最新高考数学二轮复习（新高考）【专题突破精练】 第20讲 一类与平方结构的三角形问题和正切有关的最值问题

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1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
第20讲 一类与平方结构的三角形问题和正切有关的最值问题
【典型例题】
例1．（2022•洛阳二模）已知的三边分别为，，，若满足，则面积的最大值为
A．B．C．D．
【解析】解：由三角形面积公式可得：，
可得：，
，
，可得：，解得：，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
当时，取得最大值，的最大值为．
故选：．
例2．已知的内角，，的对边分别为，，，若，，则的最小值为
A．B．C．D．
【解析】解：，，
，
化为：，
，
，
．
化为：．
则．
令．
．
，可得时，函数取得最小值．
．
故选：．
例3．（2022•镇海区校级模拟）在锐角三角形中，，则的最小值是
A．3B．C．D．12
【解析】解：，
，
两边同时除以，得，
锐角，，，
，当且仅当，即时，等号成立，
而
，
，，，
，即，
，
．
故选：．
例4．（2022春•攀枝花期末）已知的内角、、的对边分别为、、，边上的高为，且，则的最大值是
A．B．C．4D．6
【解析】解：由余弦定理可得：，
故：，
而，
故，
所以：．
故选：．
例5．（2022•张掖模拟）在中，内角，，的对边长分别为，，，且，，则等于
A．3B．4C．6D．7
【解析】解：，即，
利用正弦定理化简得：，即，
整理得：，即，
代入已知等式得：，
解得：或（舍去），
则．
故选：．
例6．（2022春•南京期中）在斜三角形中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的最小值为
A．B．C．D．
【解析】解：由及正弦定理得，
所以，即，且，
又，
则，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值．
故选：．
例7．（2022春•仓山区校级期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积为，若，则的取值范围
A．，B．，C．D．
【解析】解：由，得，即，
是三角形内角，，，
由余弦定理得，，
，
由正弦定理得，，
即，
即，
即，
是锐角三角形，，即，
，，，
，
根据双勾函数的性质可知，
在时取最小值，
且，
的取值范围是．
故选：．
例8．（2022•道里区校级二模）在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积为，若，则的取值范围为
A．B．C．D．
【解析】解：在中，，，
，
，即，
由余弦定理可得，，
故，
由正弦定理可得，，化简整理可得，，
故或（舍去），
则，
为锐角三角形，
，解得，
故，
．
故选：．
例9．（2022•太原二模）已知，，分别是内角，，的对边，，，则周长的最小值为 ．
【解析】解：，
，
由正弦定理可得：，
，
可得：，
，
．
，可得：，
又由余弦定理可得：，可得，当且仅当时等号成立，
，可得：，当且仅当时等号成立，
周长的最小值为：．
故答案为：．
例10．（2022•秦淮区模拟）在锐角三角形中，已知，则的最小值为 ．
【解析】解：利用正弦定理把角化边，，
再由余弦定理可得：
，
，又，
，
，
即，
，
，
代入．
当且仅当即时（因为是锐角三角形成立）等号成立．
故的最小值为：．
故答案为：．
例11．（2022秋•如皋市月考）已知锐角的角，，所对的边分别，，，且．
（1）求角的值；
（2）求的最小值．
【解析】解：（1），
，即①，
由余弦定理可得，②，
为锐角三角形，
，
联立①②可得，，解得，
，
．
（2），
，
，
，为锐角，
，，
，当且仅当，即时，等号成立，
，
令，
则，解得或（舍去），
，
故的最小值为3．
例12．已知锐角中，，则的最小值．
【解析】解：，，
可得，①
由三角形为锐角三角形，则，，
在①式两侧同时除以可得，
又②，
则，
由，可得，
令，由，，为锐角可得，，，
由②式得，解得，
，
，
，
因此的最小值为12．
例13．（2022•临沂开学）在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）证明：；
（2）记的面积为，点是内一点，且，证明：．
【解析】解：（1）证明：由可得：，
即，即，
在三角形中可得：，
由余弦定理可得，所以，
即证得：；
（2）证明：设，，，，，的面积分别为，，，
在中，由余弦定理可得，所以，
所以，所以，
即，
同理可得在，中，，
即，，
所以，
而，所以，
即可证：．
【同步练习】
一．选择题
1．（2022春•铁东区校级期末）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，且的面积，则周长的最大值是
A．6B．C．D．
【解析】解：因为，且的面积，
则，即可得，
所以，解得，（负值舍去），可得，
所以由余弦定理可得，即，
又，当且仅当时等号成立，
所以，整理解得，即，当且仅当时等号成立，
所以周长的最大值是．
故选：．
2．（2022秋•河南期末）在中，角，，所对的边分别为，，，，，．若的平分线与交于点，则
A．B．C．D．3
【解析】解：因为，
所以，
因为，所以，
因为，，
所以，
由正弦定理，可得，解得，
因为的平分线与交于点，
所以，即，
所以由，可得，
在中，由余弦定理可得
．
故选：．
3．（2022春•钦南区校级月考）在中，，，是角，，的对边，若，则
A．3B．2C．1D．
【解析】解：在中，，，是角，，的对边，若，
，
，
由正弦定理和余弦定理得：
，
．
故选：．
4．（2022春•龙凤区校级期末）在中，，，分别是角，，的对边，若，则的值为
A．0B．1C．2021D．2022
【解析】解：由已知得，
即，
所以，
则．
故选：．
5．（2022春•黄骅市校级期中）在中，，，依次成等差数列，则的取值范围是
A．，，B．，，
C．D．，
【解析】解：由已知得（显然，若，因为且，，这与矛盾），
又，所以．
又，
因此，又，所以，，即的取值范围是，
故选：．
6．（2022•岳普湖县一模）已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为
A．B．C．D．
【解析】解：因为，
得，
由正弦定理得，
所以，
又因为，
所以，
所以，（当且仅当，即，取“” ．
所以的最小值为．
故选：．
二．填空题
7．（2022•太原二模）已知，，分别是的内角，，的对边，且，则周长的最小值为 ．
【解析】解：根据题意，中，，变形可得，
由正弦定理可得：，
即，
又由，则，，
又由，则，变形可得；
又由，则有，当且仅当时等号成立，
由余弦定理可得：，即，当且仅当时等号成立，
则有，周长的最小值为，当且仅当时等号成立，
故答案为：．
8．（2022•浙江三模）在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若已知，则的最小值是 ．
【解析】解：由题意由，
余弦定理可得：，
即．
那么．
即．
那么
，
那么
设，
可得：；
当且仅当时取“”，即．
故答案为：．
9．（2022•如东县校级模拟）在锐角三角形，是边上的中线，且，则的最小值为 ．
【解析】解：不妨设，边上的高为，则，，
从而，
所以，
（当且仅当，即时，取等）
故答案为：．
10．（2022秋•11月份月考）锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值是 ．
【解析】解：锐角三角形中，，
，当且仅当时“”成立；
，即，
；
，
时，取得最小值为．
故答案为：．
11．（2022春•常州期中）在中，内角，，所对应的边分别为，，，边上的高为，则的最大值为 4 ．
【解析】解：，．
，
，
的最大值是4．
故答案为：4．
12．（2022春•建邺区校级月考）已知锐角，且，则的最小值为 12 ．
【解析】解：在中，，
所以，
所以，
因为，
所以，
因为为锐角三角形，所以，，则，
令，则，
故当，即时，为最小值12．
故答案为：12．
13．（2022•无锡一模）在锐角三角形中，已知，则的最小值为 ．
【解析】解：，
由正弦定理得，
结合余弦定理，可得，
再由正弦定理得，
则，即．
．
．
当且仅当时取等号．
的最小值为．
故答案为：．
14．（2022春•徐汇区校级期中）在锐角三角形中，若，则的最小值是 16 ．
【解析】解：由已知得，，
，
两边同除，得，
，
设，则，
为锐角三角形，，
，
当且仅当，即时，等号成立，此时，
的最小值为16．
故答案为：16．
15．（2022•江苏模拟）在锐角三角形中，若，，依次成等差数列，则的值为 3 ．
【解析】解：由题意知：，，，且，，，依次成等差数列，
，
，
又，
，
即，
．
故答案为：3．
16．（2022•洛阳一模）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则 ．
【解析】解：中，内角，，的对边分别为，，，
由于，则，
则：，
整理得：，
故，
所以：，
则：（负值舍去）．
所以时，解得：．
故答案为：
17．（2022•江苏）在锐角三角形中，若，则的最小值是 8 ．
【解析】解：由，，
可得，①
由三角形为锐角三角形，则，，
在①式两侧同时除以可得，
又②，
则，
由可得，
令，由，，为锐角可得，，，
由②式得，解得，
，
，由得，，
因此当且仅当时，的最小值为8；
另解：由已知条件，十，
十，
两边同除以，十，
十，
十十，
十，
当且仅当时取等号，
令，
即，即，或（舍去），所以的最小值为8．
此时，
所以，，
解得，，，（或，互换），此时，，均为锐角．
18．（2022•芜湖模拟）已知的内角，，的对边分别为，，，若，则最小值是 3 ．
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
即
，
，
，
，
，
，当且仅当时取等号，
则最小值是3，
故答案为：3
19．（2022•凯里市校级模拟）已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为 ．
【解析】解：因为，
所以，
即，
又因为，
所以，
所以
，
（当且仅当，即，取“” ．
故答案为：．
三．解答题
20．（2022春•烟台期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足．
（1）若为锐角三角形，且，求的取值范围；
（2）若点在边上，且，，求面积的最大值．
【解析】解：（1）由题意的内角，，所对的边分别为，，，
，
由正弦定理可得，，即，
，，
为锐角三角形，，，
即，所以，，故，
的取值范围．
（2）的内角，，所对的边分别为，，，点在边上，且，，
，所以，
在中，，，，
在中，，，，
所以，
即，
又因为，所以，
即（当且仅当时取等号），
，（当且仅当时取等号），
所以面积的最大值．
21．（2022秋•湖南月考）在中，内角，，满足且．
（1）求证：；
（2）求的最小值．
【解析】（1）证明：因为且，
所以，
由正弦定理可得，
所以，
即，
因为，
故，
所以，
整理得；
（2）解：设，则，
由（1）得，
，
当且仅当时取等号，所求最小值为．
22．（2022秋•雁塔区校级期中）在锐角三角形中，若．求的最小值．
【解析】解：，
即为，
即，
由锐角三角形，上式两边同除以，
，
设，
则，．
原式
，
当且仅当时，上式取得等号，
可得所求最小值为16．
23．（2022春•崂山区校级期中）在锐角三角形中，．
（1）求证：；
（2）求的最小值．
【解析】证明：（1），，
即为，
即，
由锐角三角形，上式两边同除以，
，
由，，为锐角可得，，，
又．
得，解得，
解：（2）令，可得，
则，
由可得，
，
因此的最小值为8．