河北省沧州市沧县中学2024届高三下学期3月高考模拟测试数学试题

这是一份河北省沧州市沧县中学2024届高三下学期3月高考模拟测试数学试题，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．复数的实部为（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，，则集合的子集共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．8个
3．已知向量与的夹角为，且，，则（ ）
A．B．C．4D．
4．已知有5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站在中间，则不同的站法种数为（ ）
A．32B．36C．40D．42
5．已知在三棱锥中，，则直线与平面所成的角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型（，），其中为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ ）（参考数据：，）
A．12B．13C．14D．15
7．已知抛物线的焦点为F，直线l交抛物线T于A，B两点，M为线段的中点，过点M作抛物线T的准线的垂线，垂足为N，若，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
8．某包装设计部门为一球形塑料玩具设计一种正四面体形状的外包装盒（盒子厚度忽略不计），已知该球形玩具的直径为2，每盒需放入10个塑料球，则该种外包装盒的棱长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知圆，圆，则下列选项正确的是（ ）
A．直线的方程为
B．圆和圆共有4条公切线
C．若P，Q分别是圆和圆上的动点，则的最大值为10
D．经过点，的所有圆中面积最小的圆的面积为
10．已知函数在上有且仅有5个零点，则（ ）
A．的取值范围是
B．的图象在上有且仅有3个最高点
C．的图象在上最多有3个最低点
D．在上单调递增
11．已知函数，则（ ）
A．当时，有极小值B．当时，有极大值
C．若，则D．函数的零点最多有1个
三、填空题
12．已知，则 ．
13．自然界中某些生物的基因型是由雌雄配子的基因组合而成的，这种生物在生育下一代时，成对的基因相互分离形成配子，配子随机结合形成下一代的基因型．若某生物群体的基因型为，在该生物个体的随机交配过程中，基因型为的子代因无法适应自然环境而被自然界淘汰．例如当亲代只有的基因型个体时，其子一代的基因型如下表所示：
由上表可知，子一代中，子一代产生的配子中A占，a占，以此类推，子七代中的个体所占的比例为 ．
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆T上一点，且，若的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，则椭圆T的离心率 ．
四、解答题
15．已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求C；
(2)求的最大值．
16．如图，已知在圆柱中，A，B，C是底面圆O上的三个点，且线段为圆O的直径，，为圆柱上底面上的两点，且矩形平面，D，E分别是，的中点．
(1)证明：平面．
(2)若是等腰直角三角形，且平面，求平面与平面的夹角的正弦值．
17．某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24．
(1)若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．
(2)记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m（且）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A，否则该组标为B，记询问的某组被标为B的概率为p．
（i）试用含m的代数式表示p；
（ii）若一共询问了5组，用表示恰有3组被标为B的概率，试求的最大值及此时m的值．
18．已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若，恒成立，求实数a的取值范围．
19．已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点F到渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若双曲线上动点Q处的切线交C的两条渐近线于A，B两点，其中O为坐标原点，求证：的面积S是定值．
雌
雄
参考答案：
1．A
【分析】
根据复数的运算法则，化简得到
【详解】
根据复数的运算法则，求得，
所以复数的实部为.
故选：A.
2．C
【分析】
首先用列举法表示出集合、，即可求出集合，再求出其子集个数.
【详解】因为，又，
所以，所以，则集合的子集共有个．
故选：C
3．A
【分析】
由题意和平面数量积的定义可得，结合计算即可求解.
【详解】由题意可得，，
所以．
故选：A
4．C
【分析】
先安排前排，再安排后排，利用分步乘法计数原理进行求解.
【详解】
先排前排，有种站法，后排3人中身高最高的站中间，则两边的人有种站法，
则有种站法．
故选：C
5．D
【分析】
根据题意，设是正四面体 的4个顶点，结合正四面体的性质和线面角的定义与计算，即可求解.
【详解】设是正四面体 的4个顶点，
则点在平面的射影是正三角形的中心D,
再设，则，可得，
则高，
则直线与平面所成的角的正弦值．
故选：D.

6．D
【分析】
由题意，根据指数幂和对数运算的性质可得，由，解不等式即可求解.
【详解】由题意知，，
当时，，故，解得，
所以．
由，得，即，
得，又，
所以，
故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要15次．
故选：D
7．B
【分析】设，，如图，根据抛物线的定义和梯形的中位线的性质可得，结合基本不等式的应用即可求解.
【详解】设，，因为，所以，
所以，过点A，B分别作，垂直准线于点G，W，

由抛物线的定义可知，，
由梯形的中位线可知．
因为，所以，
当且仅当时，等号成立，所以
所以，故的最大值为．
故选：B
8．C
【分析】
先确定正四面体的棱长与高还有内切球半径的关系，然后根据当a取得最小值时，从上到下每层中放在边缘的小球都与正四面体的面都相切，从而计算出棱长的最小值.
【详解】
设正四面体的棱长为，高为，内切球半径为
则，可得，
又，可得，

即正四面体的高等于其棱长的，正四面体的内切球的半径等于其棱长的．
如图，10个直径为2的小球放进棱长为a的正四面体中，构成三棱锥的形状，有3层，从上到下每层的小球个数依次为1，3，6．

当a取得最小值时，从上到下每层中放在边缘的小球都与正四面体的侧面相切，底层的每个球都与正四面体的底面相切，任意相邻的两个小球都外切，位于底层正三角状顶点的所有相邻小球的球心连线为一个正四面体，底面的中心为，与面的交点为，
则该正四面体的棱长为，
可求得其高为，，
所以正四面体的高为，
进而可求得其棱长a的最小值为．
故选：C.
【点睛】
方法点睛：对于四面体的内切球问题，我们最好能熟记正四面体的棱长与高还有内切球半径的关系，即正四面体的高等于其棱长的，正四面体的内切球的半径等于其棱长的，这样解题的时候我们可以利用这个关系快速得到我们要的量.
9．ACD
【分析】
根据题意，求得圆的圆心坐标和半径，结合直线方程的形式，圆与圆的位置关系的判定，以及圆的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意得，圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
对于A，直线的方程为，即，所以A正确；
对于B，因为且，可得，
所以圆与圆外切，所以两圆的公切线共有3条，所以B错误；
对于C，因为，所以的最大值为，所以C正确；
对于D，当为圆的直径时，该圆在经过点，的所有圆中面积最小，
此时圆的面积为，所以D正确．
故选：ACD.
10．BC
【分析】
根据题意先求出在上由小到大的第5与第6个零点，列不等式组可解得的范围，可判断A；求出最大值点和最小值点，根据的范围即可判断BC；根据正弦函数的单调性求出的单调增区间，结合的范围即可判断D.
【详解】由，，得，，
所以函数在上由小到大的第5个零点为，第6个零点为，
由题知，，解得，A项错误．
令，解得，，
当时，，因为，
所以，，
当且仅当，1，2时，，故在上有且仅有3个最高点，B项正确.
令，解得，，
同上可知，，，
当，2时，，当时，令，解得，
所以当时，在上有3个最低点，C项正确．
由，得，
所以在区间上单调递增，
因为，所以，又因为，
所以在区间上不单调，D项错误．
故选：BC.
11．AC
【分析】
对于AB：代入，求导，求单调性即可判断；对于C：设，将不等式转化为成立，求导，研究其单调性，极值来判断；对于D：求导，分，，讨论研究零点个数.
【详解】对于AB：当时，，
令，即，所以，即，
结合函数图象可知，存在，使得，

令，则，得，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，故A项正确，B项错误．
若，即，则．
设，则．
设，可知，则，．
若，则，为减函数，注意到，可知当时，，不合题意．
若，则，
当时，，为减函数，当时，，为增函数，
所以．设，，
则，．
当时，，为减函数，当时，，为增函数，
则，所以只有当时，才能成立．
综上所述，，故C项正确．
由C项可知，，，则，所以为增函数．
当时，，
当t无限趋近于0时，无限趋近于，且，
即此时有两个零点，因为为增函数，且，
所以此时有两个零点．
同理可得，当时，有两个零点．
当时，，此时有一个零点1，所以有一个零点．
当时，为减函数，，此时有一个零点1，即只有一个零点．
综上，函数最多有两个零点，故D项错误．
故选：AC.
【点睛】
关键点点睛：本题D选项的关键是利用导数研究函数的性质，
12．
【分析】
根据题意，由余弦的和差角公式展开可得，再由二倍角公式，即可得到结果.
【详解】因为，整理得，
所以，所以，
所以．
故答案为：
13．/
【分析】本题考查数列的综合应用，要求考生能从实际问题中抽象出数列的递推关系式，能利用等差数列解决实际问题．
【详解】设子n代中占比为，则占比为，
所以，则子代的基因型如下表所示：
由表可知，表格中总份数为（其中淘汰了份），
因此子代中的占比为，
化简得，即，即，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，，因此．
故答案为：.
14．
【分析】
根据题意，由余弦定理结合椭圆的定义以及三角形的面积公式可得，再由正弦定理结合等面积法可得的外接圆的半径为R，列出方程即可得到的关系，由离心率公式即可得到结果.
【详解】

因为，且，，
所以
，
所以，
所以的面积．
设的外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，
由正弦定理可得，可得．
易知的周长，
利用等面积法可知，解得．
又的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，即，
所以，即，
所以，故离心率．
故答案为：
15．(1)；
(2).
【分析】
（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得.
（2）由（1）的信息结合正弦定理边化角，再利用基本不等式求解即得.
【详解】（1）在中，由及正弦定理得，
即，由余弦定理得，而，
所以.
（2）由（1）知，，由正弦定理得，
而，因此，当且仅当时取等号，
于是，解得，
在中，，由，得，
所以当时，取得最大值．
16．(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）运用线面平行的判定定理、面面平行的判定定理和性质定理证明线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
【详解】（1）如图，取的中点F，连接，，
因为D，E，F分别为，，的中点，
所以，．
又因为平面，平面，平面，平面，
所以平面，平面．
因为，，平面，
所以平面平面．
又因为平面，所以平面．
（2）如图，连接，．因为E，O分别为，的中点，所以，且，
又因为D为的中点，所以，且，
所以，且，所以四边形为平行四边形，
所以．
因为平面，所以平面．
又因为平面，所以，可得．
因为是等腰直角三角形，所以．又矩形平面，可得平面，
以A为原点，以，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设，则，可得，，，，
则，，，．
设平面的法向量为，则，
即，取，可得，，所以．
设平面的法向量为，则，
即，取，可得，，
所以．
，
所以平面与平面的夹角的正弦值为．
17．(1)
(2)（i）；（ii）时，．
【分析】（1）由古典概型结合组合数公式即可求得答案；
（2）（i）由古典概型结合对立事件的概率公式即可求得答案；
（ii）由n次独立重复试验的概率公式结合导数知识即可求解.
【详解】（1）因为购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数之比为，所以这10人中，购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为：，，，
故随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．
（2）（i）从人中任选2人，有种选法，其中购票类型相同的有种选法，则询问的某组被标为B的概率．
（ii）由题意，5组中恰有3组被标为B的概率，
所以，，
所以当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，取得最大值，且最大值为．
由，且，得．
当时，5组中恰有3组被标为B的概率最大，且的最大值为．
18．(1)答案见解析
(2)．
【分析】（1）利用导数分类讨论判断函数的单调性，即可求解；
（2）先利用导数证明不等式，分离变量可得恒成立，进而，即可求解.
【详解】（1）函数，的定义域为，且．
当时，，恒成立，此时在区间上单调递增；
当时，令，解得，
当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减．
综上所述，当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减．
（2）设，则，
在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，
所以，所以（当且仅当时等号成立）．
依题意，，恒成立，即恒成立，
而，
当且仅当时等号成立．
因为函数在上单调递增，，，
所以存在，使得成立．
所以，即a的取值范围是．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略：
形如的恒成立的求解策略：
1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可；
2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可；
3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立.
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由双曲线的渐近线方程结合点到直线的距离公式可求双曲线方程；
（2）讨论直线的斜率是否存在，且当直线的斜率存在时，设出直线方程，与双曲线方程联立，根据，找到参数之间的关系，线段的长，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，求得面积，即可证明.
【详解】（1）由已知得渐近线方程为，右焦点，
，，
，解得．
，
，，
双曲线C的标准方程为；
（2）①当直线经过双曲线的顶点时直线的斜率不存在，此时直线方程为，
此时易得，点到直线的距离为，所以此时；
②当直线的斜率存在时，设直线为，
由得，
因为直线于双曲线相切，所以且，
整理得且，即，
由得，则，
同理得到，
所以
点到直线的距离
所以，
所以的面积为定值.

【点睛】方法点睛：利用，找到参数之间的关系，再利用公式求得，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，进而求出面积是解题关键.
雌
雄