2021年全国中学生数学奥林匹克竞赛（初赛）暨2021年全国高中联合竞赛一试二试试题（A1卷，江苏、河南专用）

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1. 设，，，则∩的所有元素之和为 ．
2. 设为实数，向量，，则数量积的最小值为 ．
3. 已知满足：是方程的两个根，则的值为 ．
4. 在平面直角坐标系中，双曲线，一条倾斜角为的
直线经过的一个项点及上另外一点，则的离心率为 ．
5. 数列满足，，则的值为 ．
6. 设正四棱锥的底面边长与高相等，点为侧面的重心，则直线与底面所成角的正弦值为 ．
7. 设为的排列，满足
这样的排列的个数为 ．
8. 正实数满足如下条件：存在，，使得
，，，
则的最大值 ．
二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9.（本题满分16分）设函数，正实数满足，
且．求的值．
10.（本题满分20分）设．若关于的方程
有4个互不相等的复数根，且它们在复平面上对应的点恰是一个边长
为1的正方形的四个项点，求的值．
11.（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，设是第一象限内上一点，的延长线分别交于点．设分别为的内切圆半径．求的最大值.