高考数学导数专题-15.同构视角解决极值点偏移问题

这是一份高考数学导数专题-15.同构视角解决极值点偏移问题，共5页。试卷主要包含了同构单调性解决极值点偏移，已知函数，若，不妨设，求证，若方程有两个实根，且，证明等内容，欢迎下载使用。

类型1.同构单调性解决极值点偏移
例1.（2021新高考1卷）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设为两个不相等的正实数，且，证明：.
解析：（2）因为，故，即，
故，设，由（1）可知不妨设.下面我们证明
由于，于是可得：.
构造函数，则上式显然成立，于是可得：
，得证！
注：此题条件透露了一个关键的条件：，所以可以进行代换构造出一个单调函数同构出极值点偏移！但是，从同构单调性视角来解决另一个不等式，我没有想到，有兴趣的读者可以继续研究！
例2.已知函数，若，不妨设，求证：.
证明：，为了消掉参数，即证明：
，于是只需函数在区间上递增！求导易证！
类型2.利用同构包装极值点偏移
这一类问题就是利用同构将函数或者最后的偏移不等式包装的复杂，丑陋，乍一看可能无从下手，但是只要注意一些常见的指对同构形式，适当转化，它就漏出真面目了！典例就是2022年甲卷21题.当然，要玩同构，这些基本的同构形式必须熟悉：
= 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②； = 3 \* GB3 ③； = 4 \* GB3 ④； = 5 \* GB3 ⑤.
例3.若方程有两个实根，且，证明：
证明：因为，则，令，其中，则有，，所以，函数在上单调递增，
因为方程有两个实根、，令，，则关于的方程也有两个实根、，且，要证，即证，即证，即证，（这个结论我在前面已经证明过，这里再度证明）
由已知，所以，，整理可得，
不妨设，即证，即证，
令，即证，其中，构造函数，其中，
，所以，函数在上单调递增，当时，，故原不等式成立.
点评：脱去同构的外衣，它就是一个非常普通的极值点偏移!
习题1．已知函数，其中．
（1）略；
（2）令函数，若存在使得，证明：
.
证明：，令，则上述函数变形为，对于，，则，即在上单调递增，所以若使得，则存在对应的、，使得，证明. （前两讲已证，此处略去）
二．习题演练
习题1．（2022全国甲卷）
已知函数.
（1）若恒成立，求的取值范围；（公众号：凌晨讲数学）
（2）若有两个零点，证明：.
解析：（1），令，则，于是
.于是等价于在上恒成立，故.
（2）由（1）可得有两个零点等价于在上有一个零点，即
，此时，有两个解，且.（凌晨）
此时，，两式相除，可得：.
于是，欲证只需证明：（对数均值不等式）.
即证明：，令，只需证明，易证！