湖北省沙市中学2024届高三下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份湖北省沙市中学2024届高三下学期3月月考数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知则( )
A.-2B.0C.2D.0或2
2．若,则( )
A.B.C.D.
3．已知平面,直线,直线m不在平面上,下列说法正确的是( )
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
4．设实数x满足,若数据1,3,4,x,,的平均数和第50百分位数相等,则( )
A.4B.5C.4或7D.5或7
5．已知正项等比数列中,,,成等差数列.若数列中存在两项,,使得为它们的等比中项,则的最小值为( )
A.3B.4C.6D.9
6．某小组两名男生和两名女生邀请一名老师排成一排合影留念,要求两名男生不相邻,两名女生也不相邻,老师不站在两端,则不同的排法共有( )
A.8种B.16种C.24种D.32种
7．已知A,B,C是双曲线上不同的三点,且,直线AC,BC的斜率分别为,.若的最小值为2,则双曲线的离心率为( )
A.B.2C.D.
8．已知函数及其导函数的定义域均为R,记.若与均为偶函数,则下列结论中错误的是( )
A.B.函数的图象关于点对称
C.函数的周期为2D.
二、多项选择题
9．已知,是的共轭复数,则( )
A.若,则
B.若为纯虚数,则
C.若,则
D.若,则集合M所构成区域的面积为
10．设A、B是一次随机试验中的两个事件,且,,则( )
A.A,B相互独立B.
C.D.
11．已知函数,若有且仅有三个零点,则下列说法中正确的是( )
A.有且仅有两个零点B.有一个或两个零点
C.的取值范围是D.在区间上单调递减。
三、填空题
12．已知向量,,若与所成的角为钝角,则实数t的取值范围：______________.
13．已知函数,若有最小值,则a的取值范围是_____________.
四、双空题
14．在中,,,,P为边AB上的动点,沿CP将折起形成直二面角,当最短时,＝________,此时三棱锥的体积为___________.
五、解答题
15．设函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)当时,若恒成立,求实数a的取值范围.
16．现有10个球,其中5个球由甲工厂生产,3个球由乙工厂生产,2个球由丙工厂生产.这三个工厂生产该类产品的合格率依次是0.8,0.9,0.7.现从这10个球中任取1个球,设事件B为“取得的球是合格品”,事件,,分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”.
(1)求,;
(2)若取出的球是合格品,求该球是甲工厂生产的概率.
17．设四边形为矩形,点P为平面外一点,且平面,若,.
(1)求与平面所成角的正切值;
(2)在边上是否存在一点G,使得点D到平面的距离为,若存在,求出的值,若不存在,请说明理由;
18．如图,D为圆上一动点,过点D分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为A,B,连接并延长至点W,使得,点W的轨迹记为曲线C.
（1）求曲线C的方程;
（2）若过点的两条直线,分别交曲线C于M,N两点,且,求证：直线MN过定点;
（3）若曲线C交y轴正半轴于点S,直线与曲线C交于不同的两点G,H,直线SH,SG分别交x轴于P,Q两点.请探究：y轴上是否存在点R,使得？若存在,求出点R坐标;若不存在,请说明理由.
19．基本不等式可以推广到一般情形：对于n个正数,,,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即,当且仅当时等号成立.若无穷正项数列同时满足下列两个性质：（1）,;（2）为单调数列,则称数列具有性质P.
（1）若,求数列的最小项;
（2）若,记,判断数列是否具有性质P,并说明理由;
（3）若,求证：数列具有性质P.
参考答案
1．答案：C
解析：
2．答案：A
解析：
3．答案：B
解析：
4．答案：C
解析：
5．答案：A
解析：
6．答案：D
解析：
7．答案：C
解析：
8．答案：C
解析：因为为偶函数,所以为奇函数,故关于对称,A正确;
因为为偶函数,所以为奇函数,则的图象关于点对称,B正确;
因为为偶函数,所以关于对称,结合关于对称,可知的周期为4,C错误;
由且关于对称,知,又的周期为4,可知,.由关于对称,又关于对称,可知也关于对称,所以.
因此
=,所以D正确.
答案为：C.
9．答案：ABD
解析：
10．答案：AB
解析：
11．答案：ABD
解析：当时,,设,作出函数的图象,则在上有两个最小值点,有一个或两个最大值点,故A、B正确。由于函数在上有且只有3个零点,
由图象可知,故C错误。当时,,由知,所以在上递减,D正确。
12．答案：
解析：
13．答案：
解析：当时,,
当时,,若,则当时,,
则此时函数无最小值;若,则当时,,时,,
则函数有最小值为满足题意;
若,则当时,,时,,
要使函数有最小值,则,解得
综上,a的取值范围是,
14．答案：;
解析：作于点,连接,设,则,
所以,在中,由余弦定理可得,
,
因为为直二面角,所以平面平面,
因为平面平面,,且平面,
所以平面,因为平面,所以,
则,
当最短时,,所以,
即此时为的角平分线,,
且由角平分线定理可得,,
即,所以,
所以.
15．答案：（1）
(2)
解析：（1）略
（2）,当时的最大值为a,等价于对于恒成立,
,,,
当时,不等式成立,当,,即对于恒成立,
令,则
于是在,,递增;在,,递减,
,
的取值范围为.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）依题意,,,
（2）该球是甲工厂生产的概率为.
17．答案：（1）与平面所成角的正切值为;
（2）存在点,当时,点到平面的距离为;
解析：
18．答案：（1）
(2)直线过定点
(3)见解析
解析：（1）设,,则,
由题意知,所以,得(,所以,
因为,得,故曲线C的方程为.
(2)由题意可知,直线,不平行坐标轴,则可设的方程为：,
此时直线的方程为.由,消去x得：,
解得：或(舍去),所以,
所以,同理可得：.
当时,直线的斜率存在,,
则直线的方程为,所以直线过定点.
当时,直线斜率不存在,此时直线方程为：,也过定点,
综上所述：直线过定点.
（3）假设存在点R使得,
设,因为,所以,即,
所以,所以,
直线与曲线C交于不同的两点G、H,易知G、H关于x轴对称,
设,易知点,直线方程是,
令得点P横坐标,直线SH方程是,
令得点Q横坐标,由,得,
又在椭圆上,
所以,所以,解得,所以存在点,
使得成立.
19．答案：（1）
（2）数列具有性质P
（3）见解析
解析：（1）,
当且仅当时等号成立.
数列的最小项为.
（2）数列具有性质P,,
,满足性质（1）;
又,,即单调递增,满足性质（2）
故数列具有性质P.
（3）先证满足性质（1）
,
当时
再证数列满足条件（2）
（,等号取不到）,故为递增数列.
即数列具有性质P.