浙江省杭州市余杭区2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题

这是一份浙江省杭州市余杭区2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题有10小题，每题3分，共30分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选或错选均不得分.
1.下列实数中，是有理数的是（ ）
A.B.C.D.
2.下列运算正确的是（ ）
A.B.
C.D.
3.我国古代科举制度始于隋成于唐，兴盛于明.明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为100，则中卷录取人数为（ ）
A.10B.35C.55D.75
4.若实数，满足，则（ ）
A.B.C.D.
5.《庄子・天下》云：“一尺之捶，日取其半，万世不竭”.若设捶长为1，天数为，则（ ）
A.B.
C.D.
6.已知一组样本数据为不全相等的个正数，其中.若把数据都扩大倍再减去（其中是实数，），生成一组新的数据，则这组新数据与原数据相比较，（ ）
A.平均数相等B.中位数相等C.方差相等D.标准差可能相等
7.如图，矩形是由4块矩形拼接而成，矩形是由4个直角三角形和一个平行四边形拼接而成.则（ ）
A.B.
C.D.
8.已知二次函数的与的部分对应值如下表，则下列判断中错误的是（ ）
A.抛物线开口向上
B.抛物线的对称轴是直线
C.当时，
D.若，是图象上两点，则
9.如图，以正八边形的一条边为边，向形外作一个正方形.在正八边形内作两条对角线，交于点.则（ ）
A.B.C.D.
10.设函数的图象与轴交点的横坐标分别为，，函数的图象与轴交点的横坐标分别为，.当和时，函数的值分别为，；当和时，函数的值分别为，，则（ ）
A.B.C.D.
二、填空题：本题有6小题，每题3分，共18分.
11.若二次根式有意义，写出一个满足条件的的值：______.
12.若某个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是______边形（用数字作答）.
13.国内生产总值（GDP）是衡量某一地区经济状况的指标。统计显示，某市2023年间四个季度的GDP逐季增长，第一个季度和第四季度的GDP分别为232亿元241亿元.若四个季度GDP的中位数和平均数相等，则该市2023年全年的GDP为______亿元.
14.已知函数，设实数，，满足，，当取，，时，对应的函数值分别为，，.当的值最小时，则______.
15.设，若，则______.
16.如图，在矩形中，，，点为边上一点，则的最小值等于______.
三、解答题：本题有8小题，共72分.
17.（本题满分6分）
已知，，求的值.
18.（本题满分6分）
如图，某无人机爱好者在可飞行区域放飞无人机，当无人机飞行到一定高度点处时，无人机测得操控者的俯角约为，测得某建筑物顶端点处的俯角约为.已知操控者和建筑物之间的水平距离为，此时无人机距地面的高度为，，，，在同一平面内，求建筑物的高度（计算结果保留整数）.
（参考数据：，，）
19.（本题满分8分）
在一项科学实验中，研究人员对不同形状的物体进行了压力测试，这些物体的质量相同，但形状各异.研究人员将这些物体放置在水平的测试平台上，并记录了测试平台受到的压力（单位：）与受力面积（单位：）之间的关系，结果如下表所示.
（1）根据如表数据，求桌面所受压强与受力面积之间的函数表达式.
（2）现将相同质量，且边长为的正方体放置于该水平玻璃桌面上.若该玻璃桌面能承受的最大压强为，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由.
20.（本题满分8分）
公司在购买某种机器时，往往会给每台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元.此类机器一般使用期为五年，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，则每次实际维修时还需支付工时费500元；如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修服务费为5000元（含工时费）.甲公司计划购买1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在五年使用期内的维修次数，整理得下表：
（1）以这100台机器为样本，估计“1台机器在五年使用期内维修次数不大于10”的概率.
（2）试以这100台机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务更省钱？
21.（本题满分10分）
已知一次函数的图象经过点，且与轴交于点.
（1）求该函数表达式.
（2）若一次函数的图象与一次函数图象交于点，求，的值.
（3）当时，对于的每一个值，函数的值都大于的值，求的取值范围.
22.（本题满分10分）
如图，在正方形中，点是的中点，连结，，过点作的垂线交，于点，.
（1）求证：是的中点.
（2）求的值.
（3）求与四边形的面积比.
23.（本题满分12分）
【问题背景】
水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂.图1是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭.
图1图2
【实验操作】
为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，并确定了函数表达式为：.同时也收集了飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，发现其近似满足二次函数关系.数据如表所示：
【建立模型】
任务1：求关于的函数表达式.
【反思优化】
图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，.
任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求水火箭飞行的水平距离.
任务3：当水火箭落到内（包括端点，），求发射台高度的取值范围.
24.（本题满分12分）
已知点，，，是上的四个点，且弦，于点.
（1）如图1，点是的中点，在探究，，之间的数量关系时，圆圆同学提出解决的思路：在上截取，连结，可以通过证明三角形全等，从而得到有关线段的等量关系.请你帮圆圆同学写出完整的探究过程.
（2）如图2，是等边三角形，若，，利用（1）的结论，求的周长.
（3）如图3，若，，，，连结，求的度数.
图1 图2 图3
九年级数学独立作业参考答案
一、选择题：本题有10小题，每题3分，共30分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选或错选均不得分。
二、填空题：本题有6小题，每题3分，共18分。
11．不唯一，如0等12．613．946
14．315．116．
三、解答题：本题有8小题，共72分。
17．（本题满分6分）
因为b2＝(－1) 2＝6－2＝2(3－)＝2a．（4分）
所以＝－2＝－．（2分）
18．（本题满分6分）
如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AE于点F，
F
E
45°
53°
D
C
B
A
则∠ABE＝53°，∠ADF＝45°，AE＝32，BC＝40．
所以△ADF是等腰直角三角形，所以DF＝AF，
在Rt△ABE中，tan∠ABE＝，
所以BE＝≈24.1，
所以EC＝BC－BE≈15.9．（3分）
因为四边形FECD是矩形，
所以AF＝DF＝CE≈15.9，
所以CD＝EF＝AE－AF≈32－15.9＝16.1，
答：小建筑物CD的高度约为16米．（3分）
19. （本题满分8分）
（1）由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，
设P＝，将（200，0.5）代入，解得 k＝200×0.5＝100，
∴P＝；（4分）
（2）这种摆放方式不安全，理由如下：
由题意可知s＝0.2×0.2＝0.04，
∴将长方体放置于该水平玻璃桌面上，
P＝＝2500，
∵2500＜5000，
∴这种摆放方式安全．（4分）
20. （本题满分8分）
（1）“1台机器在五年使用期内维修次数不大于10”的概率＝＝．（4分）
（2）购买10次时，
此时这100台机器维修费用的平均数
y1＝×(24000×10＋24500×20＋25000×30＋30000×30＋35000×10)＝27300．
购买11次时，
此时这100台机器维修费用的平均数
y2＝×(26000×10＋26500×20＋27000×30＋27500×30＋32500×10)＝27500．
因为27300＜27500，所以选择购买10次维修服务更省钱．（4分）
21．（本题满分10分）
（1）因为一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象经过点A（1，3），且与y轴交于点B（0，5），
所以，所以，所以该一次函数解析式为y＝－2x＋5．（3分）
（2）因为若一次函数y＝cx－1（c≠0）的图象与一次函数y＝－2x＋5图象交于点C（a，1），
所以－2a＋5＝1，所以a＝2．将C（2，1）坐标代入y＝cx－1得：2c－1＝1，所以c＝1．（3分）
（3）因为函数y＝m(x－2)＋1（m≠0）恒过定点（2，1），且（2，1）
在一次函数y＝－2x＋5图象上．
又因为当x＞3时，对于x的每一个值，函数y＝m(x－2)＋1（m≠0）的值都大于
y＝－2x＋5的值，所以m(3－2)＋1＞－2×3＋5，解得m＞－2．（4分）
22. （本题满分10分）
（1）证：易得，∴， ，
∴，∴F是AD的中点.（4分）
（2）解：不妨设，则，
∴，
∴.（3分）
（3）解：由（2），得S△DFG＝ ，S四边形AEGF＝ ，
S△ECG＝ ，
所以△ECG与四边形AEGF的面积比＝3∶2.（3分）

23. （本题满分12分）
解：任务1：设函数表达式为：y＝a(t－6)2＋18，将顶点（0，0）代入上式得：
解得：a＝－，则y＝－(t－6)2＋18．（3分）
任务2：由x＝3t，得t＝x，
将t＝x代入y＝－(t－6)2＋18，得y＝－x2＋2x．
令y＝－x2＋2x＝0，
解得x＝0（m）（舍去）或36（m），
即水火箭飞行的水平距离为36m；（4分）
任务3：设发射台弹射口高度为c，
则此时的函数表达式为：y＝－x2＋2x＋c，
当x＝AP＝42时，y＝－×(42)2＋2×42＋c＝0，
解得c＝14，
当x＝BP＝(18－24)＋42＝18＋18时，
y＝－×(18＋18)2＋2×(18＋18)＋c＝0，
解得c＝18，即14≤PQ≤18，
故发射台PQ高度范围为14m≤PQ≤18m．（5分）
24.（本题满分12分）
（1）∵A是的中点，∴AE＝AF，
在△AEC和△AFB中，
∵AE＝AF，∠AEC＝∠AFB，EC＝BF，
∴△AEC≌△AFB，∴AC＝AB，
又∵AM⊥EB，∴MC＝MB，所以EC＋CM＝BM＋BF，
即EM＝BM＋BF．（4分）
图1 图2
（2）∵∠BEA＝45°，AE＝20，
∴EM＝ ，又∵A是的中点，
∴MB＋BF＝，
∵△AEF是等边三角形，∴EF＝AE＝20，
∴△BEF周长＝．（4分）
（3）在EB延长线上截取BC＝BF＝19，
连结AC，AF，FC，
不妨设∠AEB＝α，则∠AFB＝α，
∵EB＝25，BM＝3，∴EM＝MC＝22 ，
∵MA⊥EB， ∴EA＝AC，∠AEB＝∠ACB＝α ，
∵BC＝BF，∴∠BFC＝∠BCF，
∴∠AFC＝∠ACF，AF＝AC，
又∵EA＝AC，∴AE＝AF，且∠EBF＝58°，
∴∠AEF＝61°．（4分）
…
0
2
3
4
…
…
5
0
0
…
桌面所受压强
50
100
200
400
受力面积
2
1
0.5
0.25
维修次数
8
9
10
11
12
频数（台数）
10
20
30
30
10
飞行时间
0
2
4
6
8
…
飞行高度
0
10
16
18
16
…
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
D
A
C
A
D
D
D
A
A
某台机器使用期内维修台数
8
9
10
11
12
该台机器维修费用
24000
24500
25000
30000
35000
某台机器使用期内维修台数
8
9
10
11
12
该台机器维修费用
26000
26500
27000
27500
32500