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    中考数学一轮复习:专题24.8 解直角三角形章末九大题型总结(拔尖篇)(华东师大版)(解析版)

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    中考数学一轮复习:专题24.8 解直角三角形章末九大题型总结(拔尖篇)(华东师大版)(解析版)

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    这是一份中考数学一轮复习:专题24.8 解直角三角形章末九大题型总结(拔尖篇)(华东师大版)(解析版),共71页。

    TOC \ "1-3" \h \u
    \l "_Tc25597" 【题型1 构建直角三角形求锐角三角函数值】 PAGEREF _Tc25597 \h 1
    \l "_Tc32654" 【题型2 用等角转换法求锐角三角函数值】 PAGEREF _Tc32654 \h 7
    \l "_Tc21021" 【题型3 锐角三角函数与相似三角形的综合应用】 PAGEREF _Tc21021 \h 13
    \l "_Tc17309" 【题型4 锐角三角函数与圆的综合应用】 PAGEREF _Tc17309 \h 18
    \l "_Tc26825" 【题型5 解非直角三角形】 PAGEREF _Tc26825 \h 26
    \l "_Tc11437" 【题型6 巧设辅助未知数解直角三角形】 PAGEREF _Tc11437 \h 32
    \l "_Tc9593" 【题型7 构造直角三角形进行线段或角的计算】 PAGEREF _Tc9593 \h 41
    \l "_Tc4507" 【题型8 解直角三角形与圆的综合应用】 PAGEREF _Tc4507 \h 50
    \l "_Tc7632" 【题型9 构造直角三角形解决实际问题】 PAGEREF _Tc7632 \h 60
    【题型1 构建直角三角形求锐角三角函数值】
    【例1】(2023春·安徽·九年级专题练习)如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,∠C=90°,E为边BC上的点,△ADE为等边三角形,BE=8,CE=2,则tan∠AEB的值为( )

    A.375B.275C.335D.435
    【答案】C
    【分析】作EF⊥AB于点F,AH⊥BE于点H,解直角△BEF,得出BF=12BE=4,证明△AEF≌△EDC,得出AF=EC=2,再求出AH=33,HE=5,然后利用正切函数定义即可求解.
    【详解】如图,作EF⊥AB于点F,AH⊥BE于点H,

    ∵∠B=60°,BE=8,
    ∴∠BEF=90°−∠B=30°,
    ∴BF=12BE=4.
    ∵△ADE为等边三角形,
    ∴∠AED=60°,AE=DE,
    ∵∠BAE+∠B+∠AEB=180°,∠DEC+∠AED+∠AEB=180°,
    ∴∠BAE=∠DEC,
    在△AEF与△EDC中,
    ∠EAF=∠DEC∠AFE=∠CAE=ED,
    ∴△AEF≌△EDCAAS,
    ∴AF=EC=2,
    ∴AB=AF+BF=2+4=6,
    ∵∠AHB=90°,∠BAH=90°−∠B=30°,
    ∴BH=12AB=3,AH=3BH=33,
    ∴HE=BE−BH=8−3=5,
    ∴tan∠AEH=AHHE=335.
    故选:C.
    【点睛】此题考查了解直角三角形,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,含30°角的直角三角形的性质,锐角三角函数定义等知识,准确作出辅助线,构造全等三角形以及直角三角形是解题的关键.
    【变式1-1】(2023春·湖北襄阳·九年级统考期中)如图,在△ABD中,∠A=90°,若BE=mAC,CD=mAB,连接BC、DE交于点F,则cs∠BFE的值为 .
    【答案】m2+1m2+1
    【分析】过C作CG⊥BC,过D作DG⊥AD,如图所示,先证明△ABC∽△DCG,得到BE=ma=DG,从而判定四边形BEDG是平行四边形,进而ED∥BG,得到∠BFE=∠CBG,在Rt△ABC中,BC=a2+b2;在Rt△CDG中,GC=ma2+b2;在Rt△BCG中,BG=BC2+CG2=1+m2a2+b2,即可得到cs∠BFE=cs∠CBG=BCBG=a2+b21+m2a2+b2=m2+1m2+1.
    【详解】解:过C作CG⊥BC,过D作DG⊥AD,如图所示:
    ∴DG∥AB,∠BCG=90°,∠CDG=90°,
    ∵ ∠A=90°,
    ∴∠ABC+∠ACB=90°,
    ∵∠BCG=90°,
    ∴∠ACB+∠DCG=90°,
    ∴∠ABC=∠DCG,
    ∴△ABC∽△DCG,
    ∴ABDC=ACDG,
    ∵ BE=mAC,CD=mAB,
    设AC=a,AB=b,则BE=ma,CD=mb,则bmb=aDG,解得DG=ma,
    ∴BE=ma=DG,
    ∵BE∥DG,
    ∴四边形BEDG是平行四边形,
    ∴ ED∥BG,
    ∴ ∠BFE=∠CBG,
    在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=a,AB=b,则BC=a2+b2,
    在Rt△CDG中,∠CDG=90°,BE=ma,CD=mb,则GC=ma2+b2,
    在Rt△BCG中,∠BCG=90°,则BG=BC2+CG2=1+m2a2+b2 cs∠BFE=cs∠CBG=BCBG=a2+b21+m2a2+b2=m2+1m2+1,
    故答案为:m2+1m2+1.
    【点睛】本题考查求三角函数值,涉及相似三角形判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理及余弦函数定义,准确构造辅助线,熟练运用相似三角形判定与性质是解决问题的关键.
    【变式1-2】(2023·四川成都·统考中考真题)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,CD平分∠ACB交AB于点D,过D作DE∥BC交AC于点E,将△DEC沿DE折叠得到△DEF,DF交AC于点G.若AGGE=73,则tanA= .

    【答案】377
    【分析】过点G作GM⊥DE于M,证明△DGE∽△CGD,得出DG2=GE×GC,根据AD∥GM,得AGGE=73=DMME,设GE=3,AG=7,EM=3n,则DM=7n,则EC=DE=10n,在Rt△DGM中,GM2=DG2−DM2,在Rt△GME中,GM2=GE2−EM2,则DG2−DM2=GE2−EM2,解方程求得n=34,则EM=94,GE=3,勾股定理求得GM,根据正切的定义,即可求解.
    【详解】解:如图所示,过点G作GM⊥DE于M,

    ∵CD平分∠ACB交AB于点D,DE∥BC
    ∴∠1=∠2,∠2=∠3
    ∴∠1=∠3
    ∴ED=EC
    ∵折叠,
    ∴∠3=∠4,
    ∴∠1=∠4,
    又∵∠DGE=∠CGD
    ∴△DGE∽△CGD
    ∴DGCG=GEDG
    ∴DG2=GE×GC
    ∵∠ABC=90°,DE∥BC,则AD⊥DE,
    ∴AD∥GM
    ∴AGGE=DMME,∠MGE=∠A,
    ∵AGGE=73=DMME
    设GE=3,AG=7,EM=3n,则DM=7n,则EC=DE=10n,
    ∵DG2=GE×GC
    ∴DG2=3×3+10n=9+30n
    在Rt△DGM中,GM2=DG2−DM2
    在Rt△GME中,GM2=GE2−EM2
    ∴DG2−DM2=GE2−EM2
    即9+30n−7n2=32−3n2
    解得:n=34
    ∴EM=94,GE=3
    则GM=GE2−ME2=32−942=374
    ∴tanA=tan∠EGM=MEMG=94374=377
    故答案为:377.
    【点睛】本题考查了求正切,折叠的性质,勾股定理,平行线分线段成比例,相似三角形的性质与判定,熟练掌握以上知识是解题的关键.
    【变式1-3】(2023春·江苏常州·九年级校考期末)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=4,AD是BC边上的高,将△ABC绕点C旋转到△EFC(点E、F分别与点A、B对应),点F落在线段AD上,连接AE,则cs∠EAF= .
    【答案】21−2310
    【分析】过点E作EG⊥AD于点G,结合旋转的性质可求cs∠FCD=CDCF=12,进而可证△ACE是等边三角形,可求出AD=21−23,即可求解.
    【详解】解:如图,过点E作EG⊥AD于点G,
    ∵将△ABC绕点C旋转,点B落在线段AD上的点F处,
    ∴CF=BC=4,CE=EF=AB=5,∠ACB=∠ECF,AC=EC,
    ∴∠FCD+∠ACF=∠ACE+∠ACF,
    ∴∠FCD=∠ACE;
    ∵AB=AC,AD是BC边上的高,
    ∴CD=12BC=2,
    ∴cs∠FCD=CDCF=24=12,
    ∴∠FCD=60°,
    ∴DF=CF•sin∠FCD =4×32=23,
    ∴∠ACE=∠FCD=60°,
    ∵AC=EC,
    ∴△ACE是等边三角形,
    ∴AE=EF=5,
    ∴在Rt△ACD中
    AD=AC2−CD2 =52−22=21,
    ∴AF=AD−DF =21−23,
    ∵AE=EF,EG⊥AD,
    ∴AG=12AF=21−232,
    ∴cs∠EAF=AGAE =21−2325 =21−2310.
    故答案为:21−2310.
    【点睛】本题考查了旋转的性质,勾股定理,等腰三角形“三线合一”,等边三角形的判定及性质,特殊角的三角函数等,掌握相关性质及定理,构建直角三角形是解题的关键.
    【题型2 用等角转换法求锐角三角函数值】
    【例2】(2023秋·江苏常州·九年级统考期末)已知点P在△ABC内,连接PA、PB、PC,在△PAB、△PBC、△PAC中,如果存在一个三角形与△ABC相似,那么就称点P为△ABC的自相似点,如图,在直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=12,BC=5,如果点P为直角△ABC的自相似点,那么tan∠ACP= .
    【答案】512
    【分析】先找到Rt△ABC的内相似点,再根据三角函数的定义计算tan∠ACP即可.
    【详解】解:∵∠ACB=90°,AC=12,BC=5,
    ∴∠CAB0),先根据余弦三角函数得出BE的长,再根据等腰三角形的三线合一可得BB′的长,从而可得AB′的长,然后根据旋转的性质可得A′C=4a,∠A=∠A′,最后根据相似三角形的判定与性质可得B′DCD=AB′A′C,由此即可得出答案.
    【详解】如图,过点C作CE⊥AB于点E
    ∵在Rt△ABC中,∠C=90°,csB=BCAB=35
    ∴可设BC=3a(a>0),则AB=5a,AC=AB2−BC2=4a
    ∴△BCB′是等腰三角形
    ∴BB′=2BE(等腰三角形的三线合一)
    由旋转的性质可知,B′C=BC=3a,A′C=AC=4a,∠A=∠A′
    在Rt△BCE中,csB=BEBC,即BE3a=35
    解得BE=9a5
    ∴BB′=2BE=18a5
    ∴AB′=AB−BB′=5a−18a5=7a5
    在△AB′D和△A′CD中,∠A=∠A′∠ADB′=∠A′DC
    ∴△AB′D∼△A′CD
    ∴B′DCD=AB′A′C=7a54a=720
    故选:B.

    【点睛】本题考查了余弦三角函数、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、旋转的性质等知识点,通过作辅助线,运用余弦三角函数求出BE的长是解题关键.
    【变式3-3】(2023·全国·九年级专题练习)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,tan∠BAC=12,AD=2,BD=4,连接CD,则CD长的最大值是( )
    A.25+34B.25+1C.25+32D.25+2
    【答案】B
    【分析】过点A作∠DAP=∠BAC,过点D作AD⊥DP交AP于点P,分别求出PD,PC,在△PDC中,利用三角形的三边关系即可求出CD长的最大值.
    【详解】解:如图,过点A作∠DAP=∠BAC,过点D作AD⊥DP交AP于点P,
    ∵∠ABC=90°,tan∠BAC=12,
    ∴tan∠DAP=tan∠BAC=12,
    ∴DPAD=12,
    ∵AD=2,
    ∴DP=1,
    ∵∠DAP=∠BAC,∠ADP=∠ABC,
    ∴△ADP∽△ABC,
    ∴APAC=ADAB,
    ∵∠DAB=∠DAP+∠PAB,∠PAC=∠PAB+∠BAC,∠DAP=∠BAC,
    ∴∠DAB=∠PAC,APAC=ADAB,
    ∴△ADB∽△APC,
    ∴ADAP=DBPC,
    ∵AP=AD2+DP2=22+12=5,
    ∴PC=AP⋅DBAD=5×42=25,
    ∴PD+PC=1+25,PC−PD=25−1,
    在△PDC中,∵PD+PC>DC,PC−PD

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