高考数学导数专题-9.比值代换

这是一份高考数学导数专题-9.比值代换，共5页。试卷主要包含了对数减法，齐次分式，合分比结构，非对称型等内容，欢迎下载使用。

比值代换.它不仅可以解决很多极值点偏移问题，还可以解决很多其他的双变量问题. 通过比值代换，我们可以将双变量问题转化为单变量问题来处理，达到消元的效果.在处理比值代换时，首先应该注意一些常见的变换结构：
方法1.假设，这样的话欲证即证，于是，我们需要进一步找寻与的关系，从而实现比值代换.
方法2.对数减法：或是
方法3.齐次分式：例如：等；
方法4.合分比结构：如果，则.
方法5.非对称型：如或者商型结构：或分式型等是应用比值代换的天然沃土.
二．典例分析
例1．（2021•广州一模）已知函数．
（1）证明：曲线在点，（1）处的切线恒过定点；
（2）若有两个零点，，且，证明：．
证明：（1），
（1），又（1），曲线在点，（1）处的切线方程为，即，当时，.
故直线过定点，.
（2），是的两个零点，且，
，可得，
，
令，，构造函数，求导可得
，令，则，则在上单调递增，
而（2），，则在上单调递增，
（2），可得，则，即，则．
例2．已知函数．若时，函数恰有两个零点，，证明：．
证明：当时，，由题意知，
②-①得：，即③,令，则，且，
又因为，由③知：，所以，
要证，只需证，即证，
即，令，则，所以在上单调递增且（1），所以当时，，即．
例3．已知函数，其中.
（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；
（2）若函数存在两个极值点，当时，求的取值范围.
解：因为，所以，
因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，
所以在上恒成立，故令，则在上恒成立，所以在上单调递增，故，
所以，即的取值范围是.
(2)，对函数，设上一点为，
过点的切线方程为，将代入上式得，所以过的的切线方程为.所以，要使与有两个交点，则，此时有两个极值点，且.，令，则，所以，所以，即
所以，令，
令，所以在上递增.
因为，所以在上恒成立. 所以在上恒成立.
所以在上递增. ，所以当时，，所以的取值范围是.
例4.（2018全国1卷）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，证明：.
（1）略.
（2）证明：由（1）可得，当时，存在两个极值点. 且是导函数的两零点，故.
由于，由对数均值不等式可知，代入可得：
，证毕.
习题演练
习题. 已知函数.
（1）讨论的极值；
（2）若有两个零点，，证明：.
解析：（1），当时，由于，故，，所以在内单调递减，无极值；当时，由，得，
在上，，在上，，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，函数有极小值，无极大值，
综上：当时，无极值；当时，有极小值，无极大值.
（2）函数有两个零点，，不妨设，由（1）得，且，则，，，即，要证：，需证：，只需证：，只需证：，
只需证：，只需证：，令，即证，设，则，即函数在单调递减，则，即得.