山东省泰安市新泰第一中学老校区（新泰中学）2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份山东省泰安市新泰第一中学老校区（新泰中学）2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷（Word版附解析），共23页。试卷主要包含了 已知，则的大小关系是， 已知函数等内容，欢迎下载使用。

数学试题
注意事项：
1.本试卷共4页分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. ，则（ ）
A B. 2C. D. 6
2. 曲线在点处的切线方程是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知函数在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）.
A. B.
C. D.
6. 已知函数（是的导函数），则（ ）
A. B. 1C. 2D.
7. 已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.两个选项的，部分选对的每一个得3分。三个选项的，部分选对的每一个得2分，有选错的得0分.）
9. 在曲线上的切线的倾斜角为点的横坐标可能为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数（为常数），则下列结论正确的有（ ）
A 时，恒成立
B. 时，无极值点
C. 若有3个零点，则的范围为
D. 时，有唯一零点且
11. 已知函数及其导函数满足，且，则（ ）
A. 在上单调递增B. 在上有极小值
C. 的最小值为D. 的最小值为
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知函数，则的最大值为_______．
13. 已知函数，关于x的方程有3个不同的解，则m的取值范围是______.
14. 设函数，则函数的最小值为______；若对任意，存在不等式恒成立，则正数的取值范围是______．
四、解答题（本题共5小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．
16 已知函数.
（1）当时，求的单调区间与极值；
（2）若在上有解，求实数a的取值范围.
17. 某小型玩具厂研发生产一种新型玩具，年固定成本为10万元，每生产千件需另投入3万元，设该厂年内共生产该新型玩具千件并全部销售完，每千件销售收入为万元，且满足函数关系：．
（1）写出年利润（万元）关于该新型玩具年产量（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该厂在此新型玩具的生产中所获年利润最大？最大利润为多少？
18. 已知函数在与时都取得极值.
（1）求的值与函数的单调区间.
（2）求该函数在极值.
（3）设，若恒成立，求的取值范围.
19. 已知函数．
（1）求曲线在处的切线并比较与的大小关系；
（2）记函数的极大值点为，已知表示不超过的最大整数，求．
新泰中学2022级高二下学期第一次阶段性考试
数学试题
注意事项：
1.本试卷共4页分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. ，则（ ）
A. B. 2C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据导数的定义，结合导数的计算，可得答案.
【详解】∵，，∴.
故选：C.
2. 曲线在点处的切线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求得函数的导数，将代入可得切线方程的斜率，再用点斜式即可得出答案.
【详解】因为，所以，
又因为曲线过点，
由点斜式可得，化简可得，
所以切线方程是，
故选：A.
3. 已知函数在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求导得到，然后根据在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，由求解即得.
【详解】由，得，
∵在，上为增函数；上为减函数,
∴两根分别位于和中，
得，即，解得.
故选：B
4. 已知，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】方法一：由正弦函数的单调性得出，再设，由其导数得出单调性，即可由得出，即，即可得出答案；
方法二：由正弦函数的单调性得出，再由为中间值得出，，，即，即可得出答案.
【详解】方法一：因为在上单调递增，
所以.
设，则，
当时，，
所以再上单调递增，
所以，
所以，即，
所以.
综上，得，故选：B.
方法二：因为在上单调递增，
所以.
又.
综上，得，故选：B.
故选：B.
5. 已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由的图象得到的单调性，从而得到的正负，即可得解.
【详解】由的图象可知，在和上单调递增，在上单调递减，
则当时，时，时，
所以不等式的解集为.
故选：A
6. 已知函数（是的导函数），则（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】先对函数求导，代入，求出的值，进而求解的值即可.
【详解】因为
所以定义域为.
所以
当时，，，则
故选：A
7. 已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由可得，令，则直线与函数在上的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】因为函数在上有两个极值点，
所以在上有两个变号零点，
因为，令，即，可得．
令，则，
令，得，令，得，
所以，函数在上递增，在上递减，
因为，，，如下图所示：
当时，直线与函数在上的图象有两个交点，
设两个交点的横坐标分别为、，且，
由图可知，当或时，，此时，，
当时，，此时，，
所以，函数在上递增，在上递减，在上递增，
此时，函数有两个极值点，合乎题意.
因此，实数的取值范围为.
故选：B.
8. 已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，原不等式等价于.构造函数，则在上单调递减，可得不等式在上恒成立，利用分离参数法可得在上恒成立，结合导数讨论函数的性质求出即可.
详解】设，
，
等价于，即，
令，则，
所以函数在上单调递减，
则不等式在上恒成立，
即不等式在上恒成立，令，
则，令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又，且，
所以，解得，
即实数a的取值范围为.
故选：D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.两个选项的，部分选对的每一个得3分。三个选项的，部分选对的每一个得2分，有选错的得0分.）
9. 在曲线上的切线的倾斜角为点的横坐标可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用导数的几何意义即可.
【详解】切线的斜率，设切点为，则，
又，所以，所以，，当时，，故AD正确.
故选：AD
10. 已知函数（为常数），则下列结论正确的有（ ）
A. 时，恒成立
B. 时，无极值点
C. 若有3个零点，则的范围为
D. 时，有唯一零点且
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于AB：将和代入，判断函数单调性，利用单调性求极值最值即可求解；对于C：将问题转化为，构造函数，利用导数求单调性和极值，然后画图求解；对于D：利用零点存在定理求解.
【详解】对于A：当时，，则，令，
则，所以时，，单调递增，时，，单调递减，，
所以在上单调递增，又，A错误；
对于B：当时，，，令，
则，所以时，，单调递增，时，，单调递减，所以，
所以在上单调递增，无极值，B正确；
对于C：令，当时，显然，
则，记，则
当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
且，当和时，，函数图象如下：
所以若有3个零点，则的范围为，C正确；
对于D：当时，，则，令，
则，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，所以所以在上单调递增，
又，，
由零点存在定理可得有唯一零点且，D正确；
故选：BCD.
11. 已知函数及其导函数满足，且，则（ ）
A. 在上单调递增B. 在上有极小值
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】AB
【解析】
【分析】由已知等式变形可得出，设（为常数），根据题中条件求出的值，可求出的解析式，利用函数的单调性与导数的关系可判断A选项；利用函数的极值与导数的关系可判断B选项；利用函数的最值与导数的关系可判断CD选项.
【详解】因为函数及其导函数满足，
则，即，
令（为常数），所以，，
因为，可得，所以，，
对于A选项，当时，，
所以，函数在上单调递增，A对；
对于B选项，由可得，且，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，函数在上有极小值，B对；
对于C选项，令，其中，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，C错；
对于D选项，，令，可得，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，D错.
故选：AB.
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知函数，则最大值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】求导得出函数在上的单调性，即可求得的最大值为.
【详解】由可得，
令可得，
又，所以，
当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增；
易知，；
因此的最大值为.
故答案为：
13. 已知函数，关于x的方程有3个不同的解，则m的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用导数法研究函数的性质、对数函数的图象及函数图象的平移变换，进而可得函数的图象，将方程有3个不同的解转化为函数与图象的有个不同交点即可求解.
【详解】由题意可知，方程有3个不同的解转化为函数与图象的有个不同交点.
当时，，
由，即，解得，
由，即，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，取的极大值为；
作出与的大致图象，如图所示.
由图可知，要使函数与图象的有个不同交点，只需要.
所以m的取值范围是.
故答案为：.
14. 设函数，则函数最小值为______；若对任意，存在不等式恒成立，则正数的取值范围是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用导数研究函数单调性，求最小值；令，，问题转化为，利用导数和基本不等式求两个函数最小值即可.
【详解】的导数为，
则时，，单调递减；时，，单调递增，
可得在处取得极小值，且为最小值；
令，，
又对任意，存在，
有恒成立，即恒成立，即；
时，，当且仅当时取得最小值2，
，，
则时，，单调递减；时，，单调递增，
可得在处取得极小值，且为最小值；
所以，由，可得．
所以的取值范围是.
【点睛】方法点睛：
不等式恒成立问题，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
四、解答题（本题共5小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．
【答案】（1）
（2），切点为
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）根据导数的几何意义求出切线方程，再将原点代入即可求解.
【小问1详解】
由，得，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
【小问2详解】
设切点为，由（1）得，
所以切线方程为，
因为切线经过原点，
所以，
所以，．
则，
所以所求的切线方程为，切点为．
16. 已知函数.
（1）当时，求的单调区间与极值；
（2）若在上有解，求实数a的取值范围.
【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，无极大值
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，然后由极值的定义求解即可；
（2）分和两种情况分析求解，当时，不等式变形为在，上有解，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求解的最小值，即可得到答案．
【小问1详解】
当时，，所以
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时函数有极小值，无极大值.
【小问2详解】
因为在上有解，
所以在上有解，
当时，不等式成立，此时，
当时在上有解，
令，则
由（1）知时，即，
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，所以，
综上可知，实数a的取值范围是.
【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题或有解问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围．
17. 某小型玩具厂研发生产一种新型玩具，年固定成本为10万元，每生产千件需另投入3万元，设该厂年内共生产该新型玩具千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且满足函数关系：．
（1）写出年利润（万元）关于该新型玩具年产量（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该厂在此新型玩具的生产中所获年利润最大？最大利润为多少？
【答案】（1）（2）9千件；38.6万元
【解析】
【分析】（1）由G(x)等于销售收入减去成本求解即可；（2）求导判断函数单调性求最值即可
【详解】（1）依题意，（）
（2）由（1）得，令，得.
∴当时，，单调递增，
当时，，单调递减.
∴当时，有.
即当年产量为9千件时，该厂在该商品生产中获得的年利润最大且最大值为38.6万元
【点睛】本题考查函数模型的应用，考查函数的最值，考查运算求解能力，是基础题
18. 已知函数在与时都取得极值.
（1）求的值与函数的单调区间.
（2）求该函数在的极值.
（3）设，若恒成立，求的取值范围.
【答案】（1），增区间，减区间
（2）极大值是，极小值是
（3）或
【解析】
【分析】（1）求导，根据极值点是导函数的零点列方程求解，然后根据导函数的正负确定单调性；
（2）先确定单调性，再确定极值即可；
（3）先根据单调性求最值，然后将恒成立问题转化为最值求解即可.
【小问1详解】
由已知， 由于在与时都取得极值，
所以，解得，
所以，
所以在上单调递增，
在上单调递减，
所以是的极大值，是的极小值.
所以，单调增区间，单调减区间；
【小问2详解】
，
由（1）得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以在区间上，
极大值是，
极小值是；
【小问3详解】
由（1）可知在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，，
所以在区间上最大值是，
在区间上恒成立，
所以，，解得或.
19. 已知函数．
（1）求曲线在处的切线并比较与的大小关系；
（2）记函数的极大值点为，已知表示不超过的最大整数，求．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义求切线的斜率，根据点斜式方程求切线方程；
（2）利用导数判断函数的单调性，确定其最大值的表达式，再利用导数求其最大值的范围，由此可求整数m的值．
【小问1详解】
由题得，切点为，
因为，所以．
故所求切线为
又
当时，，所以；
当时，，所以
综上，．
【小问2详解】
因为
所以
令，得或
因为在上单增，
故在有根，可知在上增，上减，在上增
所以，的极大值点为且且．
故
所以，故．