2023-2024学年湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学高一（下）月考数学试卷（2月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学高一（下）月考数学试卷（2月份）（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列命题中正确的是( )
A. 第一象限角小于第二象限角B. 锐角一定是第一象限角
C. 第二象限角是钝角D. 平角大于第二象限角
2.已知csα= 53，则cs2α=( )
A. 19B. −19C. − 53D. 53
3.函数y=32cs(x+π2)的图象的一条对称轴方程是( )
A. x=−π2B. x=−π4C. x=π8D. x=π
4.若tanα=−13，则cs2(α−π3)+sin2(α−π3)2sinαcsα+cs2α的值为( )
A. 103B. 53C. 23D. −103
5.已知sinθ2=−45，csθ2=35，则角θ终边所在象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
6.下列区间为函数y=2sin(x+π4)的增区间的是( )
A. [−π2,π2]B. [−3π4,π4]C. [−π,0]D. [−π4,3π4]
7.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( )
A. f(x)=2sin(12x+π6)B. f(x)=2sin(12x−π6)
C. f(x)=2sin(2x−π6)D. f(x)=2sin(2x+π6)
8.已知sinα=12+csα，且α∈(0,π2)，则cs2αsin(α−π4)的值为( )
A. 142B. − 142C. 144D. − 144
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式中，值为12的是( )
A. cs2π12−sin2π12B. tan22.5°1−tan222.5∘C. 2sin15°cs15°D. 1+csπ32
10.将函数f(x)=cs2x的图象向左平移π4个单位后得到函数g(x)的图象，则g(x)具有性质( )
A. 最小正周期为πB. 图象关于直线x=π2对称
C. 图象关于点(3π8,0)对称D. 在(0,π4)上单调递减
11.已知sinθ=2×(−1)ncsθ(n∈Z)，则sin2θ+sinθcsθ−2cs2θ=( )
A. −43B. 0C. −34D. 45
12.已知函数f(x)=sin(x−π)，g(x)=−csx，以下命题中正确的命题是( )
A. 函数y=f(x)g(x)的最小正周期为π
B. 函数y=f(x)g(x)的最大的值为2
C. 将函数y=f(x)的图象向右平移π2单位后得函数y=g(x)的图象
D. 将函数y=f(x)的图象向左平移π2单位后得函数y=g(x)的图象
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知角θ的终边过点(1,−2)，则tan(π4−θ)= ______．
14.若函数f(x)=2sinωx(0<ω<1)在闭区间[0,π3]上的最大值为1，则ω的值为______．
15.已知016.设常数a使方程sinx+ 3csx=a在闭区间[0,2π]上恰有三个不同的解x1，x2，x3，则实数a的取值集合为______，x1+x2+x3=______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
求代数式sin36°+sin15°sin39°cs36∘−cs15∘sin39∘的值．
18.(本小题12分)
如图，有一个圆心角为钝角的扇形地块，半径为Rm.现计划在这块地上建一个矩形的游乐场，要求矩形的一条边在半径OA上，则如何设计可使游乐场的面积最大？
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象过点(−5π12,−1)，(π12,1)，且在区间(−5π12,π12)上单调．
(1)求f(x)的解析式；
(2)设f(x)的最小正周期为T，在给定的坐标系中作出函数f(x)(x∈[−π6,−π6+T])的简图．
20.(本小题12分)
(1)化简：2sinαcsβ−sin(α−β)cs(α−β)−2sinαsinβ；
(2)求证：1+sinθ−csθ1+sinθ+csθ=sinθ1+csθ．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sin(x+π2)sin(x+π3)− 3sin2x+sinxcsx．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当α∈[0,π]时，若f(α)=1，求α的值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)= 3cs2x− 3sin2x+2sinxcsx．
(1)求f(x)图象的对称轴方程；
(2)若关于x的方程a|f(x)|+a−1=0在x∈[0,π2]上有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：第一象限角不一定小于第二象限角，比如第二象限的角120°小于第一象限的角390°，故A错误；
大于0°而小于90°的角为锐角，故B正确；
480°为第二象限角，但不是钝角，故C错误；
480°为第二象限角，但是大于平角，故D错误．
故选：B．
由第二象限的角120°小于第一象限的角390°，可判断A；由锐角的定义可判断B；由480°为第二象限角即可判断CD．
本题考查任意角的概念，主要是终边相同的角、象限角和锐角、钝角的概念，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由题可知csα= 53，cs2α=2cs2α−1=2×( 53)2−1=19．
故选：A．
直接利用二倍角的余弦公式cs2α=2cs2α−1，代入csα= 53，即可求出结果．
本题主要考查函数值的计算，利用三角函数的倍角公式是解决本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：依题意，由x+π2=kπ，k∈Z，得x=−π2+kπ,k∈Z.当k=0时，得x=−π2．
故选：A．
利用余弦函数对称轴的性质即可求解．
本题考查三角函数的性质，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：cs2(α−π3)+sin2(α−π3)2sinαcsα+cs2α=12inαcsα+cs2α=sin2α+cs2α2sinαcsα+cs2α=1+tan2α2tanα+1=1+(−13)22×(−13)+1=103．
故选：A．
由同角三角函数的基本关系化简后代值计算即可．
本题考查利用同角三角函数的基本关系化简求值，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：sinθ2=−45，csθ2=35，
则sinθ=2sinθ2csθ2=−2425<0，csθ=2cs2θ2−1=−725<0，
故角θ终边所在象限是第三象限．
故选：C．
根据已知条件，结合三角函数的二倍角公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的二倍角公式，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：要求y=2sin(x+π4)的单调增区间，
可令2kπ−π2≤x+π4≤2kπ+π2(k∈Z)，
解得2kπ−3π4≤x≤2kπ+π4(k∈Z)，
当k=0时，−3π4≤x≤π4，
观察四个选项，只有B符号．
故选：B．
令2kπ−π2≤x+π4≤2kπ+π2(k∈Z)，解得2kπ−3π4≤x≤2kπ+π4(k∈Z)，再对k赋值，观察各个选项可得答案．
本题考查正弦函数的单调性，考查逻辑推理的核心素养，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查由三角函数部分图象信息求其解析式的方法，是基础题．
先由图象确定A、T，进而确定ω，最后通过特殊点确定φ，则问题解决．
【解答】
解：由图象知A=2，
T4=5π12−π6=π4，即T=π=2πω，
所以ω=2，
此时f(x)=2sin(2x+φ)，
将(π6,2)代入解析式有sin(π3+φ)=1，解得φ=2kπ+π6,k∈Z，
又因为|φ|<π2，所以φ=π6，
所以f(x)=2sin(2x+π6).
故选D．
8.【答案】B
【解析】解：∵sinα=12+csα
∴sinα−csα=12
两边平方可得：1−2sinαcsα=14
∴2sinαcsα=34
∴1+2sinαcsα=74
∴(sinα+csα)2=74
∵α∈(0,π2)
∴sinα+csα= 72
∴cs2αsin(α−π4)=cs2α−sin2α 22(sinα−csα)=− 2(sinα+csα)=− 142
故选B．
利用条件先计算sinα+csα= 72，再将所求式化简，代入即可得到结论．
本题考查二倍角公式的运用，考查同角三角函数的关系，解题的关键是利用条件计算sinα+csα= 72．
9.【答案】BC
【解析】解：对于A，由余弦的倍角公式，可得cs2π12−sin2π12=cs(2×π12)=csπ6= 32，所以A不正确；
对于B，由正切的倍角公式，可得tan22.5°1−tan222.5∘=12⋅2tan22.5°1−tan222.5∘=12tan45°=12，所以B正确；
对于C，由正弦的倍角公式，可得2sin15°cs15°=sin30°=12，所以C正确；
对于D，由 1+csπ32= 1+122= 32，所以D不正确．
故选：BC．
根据正弦函数、余弦函数和正切函数的倍角公式，准确化简，即可求解．
本题考查二倍角的三角函数及三角恒等变换及其应用，考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
10.【答案】AD
【解析】解：由题意可得个g(x)=cs[2(x+π4)]=cs(2x+π2)=−sin2x．
对于A，g(x)=−sin2x，所以g(x)的最小正周期T=2π2=π，故A正确；
对于B，g(x)=−sin2x，因为g(π2)=−sinπ=0，所以g(x)的图象不关于直线x=π2对称，故B错误；
对于C，g(x)=−sin2x，因为g(3π8)=−sin3π4=− 22，所以g(x)的图象不关于点(3π8,0)对称，故C错误；
对于D，g(x)=−sin2x，因为x∈(0,π4)时，2x∈(0,π2)，所以g(x)在(0,π4)上单调递减，故D正确．
故选：AD．
先求得g(x)的解析式，然后根据三角函数的周期性、对称性、单调性对选项进行分析，从而确定正确选项．
本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．
11.【答案】BD
【解析】解：∵sinθ=2×(−1)ncsθ(n∈Z)，
∴tanθ=2×(−1)n=±2，
则sin2θ+sinθcsθ−2cs2θ=sin2θ+sinθcsθ−2cs2θsin2θ+cs2θ
=tan2θ+tanθ−2tan2θ+1．
当tanθ=2时，原式=4+2−24+1=45；
当tanθ=−2时，原式=4−2−24+1=0．
故选：BD．
由已知求得tanθ，然后结合同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
12.【答案】AD
【解析】解：因为y=f(x)g(x)=sin(x−π)(−csx)=sinxcsx=12sin2x，
则T=2π2=π，最大值为12，故A正确，B错误；
因为y=f(x−π2)=sin(x−π2−π)=csx，故C错误；
y=f(x+π2)=sin(x+π2−π)=−csx=g(x)，故D正确．
故选：AD．
A，B：化简函数y=f(x)g(x)的解析式，然后根据周期公式以及正弦函数的性质即可判断；C，D：利用图像变换以及诱导公式化简即可判断．
本题考查了三角函数的图像变换，涉及到三角函数的周期，最值，属于基础题．
13.【答案】−3
【解析】解：∵角θ的终边过点(1,−2)，
∴tanθ=yx=−2；
∴tan(π4−θ)=tanπ4−tanθ1+tanπ4tanθ
=1−(−2)1+1×(−2)
=−3．
故答案为：−3．
根据正切函数的定义，求出tanθ的值，再利用两角差的正切公式计算tan(π4−θ)的值．
本题考查了正切函数的定义与两角差的正切公式的应用问题，是基础题目．
14.【答案】12
【解析】解：由于0<ω<1，故0<ωx<ωπ3<π2，
由于函数f(x)在(0,π2)上单调递增，
故f(π3)=2sinωπ3=1，
所以ωπ3=π6，故ω=12．
故答案为：12．
直接利用正弦型函数的性质求出结果．
本题考查的知识点：正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
15.【答案】3 77
【解析】【分析】
本题考查了三角函数求值问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是一般题．
根据 22cs(x−π4)=cs2x，求出csx−sinx=12，从而求出cs(x+π4)，得出cs(2x+π2)，再求sin2x和cs2x和tan2x的值．
【解答】
解：因为 22cs(x−π4)=cs2x，
所以 22(csxcsπ4+sinxsinπ4)=cs2x−sin2x，
即12(csx+sinx)=(csx+sinx)(csx−sinx)，
又因为00，
即csx−sinx=12，
所以 2cs(x+π4)=12，
即cs(x+π4)=12 2，
所以cs(2x+π2)=2cs2(x+π4)−1=2×18−1=−34，
即−sin2x=−34，所以sin2x=34，
又因为cs2x=12(csx+sinx)>0，
所以cs2x= 1−(34)2= 74，
所以tan2x=sin2xcs2x=34 74=3 77．
故答案为：3 77．
16.【答案】{ 3} 73π
【解析】解：∵sinx+ 3csx=a，
∴a=2sin(x+π3)，如图所示，作出函数y=2sin(x+π3)，x∈[0,2π]的图象，再作直线y=a，
由图可知，只有当a= 3时，直线y=a与函数y=2sin(x+π3)，x∈[0,2π]的图象有三个交点，
即x1=0，x2=π3，x3=2π，
故x1+x2+x3=73π．
故答案为：{ 3}；73π．
由已知条件可得，a=2sin(x+π3)，如图所示，作出函数y=2sin(x+π3)，x∈[0,2π]的图象，再作直线y=a，再结合图象，即可求解．
本题主要考查两角和与差的三角函数，考查数形结合的能力，属于基础题．
17.【答案】解：sin36°+sin15°sin39°cs36∘−cs15∘sin39∘
=sin(75°−39°)+cs75°sin39°cs(75∘−39∘)−sin75∘sin39∘
=sin75°cs39°−cs75°sin39°+cs75°sin30°cs75∘cs39∘+sin75∘sin39∘−sin75∘sin39∘
=sin75°cs39°cs75∘cs39∘=tan75°=tan(45°+30°)
=tan45°+tan30°1−tan45∘tan30∘
=2+ 3．
【解析】利用诱导公式化简可得sin(75°−39°)+cs75°sin39°cs(75∘−39∘)−sin75∘sin39∘，然后利用两角差的正弦，余弦公式化简，即可求解．
本题主要考查了三角函数恒等变换和化简求值，解题的关键是掌握三角函数间的关系式，考查了转化思想，属于中档题．
18.【答案】解：因为矩形的一边在OA上，所以要使矩形的面积最大，
O应为矩形的一个顶点，且与点O相对的顶点在弧AB上，如图所示，

设∠MOA=α，则在Rt△MOP中，OP=Rcsα，PM=Rsinα，
所以矩形的面积S=OP⋅PM=Rcsα⋅Rsinα=12R2sin2α．
当α=45°时，S最大，Smax=12R2(m2)，
所以当矩形的对角线OM与半径OA的夹角为45°时，矩形游乐场的面积最大．
【解析】先将矩形游乐场面积表示出来，再利用三角函数求最值．
本题考查二倍角公式，考查三角函数的性质，属于中档题．
19.【答案】解：(1)∵f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，∴f(x)min=−1，f(x)max=1，
∵f(x)的图象过点(−5π12,−1)，(π12,1)，且在区间(−5π12,π12)上单调，
∴f(x)的最小正周期T=2|π12−(−5π12)|=π，∴ω=2πT=2，
由f(π12)=1，得π12×2+φ=π2+2kπ，k∈Z，φ=π3+2kπ，k∈Z，
又|φ|<π2，φ=π3，故f(x)=sin(2x+π3)；
(2)函数f(x)(x∈[−π6,−π6+T])的简图如图所示：

【解析】(1)根据正弦函数的性质即可得确定解析式；(2)根据五点法即可作出简图．
本题考查三角函数的图象和性质，属于中档题．
20.【答案】解：(1)原式=2sinαcsβ−(sinαcsβ−csαsinβ)csαcsβ+sinαsinβ−2sinαsinβ=sin(α+β)cs(α+β)=tan(α+β)；
(2)证明：左边=1+2sinθ2csθ2−(1−2sin2θ2)1+2sinθ2csθ2+(2cs2θ2−1)=sinθ2(sinθ2+csθ2)csθ2(csθ2+sinθ2)=tanθ2，
右边=2sinθ2csθ21+2cs2θ2−1=2sinθ22csθ2=tanθ2，
综上所述，1+sinθ−csθ1+sinθ+csθ=sinθ1+csθ．
【解析】(1)结合正弦、余弦的两角和与差公式，即可求解；
(2)结合正弦、余弦的二倍角公式，即可求解．
本题主要考查三角函数恒等式的化简与证明，考查转化能力，属于基础题．
21.【答案】解：(1)由三角函数公式化简可得：
f(x)=2sin(x+π2)sin(x+π3)− 3sin2x+sinxcsx
=2csx(12sinx+ 32csx)− 3sin2x+sinxcsx
=sinxcsx+ 3cs2x− 3sin2x+sinxcsx
=2sinxcsx+ 3(cs2x−sin2x)
=sin2x+ 3cs2x=sin(2x+π3)，
∴f(x)的最小正周期T=2π2=π；
(2)∵f(α)=sin(2α+π3)=1，
∴2α+π3=2kπ+π2，∴α=kπ+π12，k∈Z，
∵α∈[0,π]，∴α=π12．
【解析】(1)由三角函数公式化简可得f(x)=sin(2x+π3)，由周期公式可得；
(2)由题意可得sin(2α+π3)=1，可得2α+π3=2kπ+π2，k∈Z，结合α的范围可得．
本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性，属基础题．
22.【答案】解：(1)f(x)= 3cs2x+2sinxcsx=sin2x+ 3cs2x=2sin(2x+π3)，
由2x+π3=π2+kπ,k∈Z，解得x=π12+kπ2,k∈Z，
故函数f(x)的对称轴方程为x=π12+kπ2,k∈Z；
(2)因为afx+a−1=0，
当a=0时，不满足题意；
当a≠0时，可得|fx=1a−1，
画出函数fx在x∈[0,π2]上的图象，
由图可知， 3<1a−1<2或0<1a−1< 3，
解得13< a< 3−12或 3−12综上，实数a的取值范围为(13, 3−12)∪( 3−12,1).
【解析】本题考查了三角函数的图像与性质，涉及到数形结合思想的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．
(1)利用正余弦的倍角公式以及辅助角公式化简函数的解析式，然后根据正弦函数的对称轴方程整体代换即可求解；
(2)先讨论a=0不满足题意，然后当a不等于0时，可得fx=1a−1，画出函数fx在x∈[0,π2]上的图象，然后利用数形结合即可求解．