识，关键在于利用因式分解正确变形，用整体代入方法解决．
【题型2 利用一元二次方程的解法解特殊方程】
【例2】（2023春·上海青浦·九年级校考期末）解方程：
(1)x+2−8−x=2；
(2)2xx2−2x−3−1x−3=1；
(3)2x2−32x2−1+1=0
【答案】(1)x=7
(2)x1=3+172，x2=3−172；
(3)x1=−102，x2=102，x3=−1，x4=1．
【分析】（1）移项后两边平方得出x+2=4+48−x+8−x，求出x−5=28−x，再方程两边平方得出x2−10x+25=48−x，求出x，再进行检验即可；
（2）观察可得最简公分母是x−3x+1，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解；
（3）令t=2x2−1，则2x2−1−32x2−1+2=0，代入原方程，得t2−3t+2=0，所以t1=2，t2=1，然后分两种情况分别解方程即可．
【详解】（1）x+2−8−x=2
解：移项得，x+2=2+8−x，
两边平方得，x+2=4+48−x+8−x，
合并同类项得，2x−10=48−x，
∴x−5=28−x，
两边平方得，x2−10x+25=48−x，
整理得，x2−6x−7=0，
∴x+1x−7=0，
解得：x1=−1，x2=7，
经检验，x1=−1，不是原方程的解，
∴原方程的解为：x=7．
（2）2xx2−2x−3−1x−3=1
解：方程两边同时乘以x−3x+1得， 2x−x+1=x2−2x−3
整理得，x2−3x−2=0，
解得，x=3±32−4×1×−22=3±172，
∴x1=3+172，x2=3−172，
经检验，x1=3+172，x2=3−172时，x−3x+1≠0，
∴原方程的根为：x1=3+172，x2=3−172．
（3）2x2−32x2−1+1=0
解：2x2−1−32x2−1+2=0
令t=2x2−1，代入原方程得，t2−3t+2=0，
∴t−2t−1=0，
解得：t1=2，t2=1，
当t1=2时，2x2−1=2，即： 2x2−1=4，
∴x2=52，解得：x1=−102，x2=102，
当t2=1时，2x2−1=1，即： 2x2−1=1，
∴x2=1，解得：x3=−1，x4=1，
经检验x1，x2，x3，x4都为原方程的解
∴原方程的解为：x1=−102，x2=102，x3=−1，x4=1．
【点睛】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键；还考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，（2）解分式方程一定注意要验根．
【变式2-1】（2023春·上海·九年级期中）解方程：mx2−3=x2+2 m≠1
【答案】当m>1时，原方程的解是x=±5(m−1)m−1，当m1时，原方程的解是x=±5m−1=±5(m−1)m−1
当m