2024年陕西省中考数学模拟试卷51

这是一份2024年陕西省中考数学模拟试卷51，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.－绝对值是（ ）
A. － B. C. － D.
2.下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
3.下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.如图，已知AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠BED＝40°，则∠A的度数是（ ）
A. 45° B. 50°
C. 80° D. 90°
5.如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（ ）

B．
C．D．3
6.如图，在△ABC中点D为△ABC的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4．则△DBC的面积是（ ）
A．4B．2
C．2D．4
7.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3
C．2D．1
8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝27，AD＝2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A'B'C，当A'B'恰好经过点D时，△B'CD为等腰三角形，若BB'＝2，则AA'＝（ ）
11B．23
C．13D．14
二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，计 15 分）
9.计算的结果是___________．
10.一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是 6 ．
11.如图，在□ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为___________．
（11题图）
12.已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是 ．
13.二次函数y＝ax2﹣3ax+3的图象过点A（6，0），且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为 ．
三、解答题（共 13 小题，计 81 分．解答应写出过程）
14.计算：6sin45°＋｜2－7｜－＋（2019－）0
．
解不等式组：2x≤6−x，①3x+1＞2(x−1)．②
16.化简：（－）÷（－1）．
17.已知平行四边形ABCD．尺规作图：作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
18.如图，AB、CD相交于点O，AO=BO，AC∥DB．求证：AC=BD．
19.重庆某中学组织七、八、九年级学生参加“直辖20年，点赞新重庆”作文比赛．该校将收到的参赛作文进行分年级统计，绘制了如图1和图2两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息完成以下问题．
（1）扇形统计图中九年级参赛作文篇数对应的圆心角是 度，并补全条形统计图；
（2）经过评审，全校共有4篇作文荣获特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校刊上，请利用画树状图或列表的方法求出七年级特等奖作文被选登在校刊上的概率．
20.古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝斤，干燥后耗损斤两（古代中国斤等于两）．今有干丝斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为多少斤？
21.如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°，已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：，(坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，求楼房AB高度.（结果精确到0.1米）（参考数据：≈1.73，≈1041）
22.某校组织全校800名学生开展安全教育，为了解该校学生对安全知识的掌握程度，现随机抽取40名学生进行安全知识测试，并将测试成绩（百分制）作为样本数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
①将样本数据分成5组：，，，，，并制作了如图所示的不完整的频数分布直方图；
②在这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，88，89．

根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)抽取的40名学生成绩的中位数是___________；
(3)如果测试成绩达到80分及以上为优秀，试估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有多少人？
23.某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如下表：
注：周销售利润＝周销售量×（售价－进价）
（1） ① 求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）
② 该商品进价是_________元/件；当售价是________元/件时，周销售利润最大，最大利润是__________元
（2） 由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值
24.如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，CE＝6，求AC的长．
25.如图，抛物线与x轴交于点A（－1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，－3）．点P、Q是抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．
26.在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作和，设．
【操作探究】
如图1，先将和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接．

(1)当时，________；当时，________；
(2)当时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；
(3)如图2，取的中点F，将绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为________．
2024 年陕西省中考数学试卷
一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，计 24 分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1.－绝对值是（ ）
A. － B. C. － D.
【答案】B．
【解析】由负数的绝对值是它的相反数，得－绝对值是，故选B．
【知识点】绝对值
2.下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
【答案】D．
【解析】判断是否是中心对称图形,关键要确定对称中心；判断是否是轴对称图形,关键要确定对称轴．
解：根据中心对称图形的定义, D图形是中心对称图形，根据轴对称图形的定义, 得图形A, B,C,D都是轴对称图形，所以既是轴对称图形 是中心对称图形的是D,故选D．
【知识点】轴对称图形; 中心对称图形
3.下列计算正确的是（ ）
B． C． D．
【答案】B
【解析】A、根据乘方的定义，该选项不正确；
B、根据幂的乘方底数不变指数相乘得，该选项正确；
C、根据同底数的幂相乘，底数不变，指数相加得，该选项不正确；
D、根据整式加减的法则，只有同类项才能合并，故不正确．
【知识点】乘方、幂的运算性质、整式的加减
4.如图，已知AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠BED＝40°，则∠A的度数是（ ）
A. 45° B. 50° C. 80° D. 90°
【答案】B．
【解析】∵AB∥CD，∴∠B＝∠BED＝40°，∵BE⊥AF，∴∠A＝50°，故选B．
【知识点】平行线的性质；
5.如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（ ）

A．B．C．D．3
【答案】A
【分析】如图所示，点在上，证明，根据的几何意义即可求解．
【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，点在上，

∵，，
∴．
∴．
∴．
∵点在第二象限，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数的的几何意义，熟练掌握以上知识是解题的关键
6.如图，在△ABC中点D为△ABC的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4．则△DBC的面积是（ ）
A．4B．2C．2D．4
【答案】B
【分析】过点B作BH⊥CD于点H．由点D为△ABC的内心，∠A=60°，得∠BDC=120°，则∠BDH=60°，由BD=4，BD：CD=2：1得BH=2，CD=2，于是求出△DBC的面积．
【详解】解：过点B作BH⊥CD于点H．
∵点D为△ABC的内心，∠A=60°，∴∠BDC=90°+∠A=90°+×60°=120°，则∠BDH=60°，
∵BD=4，BD：CD=2：1∴DH=2，BH=2，CD=2，
∴△DBC的面积为CD•BH=×2×2=2.故选B.
【点睛】本题考查了三角形内心的相关计算，熟练运用含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
7.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】先由抛物线与x轴的交点个数判断出结论①，先由抛物线的开口方向判断出a＜0，进而判断出b＞0，再用抛物线与y轴的交点的位置判断出c＞0，判断出结论②，利用抛物线的对称轴为x＝2，判断出结论③，最后用x＝﹣2时，抛物线在x轴下方，判断出结论④，即可得出结论．
【解析】解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2，∴﹣＝2，∴4a+b＝0，故③正确，
由图象知，抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵4a+b＝0，∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，∴abc＜0，故②正确，由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，
即正确的结论有3个，故选：B．
【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知各系数与图像的关系．
8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝27，AD＝2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A'B'C，当A'B'恰好经过点D时，△B'CD为等腰三角形，若BB'＝2，则AA'＝（ ）
A．11B．23C．13D．14
【答案】A
【分析】过D作DE⊥BC于E，则∠DEC=∠DEB=90°，根据矩形的性质得BE=AD=2，DE=AB=27，根据旋转的性质得到∠DB'C=∠ABC=90°，B'C=BC，A'C=AC，∠A'CA=∠B'CB，推出△B'CD为等腰直角三角形，得到CD=2B'C，设B'C=BC=x，则CD=2x，CE=x−2，根据勾股定理即可得到结论．
【解析】解：过D作DE⊥BC于E，则∠DEC=∠DEB=90°，
∵AD//BC，∠ABC=90°，∴∠DAB=∠ABC=90°，∴四边形ABED是矩形，∴BE=AD=2，DE=AB=27，
∵将ΔABC绕点C顺时针方向旋转后得△A'B'C，
∴∠DB'C=∠ABC=90°，B'C=BC，A'C=AC，∠A'CA=∠B'CB，∴△A'CA∽△B'CB，∴ A'AB'B=ACBC，
∵△B'CD为等腰三角形，∴△B'CD为等腰直角三角形，∴CD=2B'C，
设B'C=BC=x，则CD=2x，CE=x−2，∵CD2=CE2+DE2，∴(2x)2=(x−2)2+(27)2，
∴x=4（负值舍去），∴BC=4，∴AC=AB2+BC2=211，∴ A'A2=2114，∴A'A=11，故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，计 15 分）
9.计算的结果是___________．
【答案】4
【解析】＝＝4．
【知识点】二次根式的性质
10.一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是 6 ．
【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，外角和为360°，根据题意列方程求解．
【解析】设这个多边形的边数为n，依题意，得：
（n﹣2）•180°＝2×360°，
解得n＝6．
故答案为：6．
11.如图，在□ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为___________．
【答案】21°
【解析】如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠1＝∠5．∵∠ADF＝90°，AE＝EF，∴DE＝AF＝AE，∴∠1＝∠2．∴∠5＝∠2．∵AE＝CD，DE＝AE,∴DE＝CD．∴∠3＝∠4．∵∠3＝∠1＋∠2＝2∠2．∴∠4＝2∠2． ∵ ∠BCD＝63°，∴∠5＋∠4＝63°．即3∠2＝63°，∴∠2＝21°．即∠ADE＝21°．
【知识点】平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，直角三角形的性质
12.已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是 ．
【答案】6
【解析】如图，作OD⊥BC于D，∵OB＝6，∠OBD＝30，∴BD＝BC＝3，∴BC＝6，故答案为6．
【知识点】垂径定理；锐角三角函数
13.二次函数y＝ax2﹣3ax+3的图象过点A（6，0），且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为 （32，﹣9）或（32，6） ．
【分析】把点A（6，0）代入y＝ax2﹣3ax+3得，0＝36a﹣18a+3，得到y=−16x2+12x+3，求得B（0，3），抛物线的对称轴为x=−122×(−16)=32，设点M的坐标为：（32，m），当∠ABM＝90°，过B作BD⊥对称轴于D，当∠M′AB＝90°，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解析】把点A（6，0）代入y＝ax2﹣3ax+3得，0＝36a﹣18a+3，
解得：a=−16，
∴y=−16x2+12x+3，
∴B（0，3），抛物线的对称轴为x=−122×(−16)=32，
设点M的坐标为：（32，m），
当∠ABM＝90°，
过B作BD⊥对称轴于D，
则∠1＝∠2＝∠3，
∴tan∠2＝tan∠1=63=2，
∴DMBD=2，
∴DM＝3，
∴M（32，6），
当∠M′AB＝90°，
∴tan∠3=M'NAN=tan∠1=63=2，
∴M′N＝9，
∴M′（32，﹣9），
综上所述，点M的坐标为（32，﹣9）或（32，6）．
三、解答题（共 13 小题，计 81 分．解答应写出过程）
14.计算：6sin45°＋｜2－7｜－＋（2019－）0
【思路分析】本题考查了零次幂的意义、乘方、绝对值以及三角函数，关键是掌握基本的运算法则．根据零指数幂、乘方、绝对值、特殊角三角函数值分别进行计算，然后再进行有理数的加减．
【解题过程】原式＝6＋7－2－8＋1＝
【知识点】零指数幂 ；幂的乘方；绝对值；特殊角的三角函数值；实数的四则运算．
15.解不等式组：2x≤6−x，①3x+1＞2(x−1)．②
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解析】解不等式①，得：x≤2，
解不等式②，得：x＞﹣3，
则不等式组的解集为﹣3＜x≤2．
16.先化简，再选一个合适的数代入求值：（－）÷（－1）．
【思路分析】此题主要考查的是分式的化简求值，根据运算顺序，先算括号里的，再算乘除．
【解题过程】解：原式＝（－）÷
＝·＝
取x＝3代入中，得原式＝＝
【知识点】分式的通分和约分；分式的除法；
已知平行四边形ABCD．
尺规作图：作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
思路分析： ：作AF平分∠BAD；
解：如图，射线AF即为所求；
18.如图，AB、CD相交于点O，AO=BO，AC∥DB．求证：AC=BD．
【答案】见解析
【分析】要证明AC=BD，只要证明△AOC≌△BOD，根据AC//DB可得∠A=∠B，∠C=∠D，又知AO=BO，则可得到△AOC≌△BOD，从而求得结论．
【详解】（方法一）
∵AC//DB，
∴∠A=∠B，∠C=∠D．
在△AOC与△BOD中
∵∠A=∠B，∠C=∠D，AO=BO，
∴△AOC≌△BOD．
∴AC=BD．
（方法二）∵AC//DB，
∴∠A=∠B．
在△AOC与△BOD中，
∵，
∴△AOC≌△BOD．
∴AC=BD．
19.重庆某中学组织七、八、九年级学生参加“直辖20年，点赞新重庆”作文比赛．该校将收到的参赛作文进行分年级统计，绘制了如图1和图2两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息完成以下问题．
（1）扇形统计图中九年级参赛作文篇数对应的圆心角是 度，并补全条形统计图；
（2）经过评审，全校共有4篇作文荣获特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校刊上，请利用画树状图或列表的方法求出七年级特等奖作文被选登在校刊上的概率．
思路分析：（1）由两个统计图可知，七年级有20篇参赛作文，占20％，九年级有35篇参赛作文，∴收到的参赛作文篇数为20÷20%＝100篇，∴九年级参赛作文篇数对应的圆心角是360°×＝126°；收到八年级的参赛作文篇数为100－20－35＝45篇，据此可补全条形统计图．
（2）通过列表法或树状图求出事件发生的所有可能结果，再找出七年级特等奖作文被选登在校刊上的结果数，根据P(A)＝ 可求出相应的概率．
解：（1）126，45；
（2）假设4篇荣获特等奖的作文分别为A、B、C、D，其中A代表七年级获奖的特等作文．列表法：
∴．
20.古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝斤，干燥后耗损斤两（古代中国斤等于两）．今有干丝斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为多少斤？
【答案】
【分析】设原有生丝斤，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设原有生丝斤，依题意，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程解题的关键．
21.如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°，已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：，(坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，求楼房AB高度.（结果精确到0.1米）（参考数据：≈1.73，≈1041）
【思路分析】构造直角三角形，设楼房AB的高为x米，根据30°角的锐角三角函数构建方程，解方程求得x的值，按要求取近似数即可.
【解题过程】解：设楼房AB的高为x米，则EB＝x，
∵坡度i＝1: ，∴坡面CD的铅直高度为5米，坡面的水平宽度为米，
∴，
解得x＝15＋5≈237（米）.
所以楼房AB的高度约为237米.
【知识点】解直角三角形的实际应用
22.某校组织全校800名学生开展安全教育，为了解该校学生对安全知识的掌握程度，现随机抽取40名学生进行安全知识测试，并将测试成绩（百分制）作为样本数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
①将样本数据分成5组：，，，，，并制作了如图所示的不完整的频数分布直方图；
②在这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，88，89．

根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)抽取的40名学生成绩的中位数是___________；
(3)如果测试成绩达到80分及以上为优秀，试估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有多少人？
【答案】(1)见解析
(2)82
(3)估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有人
【分析】（1）根据总人数减去其他组的人数求得的人数，即可补全直方图；
（2）根据中位数为第20、21个数据的平均数，结合直方图或分布表可得；
（3）用样本估计总体即可得．
【详解】（1）解：(人)，
补全的频数分布直方图如下图所示，
；
（2）解：∵，
∴第20、21个数为81、83；
∴抽取的40名学生成绩的中位数是；
故答案为：82；
（3）解：由题意可得：（人），
答：估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有人．
【点睛】本题考查频数分布直方图、中位数，用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
23.某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如下表：
注：周销售利润＝周销售量×（售价－进价）
（1） ① 求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）
② 该商品进价是_________元/件；当售价是________元/件时，周销售利润最大，最大利润是__________元
（2） 由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值
【思路分析】（1）①利用待定系数法设y＝kx＋b，带入两个点的坐标即可求得y关于x的函数解析式为y＝－2x＋200；
②将售价50，周销售量100，周销售利润1000，带入周销售利润＝周销售量×（售价－进价）即可得到进价为40；周销售利润w＝（x－40）y＝（x－40）（－2x＋200），利用二次函数性质求出w的最大值即可，w取得最大值的点即为所对应的售价．
（2）w＝（x－40－m）（－2x＋200），其中x≤65，利用二次函数性质求出w的最大值令其等于1400，即可求得m的值．
【解题过程】（1）①设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，依题意有，，解得，k＝－2，b＝200，y与x的函数关系式是y＝－2x＋200；
②将售价50，周销售量100，周销售利润1000，带入周销售利润＝周销售量×（售价－进价）得到，1000＝100×（50－进价），即进价为40元/件；周销售利润w＝（x－40）y＝（x－40）（－2x＋200）＝－2（x－70）2＋1800，故当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元，故答案为40，70，1800；
（2）依题意有，w＝（－2x＋200）（x－40－m）＝－2x2＋（2m＋280）x－8000－200m＝
∵m＞0，∴对称轴，
∵－2＜0，∴抛物线开口向下，
∵x≤65，∴w随x的增大而增大，
∴当x＝65时，w有最大值（－2×65＋200）（65－40－m），
∴（－2×65＋200）（65－40－m）＝1400，
∴m＝5．
【知识点】待定系数法，二次函数的性质，二次函数的实际应用
24.如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，CE＝6，求AC的长．
【思路分析】本题主要考查了圆的切线的证法和三角形相似以及勾股定理的运用．（1）连接OD，只要通过证明△AOC≌△AOD（SAS）就可得到∠ADO＝∠ACO＝90°，所以切线得证．（2）先在Rt△ODB中运用勾股定理，可以求出OB的长度，这样就知道了BC的长，然后再证明△BDO∽△BCA得到，代入即可求出AC的长度．
【解题过程】证明：（1）连接OD，∵DE∥OA，∴∠AOC＝∠OED，∠AOD＝∠ODE，∵OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∴∠AOC＝∠AOD，又∵OA＝OA，OD＝OC，∴△AOC≌△AOD（SAS），∴∠ADO＝∠ACO．∵CE是⊙O的直径，AC为⊙O的切线，∴OC⊥AC，∴∠ OCA＝90°，∴∠ADO＝＝90°，∴OD⊥AB，
∵OD为⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线．
（2）∵CE＝6，∴OD＝OC＝3，∵∠BDO＝90°，∴，∵BD＝4，∴OB＝＝5，
∴BC＝8，∵∠BDO＝∠ OCA＝90°，∠B＝∠B，∴△BDO∽△BCA，∴，∴，∴AC＝6．
【知识点】切线的判定与性质；全等三角形的判定；勾股定理；相似三角形的判定和性质；
25.如图（14），抛物线与x轴交于点A（－1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，－3）．点P、Q是抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．
【思路分析】（1）、利用二次函数的一般式，运用待定系数法，将已知三点的坐标代入求出a、b、c的值进而求得解析式或结合抛物线与x轴相交于A、B两点，利用交点式，设，再将D点的坐标代入求得a的值．
（2）、先设P点的坐标，进而求出直线PD与y轴的交点F，则，再利用配方法结合自变量的范围求面积的最大值．
【解题过程】
解：（1）方法一、将点A（－1，0），点B（3，0），点D（2，3）代入得，
解得
∴抛物线的解析式为
方法二、∵抛物线与x轴交于点A（－1，0），点B（3，0），
∴设抛物线的解析式为．
又∵抛物线过点 D（2，－3），
∴
∴
∴．
（2）如图，设PD与y轴相交于点F，OD与抛物线相交于点G，
设P坐标为（），则直线PD的解析式为，它与y轴的交点坐标为F（0，－2m－3），则OF＝2m+3．
∴
由于点P在直线OD下方，所以．
∴当时，△POD面积的最大值
【知识点】二次函数解析式的求法、坐标系中三角形面积的求法、二次函数最值的应用、相似三角形的判定．
26.在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作和，设．
【操作探究】
如图1，先将和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接．

(1)当时，________；当时，________；
(2)当时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；
(3)如图2，取的中点F，将绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为________．
【答案】(1)2；30或210
(2)画图见解析；
(3)
【分析】（1）当时，与重合，证明为等边三角形，得出；当时，根据勾股定理逆定理得出，两种情况讨论：当在下方时，当在上方时，分别画出图形，求出结果即可；
（2）证明四边形是正方形，得出， 求出，得出，求出，根据求出两块三角板重叠部分图形的面积即可；
（3）根据等腰三角形的性质，得出，即，确定将绕着点A旋转一周，点F在以为直径的圆上运动，求出圆的周长即可．
【详解】（1）解：∵和中，
∴，
∴当时，与重合，如图所示：连接，

∵，，
∴为等边三角形，
∴；
当时，
∵，
∴当时，为直角三角形，，
∴，
当在下方时，如图所示：

∵，
∴此时；
当在上方时，如图所示：

∵，
∴此时；
综上分析可知，当时，或；
故答案为：2；30或210．
（2）解：当时，如图所示：

∵，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
即两块三角板重叠部分图形的面积为．
（3）解：∵，为的中点，
∴，
∴，
∴将绕着点A旋转一周，点F在以为直径的圆上运动，
∵
∴点F运动的路径长为．
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，解直角三角形，旋转的性质，确定圆的条件，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是画出相应的图形，数形结合，并注意分类讨论．
售价x（元/件）
50
60
80
周销售量y（件）
100
80
40
周销售利润w（元）
1000
1600
1600
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
售价x（元/件）
50
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周销售量y（件）
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周销售利润w（元）
1000
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