高考数学导数专题-19.函数的凸凹性及应用

这是一份高考数学导数专题-19.函数的凸凹性及应用，共5页。试卷主要包含了定义，常用性质，这样，点就是曲线的一个拐点等内容，欢迎下载使用。

一．基本命题原理
1．定义
若函数在区间上有定义，若，则称为区间上的凸函数. 反之，称为区间上的凹函数
2．常用性质
2.1.
在上为凸函数.
反之，.
注：上述不等式也称为詹森不等式.特别地，若只取，则有：
凸函数自变量的平均数的函数值不大于函数值的平均数
几何解释：凸函数的图象上弧线位于线段的下方；
凹函数自变量的平均数的函数值不小于函数值的平均数
几何解释：凹函数的图象上弧线位于线段的上方；
(图1：凸函数) (图2：凹函数)
2.2.运算性：
（1）两凸函数之和为凸函数；
（2）两递增非负凸函数之积为凸函数.
2.3.分离性：
在上为凸函数，对区间内任意，有.
注：分离性常见的两个不等式:
（1）与有关：；.
（2）与有关：
可以看到，分离性是导数中切线放缩的理论依据.
将上述不等式再合理变形，又可以得到：
指数切线的放缩的推广
① 如果我把原式替换成了则又变成了： 切点：
② 如果我把原式替换成了用则又变成了：，切点：
③ 如果我把原式替换成了则又变成了： ．切点：，又可表示为：）
④如果我把中的替换成了则又变成了： 切点：
对于常见的变换：
2.4拐点的定义和求法
连续曲线上凹的曲线弧和凸的曲线弧的分界点叫做曲线的拐点．（公众号：凌晨讲数学）
(拐点存在的必要条件) 若函数在处的二阶导数存在,且点为曲线的拐点,则
我们知道由的符号可以判定曲线的凹凸．如果连续，那么当的符号由正变负或由负变正时，必定有一点使＝0．这样，点就是曲线的一个拐点．因此，如果在区间内具有二阶导数，我们就可以按下面的步骤来判定曲线的拐点:
（1）确定函数的定义域；
（2） 求；令＝0，解出这个方程在区间内的实根；
（3） 对解出的每一个实根，考察在的左右两侧邻近的符号．如果在的左右两侧邻近的符号相反，那么点就是一个拐点，如果在的左右两侧邻近的符号相同，那么点就不是拐点．
二．典例分析
应用1.分离性与恒成立.
例1.（2017全国三卷）已知函数.若，求的值.
例2.（2017全国二卷）设函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，，求实数的取值范围.（公众号：凌晨讲数学）
应用2.切线放缩与零点估计.
例3.（2021新课标1卷22题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设为两个不相等的正数，且，证明：.
例4（2015年天津）已知函数,其中.
（1）讨论的单调性；（公众号：凌晨讲数学）
（2）设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；
（3）若关于的方程有两个正实根，求证：.
应用三:詹森不等式
例5. 在中，求的最大值.
例6.已知函数.（公众号：凌晨讲数学）
（1）讨论在区间的单调性；
（2）证明：；
（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.
例7.半径为的球的内接三棱锥的体积的最大值为______.
例8.已知.证明：.