高考数学导数冲满分-专题04 函数的单调性

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已知函数f(x)在区间(a，b)上可导，
(1)如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在(a，b)内单调递增；
(2)如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在(a，b)内单调递减；
(2)如果f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在(a，b)内是常数函数．
注意：1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)f(0)，即2x－3>0，解得x>eq \f(3,2)，∴原不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))．
(6)设函数f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－csx，则不等式f(2x－1)＋f(x－2)>0的解集为( )
A．(－∞，1) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞)) D．(1，＋∞)
答案 D 解析 根据题意，当x≥0时，f(x)＝ex－csx，此时有f′(x)＝ex＋sinx>0，则f(x)在[0，＋∞)上为增函数，又f(x)为R上的奇函数，故f(x)在R上为增函数．f(2x－1)＋f(x－2)>0⇒f(2x－1)>－f(x－2)⇒f(2x－1)>f(2－x)⇒2x－1>2－x，解得x>1，即不等式的解集为(1，＋∞)．
【对点训练】
1．已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)≥0的解集为 ．
1．答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))∪[2，＋∞) 解析 由f(x)图象特征可得，在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))和[2，＋∞)上f′(x)≥0， 在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))上
f′(x)