江苏省扬州市宝应县2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 下列成语所描述的事件，是随机事件的是（ ）
A. 守株待兔B. 旭日东升C. 水涨船高D. 水中捞月
【答案】A
【解析】
【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
【详解】解：A. 守株待兔, 有可能发生，也有可能不发生，是随机事件，符合题意；
B. 旭日东升，是必然事件，不符合题意；
C. 水涨船高, 是必然事件，不符合题意；
D. 水中捞月，是不可能事件，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键．
2. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3. 下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A. AB∥CD，AD＝BCB. ∠A＝∠C，∠B＝∠D
C. AB∥CD，AD∥BCD. AB＝CD，AD＝BC
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据平行四边形的判定定理判断即可．
【详解】平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．∴C能判断；
平行四边形判定定理1，两组对角分别相等的四边形是平行四边形；∴B能判断；
平行四边形判定定理2，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；∴D能判定；
平行四边形判定定理3，对角线互相平分的四边形是平行四边形；
平行四边形判定定理4，一组对边平行相等的四边形是平行四边形；
故选A．
【点睛】此题是平行四边形的判定，解本题的关键是掌握和灵活运用平行四边形的5个判断方法．
4. 顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（ ）
A. 等腰梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
【答案】B
【解析】
【详解】∵E，H是中点，
∴EH∥BD，
同理，EF∥AC，GH∥AC，FG∥BD，
∴EH∥FG，EF∥GH，
则四边形EFGH是平行四边形．
又∵AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴平行四边形EFGH是矩形．
故选B.
5. 如图，矩形的对角线相交于点，下列结论一定正确的是（ ）
A. 平分B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形的对角线相等，以及矩形与菱形性质的区别判断即可．
【详解】解：由矩形的对角线相交于点，
根据矩形的对角线相等，
可得．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，关键是掌握矩形的性质．
6. 如图，△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，∠BAC＝50°，则∠DAC的度数为（ ）
A. 10°B. 15°C. 20°D. 25°
【答案】A
【解析】
【分析】根据旋转的性质得到∠BAD=40°，由角的和差求解即可．
【详解】解：由旋转的性质可知，∠BAD＝40°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝50°﹣40°＝10°，
故选：A．
【点睛】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
7. 如图，菱形中，分别是的中点，若，则菱形的周长为（ ）
A. 24B. 18C. 12D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，由三角形的中位线定理可得，然后根据菱形的性质即可求解．
【详解】解：∵E、F分别是的中点，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴菱形的周长，
故选：A．
8. 如图，已知正方形的边长为4，点P是对角线上一点，于点E，于点F，连接．给出下列结论：
①；②四边形的周长为8；
③；④；⑤的最小值为．
其中正确结论的序号为（ ）
A. ①②③⑤B. ②③④C. ②③④⑤D. ②③⑤
【答案】C
【解析】
【分析】由图易知PF=EC，而△PDF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形三边关系得到①错误；先证明四边形PECF为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC，则四边形PECF的周长为8，得②正确；延长FP交AB于G，延长AP交EF于H．先证明△AGP≌△FPE，得∠GAP=∠PFE，由∠PFH与∠HPF互余，可得AP⊥EF，得③正确；先证明△AGP≌△FPE，可得AP=EF得④正确；由④得AP最小，则EF最小，所以当AP⊥BD时，EF最小，此时EF=AP=，所以⑤正确．
【详解】①∵PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，CD⊥BC，
∴PF∥BC，
∴∠DPF＝∠DBC，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠DBC＝45°
∴∠DPF＝∠DBC＝45°，
∴∠PDF＝∠DPF＝45°，
∴PF＝EC＝DF，
在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝DF2+DF2＝2DF2，
∴PD＝DF
∴PD=．
故①错误；
②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
又∵PE=CE
∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8，
故②正确；
③如图1
延长FP交AB于G，延长AP交EF于H，
在正方形ABCD中，
∴CD∥AB
又∵PF⊥于CD
∴∠AGP=90°；
由②知四边形PECF是矩形，
∴∠EPF=90°
∴∠AGP=∠EPF；
由①知PF=DF，
又∵AG=DF
∴AG=PF
∴四边形BGPE正方形，
∴PG=PE
∴△AGP≌△FPE
∴∠BAP=∠PFE
又∵∠APG=∠FPH，∠BAP与∠APG互余
∴∠FPH与∠PFE互余
∴∠PHF=90°即AP⊥EF
故③正确；
④由③知，△AGP≌△FPE
∴AP=EF
故④正确；
⑤当时，AP最小；
∴EF的最小值为．故⑤正确．
综上：②③④⑤正确．
故答案为：C．
【点睛】此题考查正方形的性质，垂直的证明方法，垂线段最短，勾股定理的运用，熟练掌握正方形的性质和运用“垂线段最短”是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共30分）
9. 任意掷一枚质地均匀的骰子，比较下列事件发生的可能性大小，将它们的序号按从小到大排列为_____．①面朝上的点数小于2； ②面朝上的点数大于2； ③面朝上的点数是奇数．
【答案】①③②
【解析】
【分析】根据概率公式分别求出每种情况发生的概率，然后比较出它们的大小即可．
【详解】任意掷一枚质地均匀的骰子，共有6种等可能结果，
其中①面朝上的点数小于2的有1种结果，其概率为；
②面朝上的点数大于2的有4种结果，其概率为；
③面朝上的点数是奇数的有3种结果，其概率为；
所以按事件发生的可能性大小，按从小到大排列为①③②，
故答案为①③②．
【点睛】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
10. 在一个不透明的袋子中，有除颜色外完全相同的个白球和若干个红球．通过大量重复摸球实验后，发现摸到红球的频率稳定在，由此可估计袋中红球的个数为_______．
【答案】4
【解析】
【分析】设袋中红球的个数为，根据摸到红球的频率，列出方程，解方程从而可以得到红球的个数．
【详解】解：设袋中红球个数为
依题意，
解得
经检验，是方程的解
∴估计袋中红球的个数为个．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
11. 在平行四边形中，，那么___度．
【答案】100
【解析】
【分析】根据平行四边形对角相等，邻角互补即可求解．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，．
∴．
故答案为：100．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等，邻角互补是解题的关键．
12. 用反证法证明某一命题的结论“”时，应假设___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据反证法的步骤，得出a>b的反面是即可．
【详解】解：反证法证明“a > b”时，应先假设．
故答案为： ．
【点睛】本题考查反证法，解此题的关键是掌握反证法的一般思路及解题步骤．
13. 已知菱形的面积为24，一条对角线长为6，则其周长等于_____．
【答案】20
【解析】
【详解】试题分析：根据面得菱形的另一条对角线为8，则边长为=5，则周长=5×4=20.
考点：菱形的性质.
14. 在平行四边形中，对角线，相交于O，若，，则AB的长的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质和三角形的三边关系求解即可．
【详解】解：如图，

由题意，，，
在中，∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的三边关系，熟练掌握平行四边形的性质是解答的关键．
15. 在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，是平行四边形的对角线，点在上，，，则的大小是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝105°，AD＝BC，再根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，而由三角形外角的性质得到∠ACB＝2∠CAB，最后由三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝105°，AD＝BC，
∵AD＝AE＝BE，
∴BC＝AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，
∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，
∴∠ACB＝2∠CAB，
∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°=75°，
∴∠BAC＝25°，
故答案为：25°．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，运用平行四边形结合已知条件判定等腰三角形是解答本题的关键．
16. 如图，在平行四边形中，过对角线上一点作，，且，，则__．
【答案】
【解析】
【分析】由条件可证明四边形、为平行四边形，可证明，再利用面积的和差可得出四边形和四边形的面积相等，由已知条件即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴四边形、、、为平行四边形，
∴，
同理可得，，
∴，
即．
，，
；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行四边形为平行四边形，②两组对边分别相等四边形为平行四边形，③一组对边平行且相等四边形为平行四边形，④两组对角分别相等四边形为平行四边形，⑤对角线互相平分四边形为平行四边形．
17. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，，若菱形的面积为12，则的长为________．

【答案】
【解析】
【分析】在中先求得的长，根据菱形面积公式求得长，再根据勾股定理求得长，即可得到．
【详解】解：，
，
四边形是菱形，
，，，
（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），
，，
由得，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形性质，直角三角形性质，勾股定理等知识，解题的关键是先求得的长．
18. 如图，在中，，，，对角线与交于点，将直线绕点按顺时针方向旋转，分别交、于点、，则四边形周长的最小值是______．
【答案】##
【解析】
【分析】如图所示，过点作，垂足为，根据“直角三角形中角所对直角边等于斜边一半”，求出的值，进而求出的值，证明，得到，即可推出四边形周长，当的值最小时，即可得到四边形周长的最小值，利用垂线段最短即时，求出最小值，即可得出答案．
【详解】解：如图所示，过点作，垂足为，
，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，，
四边形周长，
当的值最小时，四边形的周长最小，此时，即为最小值，
四边形的周长最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，特殊直角三角形的性质，线段的最值问题，全等三角形的判定与性质，解题关键是利用三角形全等的性质转换线段之间的关系表达出周长．
三、解答题（共10小题，满分96分）
19. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点C的坐标为．

（1）试作出以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形；
（2）以原点O为对称中心，画出关于原点O对称的，并写出点的坐标 ；
（3）请直接写出以A、B、C、D为顶点平行四边形第4个顶点D的坐标 ．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）或或
【解析】
【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点即可；
（2）利用直线对称变换的性质分别作出A，B，C对应点即可；
（3）利用平行四边形的判定画出图形，可得结论．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，
【小问2详解】
解：如图，即为所求，

∴；
【小问3详解】
解：根据平行四边形的性质，，，
可得或或；
【点睛】本题考查作图一旋转变换,，中心对称变换，平行四边形的判定和性质等知识， 解题的关键是掌握旋转变换，中心对称变换的性质，属于中考常考题型．
20. 某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下表：
（1）填空：________，________；
（2）根据表格中的数据，估计这种油菜籽发芽的概率；（精确到）
【答案】（1）136；
（2）0．7
【解析】
【分析】本题主要考查了频数与频率分布表，用频率估计概率：
（1）根据频率等于频数除以总数进行求解即可；
（2）根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值进行求解即可．
【小问1详解】
解；由题意得，，
故答案为：136；；
【小问2详解】
解：由表格中的数据可知，随着试验次数的增加，这种油菜籽发芽的频率逐渐稳定在左右，
∴估计这种油菜籽发芽的概率为．
21. 如图，平行四边形中，点、分别在、上，，求证：四边形是平行四边形．

【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质，得到，，进而得到，即可证明结论．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，且，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题关键．
22. 如图，菱形中的对角线相交于点O，，．求证：四边形是矩形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、平行线的性质、矩形的判定，熟练掌握菱形的性质、平行线的性质、矩形的判定是解题的关键．
由菱形的性质可得，由平行线的性质可得，即可证四边形是矩形．
【详解】证明：菱形的对角线与相交于点，
，
，，
，
四边形是矩形；
23. 如图，中，、、分别在边、、上，且，，延长到，使，求证：和互相平分．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，掌握平行四边形的性质和判定，正确的作出辅助线是解题的关键；由，，可得四边形是平行四边形，进而可得，由可得，进而可证四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可得证．
【详解】连接，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴和互相平分．
24. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．

【答案】(1)见解析；(2)OE=5，BG=2.
【解析】
【分析】(1)先证明EO是△DAB的中位线，再结合已知条件OG∥EF，得到四边形OEFG是平行四边形，再由条件EF⊥AB，得到四边形OEFG是矩形；
(2)先求出AE=5，由勾股定理进而得到AF=3，再由中位线定理得到OE=AB=AD=5，得到FG=5，最后BG=AB-AF-FG=2．
【详解】解：(1)证明:∵四边形ABCD为菱形，
∴点O为BD的中点，
∵点E为AD中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形
∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形．
(2)∵点E为AD的中点，AD=10，
∴AE=
∵∠EFA=90°，EF=4，
∴在Rt△AEF中，．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=10，
∴OE=AB=5，
∵四边形OEFG为矩形，
∴FG=OE=5，
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．
故答案为：OE=5，BG=2．
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握特殊四边形的性质和判定属于中考常考题型，需要重点掌握．
25. 如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接．

（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明得到进而证明四边形是平行四边形，再由一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得到结论；
（2）先根据菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解即可．
【小问1详解】
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
∵，点O为的中点，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，角平分线的定义，平行线的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟知菱形的性质与判定条件是解题的关键．
26. 阅读下列材料：如图1，在四边形中，若，，则把这样的四边形称为筝形．

（1）如图2，在平行四边形中，点、分别在、上，且，．求证：四边形是筝形．
（2）如图3，在筝形中，，，．求筝形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）168
【解析】
【分析】（1）先判断出，再得到，然后判断出平行四边形是菱形即可；
（2）先判断出．得到．利用勾股定理得到，即可．
【小问1详解】
解：证明：四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，，
平行四边形是菱形，
，
，
四边形是筝形．
【小问2详解】
如图：

，，，
，
，
过点作，垂足为，
在中，
，
在中，
，
，
，
，
．
筝形的面积．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，三角形的全等的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是理解筝形的定义．
27. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，已知点，点在轴正半轴上且坐标为，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形．
（1）连接，求的面积；
（2）如图①，连接交于点，连接，若，求的值：
（3）如图②，连接，取的中点，连接，以为邻边作，若点恰好在边上，求的值
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由四边形为矩形，，，得，，由旋转得，，，则轴，，所以；
（2）①连接，由，，根据勾股定理得，由矩形的性质得，而，则，所以；
（3）由平行四边形的性质得，，所以，由是的中点，得，则，根据三角形的中位线定理得，则，所以．
【小问1详解】
解：如图，连接、，
四边形为矩形，，，
，，，
将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，
，，，
轴，，
，
的面积是8．
【小问2详解】
解：如图①，连接，
，，
，
四边形是矩形，、交于点，
，
，
，
，
，
∴，
的值是．
【小问3详解】
解：如图②，
四边形是平行四边形，
∴，，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
解得，
的值是．
【点睛】此题重点考查图形与坐标、矩形的性质、旋转的性质、线段的垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的“三线合一”、三角形的中位线定理等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
28. 在学习了“中心对称图形…平行四边形”这一章后，同学小明对特殊四边形探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”。请你根据以上定义，回答下列问题：

（1）下列关于“双直四边形”的说法，正确的有 （把所有正确的序号都填上）；
①双直四边形”的对角线不可能相等：②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半；③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形
（2）如图①，正方形中，点分别在边 上，连接
，，若，证明：四边形为“双直四边形”；
（3）如图②，在平面直角坐标系中，已知点，，点在线段
上且，是否存在点在第一象限，使得四边形
为“双直四边形”，若存在；求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）②③ （2）见解析
（3），
【解析】
【分析】（1）由“双直四边形”的定义依次判断即可.
（2）设的交点为点，先根据SAS证明 ，于是得，再证明，即可得 ，由此得四边形为“双直四边形”.
（3）先求出的解析式，再分三种情况讨论：，，，分别求出点D的坐标即可.
【小问1详解】
∵“双直四边形”的对角线互相垂直，
∴“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半.
故②正确.
∵中心对称的四边形是平行四边形，对角线互相垂直且有一个角是直角的的平行四边形是正方形.
∴若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形.
故③正确.
∵正方形是“双直四边形”，正方形的对角线相等.
故①不正确.
故答案为：②③
【小问2详解】
如图，设与的交点为
∵四边形是正方形

又

∴四边形为“双直四边形”
【小问3详解】
假设存在点在第一象限，使得四边形 为“双直四边形”.
如图，设的交点为
即
解得
是的中点，
设直线的解析式为则

解得
∴直线的解析式为
设
①当时，则
则
②当时
是
此时点坐标还是.
③当时
是等腰直角三角形
整理得
当时，
此时在第四象限，不符合题意.
当时，
此时在第一象限，符合题意.
综上，D点坐标为或
【点睛】本题是一道四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，一次函数等知识，综合性较强，题目难度较大.熟练掌握以上知识以及分类讨论思想是解题的关键.
答案每批粒数
100
150
200
500
800
1000
发芽粒数
65
111
345
560
700
发芽的频率