江西省2024届高三下学期二轮复习阶段性检测数学试题

这是一份江西省2024届高三下学期二轮复习阶段性检测数学试题，共14页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁，若，则，已知函数，则，已知，为复数，则等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．将一组数据按照从小到大的顺序排列如下：12，15，17，a，23，25，27，31，36，37，若该组数据的30％分位数为19，则（ ）
A．19B．20C．21D．22
2．若直线与圆交于A、B两点，则（ ）
A．B．2C．D．1
3．记等差数列的前n项和为，若，，则的公差为（ ）
A．5B．6C．7D．8
4．已知l，m为两条不同的直线，，为两个不同的平面，且，，则下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．若l，m异面，则，有公共点
D．若，有公共点，则l，m有公共点
5．若，则（ ）
A．B．7C．D．
6．如图所示，一种儿童储蓄罐有6个密码格，由购买者设定密码后方可使用，其中密码的数字只能在0，1，2中进行选择，且每个密码格都必须设定数字，则数字“1”出现奇数次的不同密码个数为（ ）
A．172B．204C．352D．364
7．阿基米德三角形由伟大的古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用，如在化学中作为一种稳定的几何构型，在平面设计中用于装饰灯等。在圆锥曲线中，称圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形。已知抛物线的焦点为F，顶点为O，斜率为的直线l过点F且与抛物线C交于M，N两点，若为阿基米德三角形，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知四面体ABCD中，，，点E在线段AB上，过点A作，垂足为F，则当的面积最大时，四面体ACDE外接球的表面积与四面体ABCD外接球的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，则（ ）
A．的图象关于原点对称B．的图象关于直线对称
C．在上单调递增D．在上有4个零点
10．已知，为复数，则（ ）
A．若，则为实数
B．
C．若，则
D．若，则复数在复平面内所对应的点位于坐标轴上
11．已知函数的定义域为，其图象关于中心对称，若，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合，，若，则实数的取值范围为______．
13．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，则______；若，则当的面积取得最大值时，______．（第一空2分，第二空3分）
14．已知点M，N是椭圆上关于原点对称的两个点，点P是椭圆C上异于M，N的一点，且以NP为直径的圆过点M，点Q在y轴上，且P，N，Q三点共线，O为坐标原点，若，，成等比数列，则椭圆C的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数．
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）若，，求实数m的取值范围．
16．（15分）现有两组数据，A组：1，2，3，4；B组：1，2，3，4，5．先从A组数据中任取3个，构成数组，再从B组数据中任取3个，构成数组，两组抽取的结果互不影响．
（1）求数组的数据之和不大于8且数组的数据之和大于8的概率；
（2）记，其中表示数组中最小的数，表示数组中最大的数，求X的分布列以及数学期望EX．
17．（15分）如图在四棱锥S－ABCD中，ABCD为菱形，，，．
（1）证明：；
（2）若，求平面SAB与平面SBC所成二面角的正弦值．
18．（17分）已知双曲线的右焦点为F，点在双曲线C上，．
（1）若，且点P在第一象限，点Q关于x轴的对称点为R，求直线PR与双曲线C相交所得的弦长；
（2）探究：的外心是否落在双曲线C在点P处的切线上，若是，请给出证明过程；若不是，请说明理由．
19．（17分）已知数列的前n项和为，若数列满足：①数列项数有限为N；②；③，则称数列为“N阶可控摇摆数列”．
（1）若等比数列为“10阶可控摇摆数列”，求的通项公式；
（2）若等差数列为“2m阶可控摇摆数列”，且，求数列的通项公式；
（3）已知数列为“N阶可控摇摆数列”．且存在，使得，探究：数列能否为“N阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由．
2023—2024学年江西省高三年级二轮复习阶段性检测
数学参考答案及评分细则
1．【答案】C
【解析】该组数据的30％分位数为，故，解得．故选C．
2．【答案】A
【解析】圆心到直线的距离，则．故选A．
3．【答案】A
【解析】设数列的公差为d，依题意，，得，故，则．故选A．
4．【答案】C
【解析】“”是“”的充要条件，故A错误；“”是“”的充要条件，故B错误；若l，m异面，则，相交，即，有公共点，故C正确；若，有公共点，则，相交，但l，m未必相交，故D错误．故选C．
5．【答案】B
【解析】因为，故，则，故．故选B．
6．【答案】D
【解析】若数字“1”出现1次，则有种可能；若数字“1”出现3次，有种可能；若数字“1”出现5次，则有种可能，故数字“1”出现奇数次的不同密码个数为364．故选D．
7．【答案】C
【解析】依题意，，设直线，联立则，解得或，不妨设，，故直线PM的斜率，故直线，直线PN的斜率，故直线，联立解得，，即，则．故选C．
8．【答案】C
【解析】设，则，由等面积法可知，．由已知得平面，故，；因为，，故平面．故，
，故，当且仅当，即时取等号，此时四面体ACDE外接球的半径R满足，而四面体ABCD外接球的半径满足，故所求比值为．故选C．
9．【答案】AD（每选对1个得3分）
【解析】，故为奇函数，图象关于原点对称，故A正确；将代入中，得，故B错误；在上先增后减，故C错误；在上有4个零点，分别是，，，，故D正确．故选AD．
10．【答案】ABD（每选对1个得2分）
【解析】设，，，故为实数，故A正确；，故B正确；令，，故，但，故C错误；若，则，故，即或，故D正确．故选ABD．
11．【答案】ACD（每选对1个得2分）
【解析】因为的图象关于中心对称，故A正确；由，可得，则，则，，由，得，故B错误；由，得，∴①，∴②，②－①得，
又∵，∴，故C正确；又由①得，∴，∴，故D正确．故选ACD．
12．【答案】 （写成或均给分）
【解析】依题意，，，而，则．所以实数A的取值范围为．
13．【答案】2 （第一空2分，第二空3分）
【解析】由正弦定理，，因为，故；而，由正弦定理，，由余弦定理，，得，取线段BC的中点为O，由平行四边形四条边的平方和等于对角线的平方和可得，，则，则当AO为BC边上的高时，的面积取得最大值，由余弦定理，．
14．【答案】
【解析】易知，设直线，不妨设点M，N分别在第一象限、第三象限，则直线PM的斜率；联立则，，而，，成等比数列，则，故直线NP的斜率，由点差法可知，，故所求离心率．
15．解：（1）依题意，，故，
则， ，
故所求切线方程为，即．
（2）依题意，，故对任意恒成立．
令，则，令，解得．
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
则当时，取到极大值，也是最大值2．
故实数m的取值范围为．
【评分细则】
1．第一问切线方程使用斜截式也给满分；若第一步求导错误，下面过程都对，不给分；
2．第二问使用分类讨论的方法，若步骤完善无误也给满分；
3．第二问只交代，，未说明单调性，两个只扣1分；
4．第二问实数m的取值范围写成“”或集合的形式不扣分．
16．解：（1）记“数组的数据之和小大于8”为事件M，“数组的数据之和大于8”为事件N，
则，，
故所求概率．
（2）依题意，X的可能取值为1，2，3，4；
，，
，，
则X的分布列为
则．
【评分细则】
1．求解过程没有必要的文字说明直接给出概率的列式扣1分；
2．没有用表格给出分布列的扣1分；
3．EX的数值未化到最简扣1分．
17．（1）证明：记DB交AC于点O，连接SO．
因为ABCD是菱形，所以，且O为BD的中点．
因为，所以，
又因为平面，且，所以平面，
因为平面，所以．
（2）解：取AB的中点F，连接DF交AC于点E，连接SE．
因为，所以是等边三角形，所以．
又因为，故，，平面，
所以平面．又平面，所以．
由（1）知，且，所以平面．
不妨设，则，．
在中，由，得，所以．
以O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为x轴、y轴，过点O作垂直平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，．
设平面SAB的法向量为，
所以令得；
设平面SBC的法向量为，
所以令得．
故，
所以平面SAB与平面SBC所成二面角的正弦值为．
【评分细则】
1．第二问未交待坐标系中的垂直关系扣1分；
2．第二问若使用几何法求解，过程完整也给满分．
18．解：（1）依题意，，，，
则直线PR的斜率为，
则直线，即；
联立得，解得或，
故所求弦长为．
（2）的外心落在双曲线C在点P的切线上，证明过程如下，
设双曲线C在点P的切线斜率为k，则在点P处的切线方程为，
联立得，
其中，则，
而，故，代入上式可得，，
解得，故双曲线C在点P处的切线方程为，即．
直线FQ的斜率为，线段FQ的中点为，
故直线FQ的中垂线方程为，
联立可得，故外心坐标为，
其满足，故的外心落在双曲线C在点P处的切线上．
【评分细则】
1．第二问利用二级结论直接写出切线方程，若正确，扣2分；
2．第二问的外心纵坐标直接写成也正确，不扣分；
3．其他证明方法如向量法等，若过程正确也给满分．
19．解：（1）若，则，解得，则，与题设矛盾，舍去；
若，则，得，
而，解得或，
故或．
（2）设等差数列，，，…，的公差为d，
因为，则，则，，
由，得，，，
而，故，，
两式相减得，即，
又，得，
所以．
（3）记，，，…，中所有非负项之和为A，负项之和为B，
因为数列为“N阶可控摇摆数列”，则得，，
故，所以．
若存在，使得，即，
则，，…，，，，…，，
且．
假设数列也为“N阶可控摇摆数列”，记数列的前n项和为，
则，
因为，所以．
所以，；
又，则，，…，．
所以；
即与不能同时成立．
故数列不为“N阶可控摇摆数列”．
【评分细则】
1．第一、二问的通项公式未写n的取值范围不扣分；
2．其他解法酌情给分．
X
1
2
3
4
P