河南省郑州市宇华实验学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题

这是一份河南省郑州市宇华实验学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题，共13页。试卷主要包含了若,且,则等于，函数的零点一定位于区间，已知，且，满足，则，下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
4.试卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若命题“任意正数x，y，不等式恒成立”是真命题，则正实数a的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
2.若,则关于x的不等式的解集是（ ）
A.B.或C.或D.
3.“”是“幂函数在上是减函数”的一个（ ）条件
A.充分不必要B.必要不充分
C.充要D.既不充分也不必要
4.直角坐标平面上将函数(,)的图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位,则所得新函数的图像恒过定点（ ）
A.B.C.D.
5.若,且,则等于（ ）
A.4B.3C.2D.1
6.函数的零点一定位于区间（ ）
A.B.C.D.
7.已知，且，满足，则（ ）
A.B.C.D.
8.已知中，，，，动点P从点C出发沿线段CB运动，到达点B时停止，动点Q从点B出发沿线段BC运动，到达点C时停止，且动点Q的速度是动点P的2倍.若二者同时出发，且一个点停止运动时，另一个点也停止运动，则该过程中的最大值是（ ）
A.B.4C.D.23
二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.
9.下列运算正确的是（ ）
A.(,,且)
B.(,,且)
C.(,且)
D.(,且)
10.已知A,B是直线与函数图象的两个相邻交点,若,则的值可能是（ ）
A.2B.4C.8D.10
11.已知正三角形ABC的边长为6，D，E为边AC上两点，且，F为边AB上一点，且，则下列结论正确的是（ ）
A.B.
C.与的夹角为D.
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.在平面直角坐标系xOy中，角与角均以为始边，它们的终边关于y轴对称.若角的终边经过点，则__________.
13.平面向量，，，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则___________.
14.若，，其中，，则的值为__________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知幂函数在上单调递增.
（1）求的解析式；
（2）若在上恒成立，求实数k的取值范围.
16.（15分）设常数,函数,.
（1）当时,求函数的值域；
（2）若函数的最小值为0,求a的值.
17.（15分）抗击疫情众志成城.假期期间一高中同学积极参加社区抗疫宣传活动.抗疫宣传活动共分3批次进行,每次活动需要同时派出2名志愿者,且每次派出人员均从5名志愿者同学中随机抽选,已知这5名志愿者中,有2人有活动经验,其他3人没有活动经验.经验可以累积.
（1）求5名志愿者中“小K”,在这3批次安装活动中有且只有一次被抽选到的概率；
（2）求第二次抽选时,选到没有活动经验志愿者的人数最多可能是几人？请说明理由.
18.（17分）某日，中国海军护航编队太原舰在A处收到某商船在航行中发出的求救信号后，立即测出该商船在方位角（是从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角）为、距离A处为的C处，并测得该商船正沿方位角为的方向，以的速度航行，太原舰立即以的速度前去营救.
（1）太原舰最少需要多少小时才能靠近商船？
（2）在营救时间最少的前提下，太原舰航行的方位角约是多少？
（角度精确到，参考数据：，，.）
19.（17分）已知，是函数的两个相邻的零点.
（1）求的值；
（2）若对任意，都有，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程在上有两个不同的解，求实数m的取值范围.
参考答案
一、单项选择题
1.答案：C
解析：因为，
所以，即，解得（舍）或，
所以，故选C.
2.答案：A
解析：因为,,所以,所以.
原不等式可化为所以,解得.
所以,不等式的解集为.
故选：A.
3.答案：A
解析：由题意,当时,在上是减函数,故充分性成立；
若幂函数在上是减函数,
则,解得或
故必要性不成立
因此“”是“幂函数在上是减函数”的一个充分不必要条件.故选:A
4.答案：A
解析：因为(,),
令,得,,
所以的图像过定点,
将定点向左平移1个单位,再向上平移1个单位,得,
所以的图像恒过定点.
故选:A.
5.答案：D
解析：设,
得到,
则,
故选：D.
6.答案：C
解析：，，又因为函数，在区间上都是增函数，所以在区间上为增函数，所以其零点一定位于区间.故选：C.
7.答案：D
解析：，
.①
，
.②
将②代入①，得，.
8.答案：C
解析：中，，，，，，，.由题意知，，当时，取得最大值，最大值为.故选C.
二、多项选择题
9.答案：BCD
解析：对于选项A,,故选项A错误；
对于选项B,根据对数的运算性质可以判断选项B正确；
对于选项C,由换底公式可以判断选项C正确；
对于选项D,,故选项D正确.
故选:BCD
10.答案：AD
解析：设函数的最小正周期为T,则或者,
即或,解得或,
11.答案：AD
解析：，故A正确；
，所以
，故B错误；
如图，取DE的中点M，连接BM，则，因为为等边三角形，所以与的夹角为，即与的夹角为，故C错误；
因为，所以
，故D正确.
三、填空题
12.答案：
解析：由题意可知的终边过点，的终边过点，
由三角函数的定义有：，，
则：.
13.答案：2
解析：由，，得，，，，.
与a的夹角等于c与b的夹角，
，
即，解得.
14.答案：
解析：，，
，.
，
，
.又，
.
四、解答题
15.（13分）答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为是幂函数，所以，即，
解得或2，因为在上单调递增，所以，即；
（2）由（1）知即，
要使此不等式在上恒成立，
只需使函数在上的最小值大于0即可，
因为在上单调递减，
所以，由，解得，
所以实数k的取值范围是.
16.（15分）答案：（1）
（2）
解析：（1）时,,
令,,,,即,
则,,
在递增,且,
,
故的值域是.
（2）函数,,
令,,,即,
故,,
当时,在递增,
的最小值是,
解得：,符合题意；
当时,在递减,在递增,
故的最小值是,
解得：,不合题意；
当时,在递减,
的最小值是,
解得：,不合题意；
综上所述：.
17.（15分）答案：（1）
（2）第二次抽取到的没有活动经验志愿者人数最有可能是1人；理由见详解.
解析：（1）5名志愿者中“小K”在每轮抽取中,被抽取到的概率为,
则这3批次安装活动中有且只有一次被抽选到的概率.
（2）第二次抽取到的没有活动经验志愿者人数最有可能是1人.
设X表示第一次抽取到的没有活动经验志愿者人数,X可能的取值有0,1,2,
则；；.
设表示第二次抽取到的没有活动经验志愿者人数,可能的取值有,
则；
；
,
因,
故第二次抽取到的没有活动经验志愿者人数最有可能是1人.
18.（17分）答案：（1）太原舰最少需要才能靠近商船；
（2）
解析：（1）由题意知太原舰沿直线航行时所需时间最少，
如图，设太原舰在B处靠近商船，连接AB，设从A处到靠近商船所用的时间为，
则，，
，
根据余弦定理，得，
即，得，
解得，（舍去）.
故太原舰最少需要才能靠近商船.
（2）方法一：由（1）知（n mile），（n mile），
由余弦定理可得.
又，，
故太原舰航行的方位角约为.
方法二：由（1）知（n mile），（n mile），
由正弦定理，
得，
，
故太原舰航行的方位角约为.
19.（17分）答案：（1）；（2）答案：；（3）
解析：（1）
.
由题意可知，的最小正周期，
，又，，
，
.
（2）对任意，恒有，则恒成立，即，
，，
，
，即，
，即m的取值范围为.
（3）原方程可化为，
即，.
令，，
画出函数的图象，如图.
由图可知要使原方程在上有两个不同的解，
则需，
即，
的取值范围为.