高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直优秀导学案

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知识精讲
知识点
一、直线与平面垂直的判定
1．直线与平面垂直
（1）定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语．
（2）直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式．
（3）由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线．
2．直线与平面垂直的判定定理
（1）直线与平面垂直的判定定理告诉我们：可以通过直线间的垂直来证明直线与平面垂直．通常我们将其记为“线线垂直，则线面垂直”．因此，处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决．也就是说，以后证明一条直线和一个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可．
（2）在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交直线垂直，而不是任意的两条直线．
3．直线和平面所成的角
（1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于．因此，直线与平面所成的角α的范围是．
二、平面与平面垂直的判定
1．二面角
【微点拨】（1）二面角是从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形；平面角可以把角理解为一个旋转量，二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成，二面角的大小反映了两个相交平面的位置关系．
（2）二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置唯一确定的，与选择棱上的点的位置无关．
（3）平面角的两边分别在二面角的两个面内，且两边都与二面角的棱垂直，这个角所确定的平面与棱垂直．
2．平面与平面垂直
（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作．
（2）画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．如图所示．
3．平面与平面垂直的判定定理
【微点拨】平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．通常我们将其记为：线面垂直，则面面垂直．因此处理面面垂直问题（即空间问题）转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题（即平面问题）来解决．
三、直线与平面垂直的性质定理
【微点拨】直线与平面垂直的性质定理给出了判断两条直线平行的另一种方法，即“线面垂直，则线线平行”，它揭示了“平行”与“垂直”的内在联系．
直线与平面垂直的性质
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） ．
四、平面与平面垂直的性质定理
【温馨提示】平面与平面垂直的性质定理给出了判断直线与平面垂直的另一种方法，即“面面垂直，则线面垂直”，揭示了线面垂直与面面垂直的内在联系．
垂直关系之间的相互转化
【即学即练1】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有（ ）
A．2条 B．4条 C．6条 D．8条
【答案】D
【解析】
【分析】
根据线线之间的垂直关系判断即可.
【详解】
在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条．
故选：D.
【即学即练2】设、、为平面，、、为直线，则下列判断正确的是（ ）
A．若，，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
【答案】D
【解析】A选项不正确，因为根据面面垂直的性质定理，需要加上：在平面内或者平行于，这个条件，才能判定.
B选项不正确，因为可能平行于.
C选项不正确，因为当时，或者.
D选项正确，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，得到，直线，则可得到.
综上所述，本小题选D.
【名师点睛】本小题主要考查空间线面、面面位置关系的有关命题真假性的判断，属于基础题.求解时，根据线面、面面有关的定理，对四个选项逐一分析，由此得出正确选项.
【即学即练3】如图，三棱锥P­ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，则直线PB和平面ABC所成的角是( )
A．∠BPA B．∠PBA C．∠PBC D．以上都不对
【答案】 B
【解析】 由PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，得PA⊥平面ABC，所以∠PBA为BP与平面ABC所成的角．故选B.
【即学即练4】下列说法错误的是（ ）
A．垂直于同一个平面的两条直线平行
B．若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直
C．一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行
D．一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直
【答案】D
【解析】由线面垂直的性质定理知，垂直于同一个平面的两条直线平行，A正确；
由面面垂直的性质定理知，若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直，B正确；
由面面平行的判定定理知，一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行，C正确；
当一条直线与平面内无数条相互平行的直线垂直时，该直线与平面不一定垂直，D错误.故选D.
【名师点睛】本题主要考查面面平行的判定、面面垂直的性质及线面垂直的判定与性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等.
【即学即练5】在正方体中，下列判断正确的是
A．面B．面C．面D．
【答案】A
【解析】在正方体中，，
又，且，平面，则，
同理，则平面，故正确，不正确；
连接，，则为与 所成角，为，故、不正确．故选：．
【名师点睛】本题从已知出发，先由已知证明，，得平面，说明正确，不正确，再求出与 所成角为，说明，错误．
【即学即练6】如图所示，在三棱锥中，平面，，则二面角的大小为（ ）
A．B． C．D．
【答案】A
【解析】由题意，因为平面，则，，所以即为二面角的平面角.又，所以二面角的平面角为.
【名师点睛】本题主要考查了二面角的平面角的定义，以及二面角的求解，其中根据线面垂直的性质，利用二面角的平面角的定义得到二面角的平面角是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
【即学即练7】如图所示，三棱锥P­ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是( )
A．一条线段B．一条直线
C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点
【答案】 D
【解析】 ∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面PAC，∴AC⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC.∴∠ACB＝90°.∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．
【即学即练8】如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF⊥BC，则eq \f(PE,EC)＝________.
【答案】 1
【解析】 在三棱锥P­ABC中，因为PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，所以AB⊥平面APC.
因为EF⊂平面PAC，所以EF⊥AB，因为EF⊥BC，BC∩AB＝B，所以EF⊥底面ABC，所以PA∥EF，
因为F是AC的中点，E是PC上的点，所以E是PC的中点，所以eq \f(PE,EC)＝1.
【即学即练9】如图，在四棱锥P­ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝eq \r(2)a，
(1)求证：PD⊥平面ABCD；
(2)求证：平面PAC⊥平面PBD；
(3)求二面角P­BC­D的大小．
【解析】 (1)证明：∵PD＝a，DC＝a，PC＝eq \r(2)a，∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC.
同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD.
(2)证明：由(1)知PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PDB.AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD.
(3)由(1)知PD⊥BC，又BC⊥DC，∴BC⊥平面PDC，∴BC⊥PC.
∴∠PCD为二面角P­BC­D的平面角．
在直角△PCD中，PD＝CD＝a，∴∠PCD＝45°.∴二面角P­BC­D的平面角为45°.
能力拓展
考法01
1．空间线线垂直的应用
【典例1】．如图所示，空间四边形中，两条对边，分别是另外两条对边上的点，且，则异面直线和所成角的大小为___________.
【答案】
【解析】
作，由平行线分线段成比例可确定，则所求角为或其补角；根据长度关系可求得，由此可得结果.
【详解】
如图，过点作，交于点，连接
则
异面直线和所成角即为或其补角
在中，，，又
异面直线和所成角的大小为
故答案为：
【点睛】
本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够利用平行关系将异面直线所成角的问题转化为相交直线所成角的求解问题.
【典例2】如图，在四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形且，，若异面直线和所成的角为，试求的长.
【答案】
【解析】
【分析】
连接，得到，根据题意，得到，再求得，，结合，即可求解.
【详解】
如图，连接，在四棱柱中，，，
所以四边形是平行四边形，所以，
所以（或其补角）为和所成的角，
因为异面直线和所成的角为，所以，
因为四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形，
所以是等腰直角三角形，所以，
因为底面四边形是菱形且，，
所以，，
所以.
考法02
线面垂直判定定理的应用
证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直．三角形全等、等腰三角形底边的角平分线、中线、高；菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法．
【典例3】如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．则能保证该直线与平面垂直的是( )
A．①③ B．②
C．②④ D．①②④
【答案】A
【解析】①③能保证这条直线垂直于该平面内的两条相交直线，②④中的两条直线有可能是平行的．
【典例4】下列命题正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据空间直线、平面间的位置关系、线面垂直的判定定理和性质定理判断．
【详解】
由线面垂直的判定定理可得A正确，由线面垂直的性质定理可得B正确，
，可能有，C错误，时可能有，，与相交（可能垂直），D错误，
故选：AB．
【典例5】如图，等腰三角形的底边长为2，将沿高折起，记此时的点B为P，若，则的长是______.
【答案】
【解析】
【分析】
证明平面，得线线垂直，由勾股定理计算．
【详解】
由题意，又，，平面，
所以平面，平面，所以．
所以．
故答案为：．
【典例6】如图，在中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是所在平面外一点，且SA＝SB＝SC．
（1）求证：SD⊥平面ABC；
（2）若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC．
【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析．
【解析】（1）因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC．
在Rt中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以ADS ≌BDS，所以SD⊥BD，
又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC．
（2）因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC，由（1）知SD⊥BD，
又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC．
考法03
面面垂直判定定理的应用
证明平面与平面垂直的方法：
【典例7】（多选题）已知直线平面，直线平面，其中正确的命题为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据空间中的点线面的位置关系逐项判断各选项的对错即可.
【详解】
A．因为，，所以，又因为，所以，故正确；
B．因为，，所以或，此时与可能平行、相交或异面，故错误；
C．因为，，所以，又因为，所以，故正确；
D．因为，，，所以可能相交、平行，故错误.
故选：AC.
【点睛】
本题考查空间中的点线面位置关系的判断与证明，难度一般.空间中的点线面的位置关系除了可以根据判定定理、性质定理来证明，还可通过图示的方法进行说明.
【典例8】如图所示，在三棱锥中，，，且是锐角三角形，那么必有（ ）
A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
【答案】C
【解析】
【分析】
由线线垂直（，）推出线面垂直（平面）推出面面垂直平面平面.
【详解】
，，，平面，平面，平面，平面，平面平面BCD
故选：C.
【典例9】如图，在正方体中，求证：平面平面．
【答案】证明见详解.
【解析】
【分析】
证出平面，再利用面面垂直的判定定理即可证明.
【详解】
在正方体中，
可得平面，
因为平面，
所以，
又，且，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面．
【典例10】如图，四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD为菱形，SD＝SB．
（1）求证：平面SAC⊥平面SBD；（2）求证：平面SAC⊥平面ABCD．
【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析．
【解析】（1）∵底面ABCD为菱形，∴BD⊥AC．
∵SB＝SD，∴SO⊥BD，又SO∩AC＝O，∴BD⊥平面SAC，
又∵BD⊂平面SBD，∴平面平面SBD．
（2）由（1）知BD⊥平面SAC，BD⊂平面ABCD，∴平面平面ABCD．
【名师点睛】根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，判定定理是证明面面垂直的常用方法 ，即要证面面垂直，只要证明线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．
考法04
直线与平面所成的角
求直线与平面所成的角的方法：
（1）求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．
（2）求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等．
【典例11】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(2),3) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(2,3) D.eq \f(\r(6),3)
【答案】 D
【解析】 如图所示，连接BD交AC于点O，连接D1O，由于BB1∥DD1，∴DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角．易知∠DD1O即为所求．设正方体的棱长为1，则DD1＝1，DO＝eq \f(\r(2),2)，D1O＝eq \f(\r(6),2)，
∴cs ∠DD1O＝eq \f(DD1,D1O)＝eq \f(2,\r(6))＝eq \f(\r(6),3).∴BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为eq \f(\r(6),3).
【典例12】在三棱锥中，平面，，，，如图所示．
（1）证明：； （2）求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明详见解析．（2）．
【解析】（1）由平面，平面，得，同理可得．
在中，由，则，同理可得．
在中，，即，故．
而都在平面内且相交，则平面．又平面，则．
（2）由（1）知、、两两垂直，如图，取的中点，连接、，过作的垂线，为垂足，
由得，
又由平面，得，则平面，于是，故平面，
则就是直线与平面所成的角．
在中，，，则．
即与平面所成角的正弦值为．
考法05
二面角
求二面角大小的步骤：
简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择．
【典例13】如图，在三棱锥P­ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是( )
A．平面EFG∥平面PBC
B．平面EFG⊥平面ABC
C．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角
【答案】D.
【解析】A正确，∵GF∥PC，GE∥CB，GF∩GE＝G，PC∩CB＝C，∴平面EFG∥平面PBC；
B正确，∵PC⊥BC，PC⊥AC，PC∥GF，∴GF⊥BC，GF⊥AC，又BC∩AC＝C，
∴GF⊥平面ABC，∴平面EFG⊥平面ABC；
C正确，易知EF∥BP，∴∠BPC是直线EF与直线PC所成的角；
D错误，∵GE与AB不垂直，∴∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角．
【典例14】已知ABCD是正方形，E是AB的中点，将和分别沿DE、CE折起，使AE与BE重合，A、B两点重合后记为点P，那么二面角P－CD－E的大小为_______________．
【答案】
【解析】如图，取CD中点F，连接PF、EF．
∵EP⊥PD，EP⊥PC，∴EP⊥平面PCD，∴EP⊥CD．
∵PC＝PD，∴PF⊥CD， 又PF∩PE＝P，∴CD⊥平面PEF， 又EF⊂平面PEF，∴CD⊥EF，
∴∠PFE为二面角P－CD－E的平面角．
设正方形ABCD的边长为2，在中，PE＝1，EF＝2，∴∠PFE＝30°．
【名师点睛】（1）二面角的平面角的顶点是二面角棱上任意一点．为了解题方便，可以把其放在某一特殊位置，这要具体问题具体分析．
（2）求二面角的关键是找出（或作出）平面角，再把平面角放到三角形中求解．一般采取垂线法来作平面角，即过二面角的一个半平面内且不在棱上的一点作另一个半平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．
考法06
直线与平面垂直的性质定理的应用
线面垂直的性质定理、公理4及线面平行的性质定理都是证明线线平行的依据，至于线面平行、面面平行，归结到最后还是要先证明线线平行．
【典例15】已知三棱锥P﹣ABC中，若PA，PB，PC两两互相垂直，作PO⊥平面ABC，垂足为O，则点O是△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】D
【解析】本题是立体几何中一道证明题，考查了线面垂直的定义与三角形的全等.连结AO并延长，交BC与D连结BO并延长，交AC与E；因PA⊥PB，PA⊥PC，故PA⊥面PBC，故PA⊥BC；
因PO⊥面ABC，故PO⊥BC，故BC⊥面PAO，故AO⊥BC，即AD⊥BC；
同理：BE⊥AC；故O是△ABC的垂心．故选：D．
【典例16】在正方体中，与垂直的直线是（ ）
A．ABB．CDC．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
证明平面,从而得到，可得答案.
【详解】
连结, 则为直线与所成角,
在直角三角形中，为锐角，所以与不垂直，选项D不正确.
为直线与所成角,
在直角三角形中，为锐角，所以与不垂直
由，所以与不垂直，故选项A,B不正确.
在正方体中,
平面，且平面,所以
由,所以平面’
平面,所以
故选: C.
【典例17】如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足______时，PC⊥平面BDM(只填写一个认为正确的条件即可)．
【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC)
【解析】
【分析】
根据题意可得BD⊥AC．根据线面垂直的性质定理，可得BD⊥PA．根据线面垂直的判定定理，即可得答案.
【详解】
连接BD，AC．
∵四边形ABCD各边都相等，即四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC．又PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA．
∵PA∩AC＝A，
∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC．
∴当DM⊥PC或BM⊥PC时，PC⊥平面BDM．
故答案为：（或）
【典例18】已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
分别根据面面垂直、线面垂直得到线线垂直，从而证明线面垂直，再证明线线垂直.
【详解】
证明:如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，
因为平面PAC⊥平面PBC，平面PAC平面PBC＝PC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，
所以AD⊥平面PBC，
又BC⊂平面PBC，所以AD⊥BC．
因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以PA⊥BC，因为ADPA＝A，
所以BC⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，所以BC⊥AC．
考法07
平面与平面垂直的性质定理的应用
在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直．
【典例19】下列命题中错误的是（ ）
A．如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面
B．如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面
C．如果平面平面，平面平面，，那么平面
D．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面
【答案】B
【解析】
【分析】
对选项A，B，C可通过作图证明，对D，可以运用反证法的思维方式证明正确性.
【详解】
对A，如图，平面平面，，，若，由线面平行的判定定理可得，故A正确；由A可知，B错误；
对C，如图，设，，在内直线外任取一点，作，因为平面平面，所以，所以，作，因为平面平面，所以，所以，又因为，所以平面，故C正确；
对D，若平面内存在直线垂直于平面，根据面面垂直的判定，则有平面垂直于平面，与平面不垂直于平面矛盾，所以根据逆否命题可知，如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面，故D正确.
故选：B
【典例20】已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l．求证：l⊥γ．
【答案】证明详见解析．
【解析】证法1：在γ内取一点P，作PA垂直α与γ的交线于A，作PB垂直β与γ的交线于B，
∵α⊥γ，β⊥γ，则PA⊥α，PB⊥β，∵l＝α∩β，∴l⊥PA，l⊥PB，
∵PA与PB相交，又PA⊂γ，PB⊂γ，∴l⊥γ．
证法2：在α内作直线m垂直于α与γ的交线，在β内作直线n垂直于β与γ的交线，
∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ，
∴m∥n，
又n⊂β，∴m∥β，又m⊂α，α∩β＝l，∴m∥l，∴l⊥γ．
证法3：在l上取一点P，过P作γ的垂线l′，
，又．
同理，所以，又，所以重合，又，所以．
【名师点睛】证法一、证法二都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”的这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线．这是证法一、证法二的关键．证法三是利用“如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内”这一性质，添加了l′这条辅助线，这是证法三的关键．通过此例，应仔细体会两平面垂直时，添加辅助线的方法．
【典例21】如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，、分别为、的中点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求证：平面.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.
【解析】
【分析】
（1）欲证，只需证明即可；
（2）先证平面，再证平面平面；
（3）取中点，连接，证明，则平面.
【详解】
（Ⅰ）∵，且为的中点，∴.
∵底面为矩形，∴，∴；
（Ⅱ）∵底面为矩形，∴.
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，又平面，∴.
又，，、平面，平面，
∵平面，∴平面平面；
（Ⅲ）如图，取中点，连接.
∵分别为和的中点，∴，且.
∵四边形为矩形，且为的中点，∴，
∴，且，∴四边形为平行四边形，
∴，又平面，平面，∴平面.
【点睛】
证明面面关系的核心是证明线面关系，证明线面关系的核心是证明线线关系.证明线线平行的方法：（1）线面平行的性质定理；（2）三角形中位线法；（3）平行四边形法. 证明线线垂直的常用方法：（1）等腰三角形三线合一；（2）勾股定理逆定理；（3）线面垂直的性质定理；（4）菱形对角线互相垂直.
考法08
垂直的综合应用
【典例22】如图，为圆的直径，点在圆周上（异于点，，直线垂直于圆所在的平面，点是线段的中点．有以下四个命题：
①平面；②平面；③平面；④平面平面．
其中正确的命题的序号是 ．
【答案为】①④．
【解析】①因为，平面，平面，所以平面；
②因为在平面内，所以①错误；③因为垂直于圆所在的平面，所以．
又，，所以平面．因为空间内过一点作已知平面的垂线有且只有一条，
所以平面不成立，③错误；④由③知平面，且平面，
所以平面平面．正确命题的序号是①④．
【名师点睛】本题需要①先证明，即可判定平面；②在平面内，可得①错误；③可证，平面．即可证明平面不成立；④由③知平面，即可证明平面平面．
【典例23】如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC中点，求证：平面DMN∥平面ABC.
证明：∵M、N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC，
AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，∴MN∥平面ABC，
∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC，四边形BDEC为直角梯形，
∵N为EC中点，EC＝2BD，∴NC=BD，∴四边形BCND为矩形，∴DN∥BC，又∵DN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DN∥平面ABC，又∵MN∩DN＝N，且MN、DN⊂平面DMN.∴平面DMN∥平面ABC.
【典例24】如图，已知三棱锥P－ABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB的中点，且是正三角形，PA⊥PC．
（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（2）求二面角D－AP－C的正弦值；
（3）若M为PB的中点，求三棱锥M－BCD的体积．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）.
【解析】（1）∵D是AB的中点，是正三角形，AB＝20，∴，∴AP⊥PB．
又AP⊥PC，PB∩PC＝P，∴AP⊥平面PBC．又BC⊂平面PBC，∴AP⊥BC．
又AC⊥BC，AP∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC．
又BC⊂平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC．
（2）∵PA⊥PC，且PA⊥PB，∴∠BPC是二面角D－AP－C的平面角．
由（1）知BC⊥平面PAC，则BC⊥PC，∴．
则二面角D－AP－C的正弦值为．
（3）∵为的中点，为的中点，∴，且，
由（1）知PA⊥平面PBC，∴DM⊥平面PBC．
∵，∴．
【名师点睛】本题的题设条件有三个：①是直角三角形，；②是正三角形；③D是AB的中点，PD＝DB＝10．解答本题（1），只需证线面垂直，进而由线面垂直证明面面垂直；对于（2），首先应找出二面角的平面角，然后求其正弦值；解答第（3）小题的关键是用等体积法求解．
考法09
易错提示：不能正确应用直线与平面垂直的判定定理、不能正确找出二面角的平面角、定理的条件不全导致判断不准确.
【典例25】如图，，点P在所确定的平面γ外，于点，于点． 求证：．
【错解】因为，，所以．所以，所以．
【错因分析】本题错解的原因在于没有正确使用线面垂直的判定定理，由 得，而忽略了“垂直于平面内两条相交直线”这一条件，即．
【正解】因为，所以．
又，所以平面．
因为， 所以．
【易错点睛】应用直线与平面垂直的判定定理时，要熟记定理的应用条件，不能忽略“两条相交直线”这一关键点．
【典例26】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，且，，求二面角的大小．
【错解】如图，过A在底面ABCD内作AE⊥CD于E，连接PE．
∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD．
又∵PA∩AE＝A，∴CD⊥平面PAE．又∵PE⊂平面PAE，∴CD⊥PE，∴∠PEA为二面角P－CD－B的平面角．（以下略）
【错因分析】点E的位置应首先由已知的数量关系确定，而不是盲目地按三垂线法直接作出．在找二面角的平面角时，一般按照先找后作的原则，避免盲目地按三垂线法作二面角的平面角．
【正解】∵， ∴∠ACD＝90°，即AC⊥CD．
又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD．
又∵PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC．
又∵PC⊂平面PAC，∴PC⊥CD，∴∠PCA是二面角P－CD－B的平面角．
∵在中，，∴∠PCA＝45°．
故二面角P－CD－B的大小为45°．
【典例27】已知两个平面垂直，下列命题：
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线．
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线．
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．
其中正确命题的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【错解】由面面垂直的性质可知，②④正确，故选B．
【错因分析】④中过一个平面内任意一点作交线的垂线，并没有说明这一垂线一定在平面内．
【正解】如图，在正方体中，对于①，，，与是异面直线，且夹角为60°，故①错误；②正确；
对于③，，但不垂直于平面，故③错误；
对于④，过平面内的点，作，因为平面，，
所以，但不垂直于平面，故④错误．
所以正确命题的个数是1．故选C．
【易错点睛】对于④，很容易认为是正确的，其实与面面垂直的性质定理是不同的，“两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直”与“两个平面垂直，则过一个平面内任意一点作交线的垂线，此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过点作的直线不一定在平面内．
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝（ ）
A．3B．4
C．5D．6
【答案】C
【解析】
【分析】先平移线段，再解三角形即可.
【详解】取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，
∴∠MPN或其补角即异面直线AC与BD所成的角，
∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，
∴MN＝5．
故选：C.
2. 设是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则（ ）
A．若，，，，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
【答案】B
【解析】
【分析】
对A：与相交、平行或；对B：由线面垂直的判定定理得；对C：；对D：与相交、平行或异面．
【详解】
解：由是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，知：
对A：若，，，，
则与相交、平行或，故A错误；
对B：若，，，
则由线面垂直的判定定理得，故B正确；
对C：若，，，则，故C错误；
对D：若，，，则与相交、平行或异面，故D错误．
故选：B．
3. 设为不重合的平面，为不重合的直线，则其中正确命题的序号为（ ）
①，则；②，则；③，，则；④，则
A．①③B．②③C．②④D．③④
【答案】D
【解析】
【分析】
对于①，与相交或平行；对于②，与相交、平行或；对于③，由线面垂直的性质和面面垂直的判定定理得；对于④，由面面垂直的性质和线面垂直的判定定理得．
【详解】
对于①，，，则与相交或平行，故①错误；
对于②，，，，则与相交、平行或，故②错误；
对于③，，，，则由线面垂直的性质和面面垂直的判定定理得，故③正确；
对于④，，，，则由面面垂直的性质和线面垂直的判定定理得，故④正确．
故选：D
4.在正方体中，与平面所成角的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平面ABCD，得到是与平面所成的角求解,
【详解】
如图所示：
因为平面ABCD，
所以AC为在平面上的射影，
所以是与平面所成的角
设棱长，则，
所以，
故选：C
5. 如图，是的斜边，平面，连接，，作于D，连接，则图中共有直角三角形（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
【答案】C
【解析】
【分析】
由线面垂直的性质定理得线线垂直，通过证明平面，得，这样可得直角三角形的总个数．
【详解】
平面，则与平面内所有直线都垂直，其中有三个直角三角形，
，中有两个直角三角形，
又，平面，所以平面，平面，所以，直角三角形中有三个直角三角形，
共8个直角三角形．
故选：C．
6. 已知矩形ABCD所在的平面（如图所示），图中互相垂直的平面有（ ）
A．1对B．2对
C．3对D．6对
【答案】D
【解析】
【分析】
根据面面垂直的判定定理判断．
【详解】
平面，则过的平面，平面，平面都与平面垂直，已有3对，
平面，平面，则，，，平面，因此平面，而平面，因此有平面平面，同理平面平面，
另外由于两两垂直，因此可证平面与平面垂直，
因此莁有6对垂直平面．
故选：D．
7. 如图，在直三棱柱中，底面三角形是等边三角形，且，，则二面角的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】B
【解析】
【分析】
首先取的中点，连接，，根据题意得到为二面角平面角，再计算其大小即可.
【详解】
取的中点，连接，，如图所示：
由题知： ，又因为为的中点，
所以，且
又因为，所以为二面角平面角.
因为，为锐角，所以.故选：B
8. 已知:平面α⊥平面β，α∩β=l，在l上取线段AB=4，AC，BD分别在平面α和平面β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC=3，BD=12，则CD的长度为（ ）
A．13B．C．12D．15
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据面面垂直的性质得到平面，从而得到，再利用勾股定理求解的长度即可.
【详解】
如图，连接AD.
因为平面平面，，，
所以平面， .
在中，，
在中，.
故选：A
9.以等腰直角三角形的斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：
①； ②是等边三角形；
③三棱锥是正三棱锥 ④平面平面．
其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据翻折后垂直关系得BD⊥平面ADC，即得BD⊥AC，再根据计算得△BAC是等边三角形，最后可确定选项.
【详解】由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；
AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，
所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；
易知DA＝DB＝DC，又由②知△BAC是等边三角形，故③正确；
取AD得中点E，连接BE，则由△BAC是等边三角形可知BE⊥AC，
若平面，则由面面垂直的性质可知已知BE⊥平面ADC，
又由①知BD⊥平面ADC，但过点B只有一条直线与平面ADC垂直，故④错．
所以正确的个数是3,
故选：C.
10. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．不确定
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可知平面，而，在线段上运动，则平面，从而得出点到直线的距离不变，求出的面积，再根据线面垂直的判定定理可证出平面，得出点到平面的距离为，最后利用棱锥的体积公式求出三棱锥的体积.
【详解】
解：由题可知，正方体的棱长为1，
则平面，又，在线段上运动，
平面，
点到直线的距离不变，
由正方体的性质可知平面，则，
而，，
故的面积为，
又由正方体可知，，，且，
平面，则平面，
设与交于点，则平面，
点到平面的距离为，
.
故选：A.
11. 中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒（cuán）尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近30°，若取，则下列结论正确的是（ ）
A．正四棱锥的底面边长为48m B．正四棱锥的高为4m
C．正四棱锥的体积为 D．正四棱锥的侧面积为
【答案】C
【解析】
【分析】在如图所示的正四棱锥中，设底面边长为，根据侧棱长和侧面与底面所成的二面角可求底边的边长，从而可求体高、侧面积以及体积，据此可判断各项的正误.
【详解】如图，在正四棱锥中，为正方形的中心，，
则为的中点，连接，则平面，，
则为侧面与底面所成的锐二面角，
设底面边长为．正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为，
这个角接近30°，取，∴，
则，，．
在中，，解得，故底面边长为，
正四棱锥的高为，侧面积为，
体积．故选：C．
12. 已知四边形是边长为4的正方形，分别是边的中点，垂直于正方形所在平面，且，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接，交于，交于，过作，垂足为，则问题转化为求的长度，根据两个直角三角形相似，对应边成比例可解得结果.
【解析】如图：连接，交于，交于，

因为分别是边的中点，所以，
因为平面，所以平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
因为平面，所以，又，，
所以平面，因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
过作，垂足为，则平面，则为点到平面的距离，
在直角三角形和直角三角形中，，所以，
所以，所以，
因为正方形的边长为4，所以，
，，
所以.
所以点到平面的距离为.
故选：D
【点睛】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了直线与平面垂直的判定，考查了平面与平面垂直的判定与性质，考查了直线与平面平行的判定，考查了求点到平面的距离，属于中档题.
题组B 能力提升练
1.（多选题） 如图，四棱锥底面为正方形，底面，则下列结论中正确的有（ ）
A．
B．平面
C．与平面所成的角是
D．与所成的角等于与所成的角
【答案】ABCD
【解析】
【分析】
分别由线面垂直的性质定理，线面平行的判定定理，直线与平面所成角和异面直线所成角的定义判断各选项．
【详解】
是正方形，则，又面，面，所以，
，平面，
所以平面，而平面，所以，A正确；
，平面，平面，所以平面，B正确；
底面，所以与平面所成的角是，C正确；
，与所成的角等于与所成的角，D正确，
故选：ABCD．
2. （多选题）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，AC与EF交于点G，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么在这个空间图形中必有（ ）
A．AG⊥所在平面 B．AH⊥所在平面
C．EF⊥所在平面 D．HG⊥所在平面
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据题意，分析折叠前与折叠后的位置关系，几何数量变与不变，可得三者互相垂直，根据线面垂直的判定定理，即可求解.
【详解】
如图所示，根据折叠前、后得到不变，
根据线面垂直的判定定理，可得平面，所以B正确；
过A只有一条直线与平面垂直，所以A不正确；
因为，由线面垂直的判定定理，可得平面，所以C正确；
因为与不垂直，所以与平面不垂直，所以D不正确.
故选：BC
3. （多选题）如图，在四面体中，点分别是棱的中点，截面是正方形，则下列结论正确的是（ ）
A．B．截面PQMN
C．D．异面直线与所成的角为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据线线、线面平行判定和性质逐一判断即可.
【详解】
解：因为截面是正方形 ，所以，
又平面，平面
所以平面
又平面,平面平面
所以
因为截面，截面，
所以截面，故B正确
同理可证
因为，所以，故A正确
又
所以异面直线与所成的角为，故D正确
和 不一定相等，故C错误
故选：ABD
4. （多选题）如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点．以下结论成立的是（ ）
A．BC⊥PC
B．OM⊥平面ABC
C．点B到平面PAC的距离等于线段BC的长
D．三棱锥M-PAC的体积等于三棱锥P-ABC体积的一半
【答案】ABCD
【解析】
【分析】
利用线面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAC，进而判定A；由OM∥PA，可得OM⊥平面ABC；由BC⊥平面PAC可判定C正确；由M到底面的距离是B到底面距离的一半，利用棱锥的体积公式可知D正确.
【详解】
因为PA⊥圆O所在的平面，BC⊂圆O所在的平面，所以PA⊥BC，而BC⊥AC，PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC，而PC⊂平面PAC，所以BC⊥PC，故A正确;
因为点M为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以OM∥PA，所以OM⊥平面ABC，故B正确;
因为BC⊥平面PAC，所以点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，故C正确;
三棱锥M-PAC和三棱锥P -ABC均可以平面PAC为底面，此时M到底面的距离是B到底面距离的一半，故三棱锥M-PAC的体积等于三棱锥P-ABC体积的一半，故D正确．
故选：ABCD.
5. （多选题）若正方形ABCD与正方形ADEF所在平面互相垂直，M为BE的中点，N为AD的中点﹐则下列结论正确的是（ ）
A．平面BCEB．平面ECD
C．D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
取中点．连接，证明，然后可证明平面，判断A，由线面平行的判定定理判断B，利用平行线的性质可判断CD．
【详解】
取中点．连接，如图，
由于M为BE的中点，N为AD的中点﹐因此都平行并且等于的，
所以与平行且相等，是平行四边形，，
由与平面内两相交直线都垂直得平面，平面，则，，所以，
，是中点，，，平面，
所以平面，所以平面，A正确，
由，平面，平面，得平面，B正确；
，，，所以，C正确；
与相交，D错误；
故选：ABC．
6.（多选题）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面 ，，截面与直线平行，与交于点 ，则下列判断正确的是（ ）
A．为的中点
B．与所成的角为
C．平面平面
D．点与点到平面的距离相等
【答案】ACD
【分析】根据线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理，结合线线角的求法，以及线段两端点到平面距离相等的条件，选出正确答案.
【解析】对于A项，连接交于点，连接，如图所示，
//面，面 ，且面面，// ，
又四边形是正方形，为的中点，
为的中点，故A正确；
对于B项，，为 与所成的角，
面，面 ，，
在中，，，故B错误；
对于C项，面，面 ，，
又，， 面
面，又平面 ，故C正确.
因为平面，且为线段的中点，
所以点与点到平面的距离相等，所以D正确；
故选：ACD.
【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，解题思路如下：
（1）根据线面平行的性质可以判断A项真假；
（2）利用异面直线所成角的定义找其平面角，求得大小，判断B项真假；
（3）利用面面垂直的判定定理得到平面平面，判断C项真假；
（4）根据当平面过线段中点时，线段两端点到平面的距离相等，判断D项真假.
7. 如图，已知底面是正方形的四棱锥，一条侧棱与底面垂直，它的长与底面边长相等，长度均为1，那么该棱锥中最长的棱长是______.
【答案】
【解析】
【分析】
如图，可得是最长的棱，连接，则利用勾股定理求出即可
【详解】
如图，平面，则是最长的棱，
连接，因为平面，平面，所以，
因为四边形为正方形，且边长为1，所以，
所以，
故答案为：
8. 如图，∠ACB=90°，平面ABC外有一点P，PC=4 cm，点P到角的两边AC，BC的距离都等于2 cm，则PC与平面ABC所成角的大小为___.
【答案】45°
【解析】
【分析】
过P作PO⊥平面ABC于点O，连接CO，由线面角的定义可得∠PCO为PC与平面ABC所成的角，解三角形可求得答案.
【详解】
解：过P作PO⊥平面ABC于点O，连接CO，则CO为∠ABC的平分线，且∠PCO为PC与平面ABC所成的角，设其为θ，
连接OF，则为直角三角形.
又PC=4，PF=2，∴CF=2，∴CO=2，在中，cs θ=，
∴θ=45°.
故答案为：45°.
9. 三棱锥中，，，，，则二面角的大小为______．
【答案】或
【解析】
【分析】
P在底面的射影是斜边的中点，设AB中点为D过D作DE垂直AC，垂足为E，则∠PED即为二面角P﹣AC﹣B的平面角，在直角三角形PED中求出此角即可．
【详解】
解：因为AB＝10，BC＝8，CA＝6 所以底面为直角三角形，
又因为PA＝PB＝PC，
所以P在底面的射影为直角三角形ABC的外心，且为AB中点．
设AB中点为D过D作DEAC，垂足为E，所以DE平行BC，且DEBC＝4，
因为平面，平面，所以,
又因为平面,
所以平面,又平面,
所以,
所以∠PED即为二面角P﹣AC﹣B的平面角．
因为PD为三角形PAB的中线，所以可算出PD＝4，
所以tan∠PED 所以∠PED＝60°，
即二面角P﹣AC﹣B的大小为60°.
故答案为：60°．
10. 在三棱锥中，平面平面ABC，，为等边三角形，若，则三棱锥外接球的体积为______．
【答案】
【解析】
【分析】
设的中点为，连接,三棱锥外接球的球心在直线上，解方程即得解.
【详解】
解：设的中点为，连接,
因为平面平面ABC，所以三棱锥外接球的球心在直线上，
设球的半径为,由题得, ,
所以,
在直角△中，.
所以三棱锥外接球的体积为.
故答案为：
11. 已知四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，，AB与平面ACD所成角的正切值为，则点B到平面ACD的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】
取CD的中点E，连接AE，过B作交AE于F，可证得为AB与平面ACD所成的角，点B到平面ACD的距离为,计算可求得结果.
【详解】
如图，取CD的中点E，连接AE，过B作交AE于F.
，E是CD的中点，
，.
又平面ABE，
平面ABE.又平面ACD，
平面平面ACD.
又平面平面，，
平面ACD，故为AB与平面ACD所成的角.
，故.
又，
故答案为：
12. 正四棱锥S-ABCD的侧棱长为，底面边长为，E为SA的中点，则异面直线BE和SC所成的角为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
连接AC、BD交于点O，连接SO，EO，可证，则角即为异面直线BE和SC所成的平面角，根据线面垂直的性质定理、判定定理，可证，在中，求得OB，OE，即可求得，即可得答案.
【详解】
连接AC、BD交于点O，连接SO，EO，
因为E、O分别为SA、AC的中点，
所以，
所以异面直线BE和SC所成的角即为BE和EO所成的角，即为，
因为正四棱锥S-ABCD，
所以平面ABCD，
又平面ABCD，
所以，
又，，平面
所以平面，
因为平面，
所以，即为直角三角形，
在中，，，
所以，
所以.
所以异面直线BE和SC所成的角为.
故答案为：
C 培优拔尖练
1. 如图，已知正方体.
（1）求与所成角的大小；
（2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：.
【答案】（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）根据正方体的性质，证出，由此得到就是与所成的角．然后在正三角形中加以计算，可得与所成角的大小；
（2）平行四边形中可得， 可证，又即可得证；
【详解】
解：（1）如图，连接，由几何体是正方体，知四边形为平行四边形，所以，
从而与所成的角为与所成的角，
由，可知.
故与所成的角为.
（2）如图，连接，易知四边形为平行四边形，所以，
因为为的中位线，
所以.
又，
所以，
所以.
【点睛】
本题在正方体中求异面直线所成角的大小，着重考查了正方体的性质、异面直线所成角的定义及求法等知识，属于中档题．
2. 在正方体中，求证：平面．
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
由线面垂直的判定定理证明线面垂直，从而得到线线垂直，再由线面垂直的判定定理即可得出结果.
【详解】
如图，连接，因为为平面内两相交直线，
所以平面，又平面，所以，
又，、BC平面内两相交直线，
所以平面，而平面，所以，
同理，因为，、平面，
所以平面.
3. 如图，三棱台DEF ­ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
(1)求证：平面ABED∥平面FGH；
(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】（1）在三棱台DEFABC中，BC＝2EF，H为BC的中点，BH∥EF，BH＝EF，
四边形BHFE为平行四边形，有BE∥HF.
BE∥平面FGH
在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，GH∥AB.
AB∥平面FGH
又AB∩BE＝B，所以平面ABED∥平面FGH.
(2)连接HE,EG
G，H分别为AC，BC的中点，GH∥AB. AB⊥BC，GH⊥BC.
又H为BC的中点，EF∥HC，EF＝HC，四边形EFCH是平行四边形，有CF∥HE.
CF⊥BC，HE⊥BC.
HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，BC⊥平面EGH.
BC⊂平面BCD，平面BCD⊥平面EGH.
4. 如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点．
(1)求证：平面；
(2)若，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】
（1）连接BD交AC于O，连接SO，易知SO⊥AC，再由正方形的性质及线面垂直的判定即可证结论.
（2）由已知可得，在应用棱锥的体积公式求体积即可.
【解析】
(1)连接BD交AC于O，连接SO，由题意，SO⊥AC．
在正方形ABCD中，有AC⊥BD，又，
∴AC⊥平面SBD，

(2)∵，
∴，则，
∴.
5. 如图，已知四棱锥中，平面为等边三角形，，是的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）取的中点，通过证明四边形是平行四边形证得，然后证明平面，从而证得平面.
（2）利用等体积法求得到平面的距离.
【解析】(1)取的中点，连接，则，且，
又因为，
所以且，
所以四边形是平行四边形，，
因为为等边三角形，为中点，
所以，
又平面，所以，
因为，所以平面，
由得平面.
(2)因为是的中点，
所以点到平面的距离是点到平面的距离的一半，
因为，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
因为，
所以，
，
所以到平面PAB的距离为.
6. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，已知，，.
(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）过点作，连接，即可得到，从而得到，即，再由，得到平面，即可得证；
（2）由利用等体积法求出点到平面的距离；
【解析】
(1)证明：如图，过点作，连接.
因为，，，所以，
所以，.
又因为，所以，
由勾股定理逆定理得，即.
因为，，平面，平面，所以平面.
又因为平面，所以平面平面.
(2)设点到平面的距离为.
由（1）可知，，.
在等腰中，，，
所以.由等体积法可得，，
所以，即，解得
故点到平面的距离为.
7. 如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点.
求证：（1）底面；
（2）平面；
（3）平面平面.
【答案】(1)证明见解析.
(2) 证明见解析.
(3) 证明见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据条件，利用平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．
（2）根据已知条件判断ABED为平行四边形，故有BE∥AD，再利用直线和平面平行的判定定理证得BE∥平面PAD．
（3）先证明ABED为矩形，可得BE⊥CD ①．现证CD⊥平面PAD，可得CD⊥PD，再由三角形中位线的性质可得EF∥PD，
从而证得 CD⊥EF ②．结合①②利用直线和平面垂直的判定定理证得CD⊥平面BEF，再由平面和平面垂直的判定定理
证得平面BEF⊥平面PCD．
解：（1）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．
（2）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD．
又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD内，故有BE∥平面PAD．
（3）平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD ①．
由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．
再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，
∴CD⊥EF ②．
而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．
由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．
8. 如图，在三棱锥中，，点为线段上的点.
(1)若平面，试确定点的位置，并说明理由；
(2)若，，，在（1）成立的前提下，求二面角的余弦值.
【答案】(1)点为MC的中点，理由见解析；
(2)
【分析】
（1）由线面垂直得到线线垂直，进而由三线合一得到点为MC的中点；（2）作出辅助线，找到二面角的平面角，利用勾股定理求出各边长，用余弦定理求出答案.
【解析】
(1)点为MC的中点，理由如下：
因为平面，平面，所以，，又，由三线合一得：点为MC的中点
(2)取AB的中点H，连接PH，CH，则由（1）知：，结合点为MC的中点，所以PA=PB，故由三线合一得：PH⊥AB，且CH⊥AB，所以∠CHP即为二面角的平面角，
因为，，，所以，，，由勾股定理得：，，，
在△PCH中，由余弦定理得：，
故二面角的余弦值为
9. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点.
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由.
【答案】（Ⅰ）见解析；
（Ⅱ）见解析；
（Ⅲ）见解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；
(Ⅱ)由几何体的空间结构特征首先证得线面垂直，然后利用面面垂直的判断定理可得面面垂直；
(Ⅲ)由题意，利用平行四边形的性质和线面平行的判定定理即可找到满足题意的点.
【详解】
（Ⅰ）证明：因为平面,所以；
因为底面是菱形，所以;
因为,平面,
所以平面.
（Ⅱ）证明：因为底面是菱形且，所以为正三角形，所以,
因为,所以；
因为平面，平面,
所以；
因为
所以平面，
平面,所以平面平面.
（Ⅲ）存在点为中点时，满足平面；理由如下:
分别取的中点，连接,
在三角形中，且；
在菱形中，为中点，所以且，所以且，即四边形为平行四边形，所以;
又平面，平面，所以平面.
【点睛】
本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
课程标准
课标解读
掌握空间直线与直线、直线与平面、平
面与平面垂直的判定方法，能用定义及定理判定空间的垂直关系.
理解与掌握二面角的定义及求二面角
的常用方法.
3.掌握直线与平面、平面与平面垂直的性质定理，并能应用性质定理解决与空间垂直关系相关联的问题.
通过本节课的学习，要求能应用空间垂直的判定方法判定空间的垂直关系，并能熟练掌握空间线线、线面、面面垂直关系的转化，并能应用空间垂直关系的性质定理解决空间垂直关系相关的证明、求值、求角等常见问题.
定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法
l⊥α
有关
概念
直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．
图示
画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
文字
语言
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
图形
语言
符号
语言
l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，⇒l⊥α
作用
判断直线与平面垂直
概念
平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面
图示
二
面
角
的
平
面
角
文字
在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角
图示
符号
OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角
范围
[0，π]
二
面
角
的
大
小
及
记
法
规定
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角
记法
棱为l，面分别为α，β的二面角记为．如图所示，也可在α，β内（棱以外的半平面部分）分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角．
文字语言
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
图形语言
符号语言
l⊥α，⇒α⊥β
作用
判断两平面垂直
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
⇒
图形语言
作用
（1）证明两直线平行；
（2）构造平行线
文字
语言
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
符号
语言
图形
语言
作用
证明直线与平面垂直