最新高考数学二轮复习（新高考）【专题突破精练】 第21讲 数列通项公式的求解策略

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1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
第21讲 数列通项公式的求解策略
【典型例题】
例1．已知数列的前项和为，，且，则下列说法中错误的是
A．B．
C．是等比数列D．是等比数列
例2．（2022秋•河南月考）将个数排成行列的一个数阵．如图：该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中．已知，，记这个数的和为．下列结论正确的是
A．B．
C．D．
例3．（2022春•盐城校级期中）设数列的各项均为正整数，其前项和为，我们称满足条件“对任意的，，均有”的数列为“数列”．现已知数列为“数列”，且，则 ．
例4．（2022秋•南阳期中）设数列的前项积为，且，则 ．
例5．数列满足，，则 ．
例6．已知数列满足，，则 ．
例7．（2022•安庆校级模拟）用、、三个字母组成一个长度为个字母的字符串，要求由开始，相邻两个字母不同．例如：时，排出的字符串是或；时，排出的字符串是、、、（如图）．若记这种个字符串中，最后一个字母仍是的字符串的个数为，可知，，，，，则数列的第项与第项 ， ．
例8．（2022•梅河口市校级模拟）设数列满足，，
例9．（1）设数列中，．．则通项 ；
（2）数列中，，，则它的一个通项公式为 ；
（3）在数列中．．前项和．则 的通项公式为 ．
例10．（2022秋•宝山区校级月考）已知数列和满足，，，，可证明数列与数列，一个是等差数列一个是等比数列，则数列的通项公式为 ．
例11．（2022秋•五华区校级月考）已知数列满足，则的最大值为 ．
例12．（2022•高邮市开学）已知数列满足，若，，则 ；若，，则 ．
例13．（2022•武穴市校级模拟）数轴上有一列点，，，，，，已知当时，点是把线段作等分的分点中最靠近的点，设线段，，，的长度分别为，，，，，其中．
（Ⅰ）写出的表达式；
（Ⅱ）证明；
（Ⅲ）设点，在这些点中是否存在两个点同时在函数的图象上，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
例14．已知数列满足：．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式．
例15．（2022•大纲版）函数，定义数列如下：，是过两点，，的直线与轴交点的横坐标．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求数列的通项公式．
【同步练习】
一．选择题
1．（2022春•米东区校级期中）数列，3，，10，的一个通项公式是
A．B．
C．D．
2．（2022春•合肥期末）对于正项数列，定义为的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为，则数列的通项公式为
A．B．C．D．
二．多选题
3．（2022秋•顺德区月考）已知数列的通项公式为，的通项公式为．将数列，的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，设的前项和为，则下列说法正确的是
A．B．C．D．
4．（2022秋•青岛期中）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，．设第层有个球，从上往下层球的总数为，记，则
A．B．
C．，D．的最大值为
5．已知数列满足，且．若，则下列说法正确的是
A．数列的通项公式为
B．数列是递增数列
C．
D．
三．填空题
6．已知数列的前项和为，，且，则 ．
7．（2022秋•广安区校级月考）已知数列满足，，且，则 ．
8．（2022秋•南京期中）数列中，，且，，则这个数列的 ．
9．（2022春•海曙区校级期中）已知数列中，，，且，则 ．
10．（2022秋•浦东新区期末）我们知道：．
已知数列中，，，则数列的通项公式 ．
11．在数列中，，则 ．
12．（2022秋•石家庄期末）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，，若按此规律继续下去，得数列，则 ；对， ．
13．（2022春•如皋市校级月考）已知数列满足，，则该数列的通项公式为 ．
14．（2022春•中山区校级期中）已知数列满足，且，，，设，则 ； ．
15．已知数列满足，，则数列的第2021项为 ．
16．（2022春•番禺区期末）已知数列，满足，，，则 ．
17．（2022秋•长春月考）已知数列的前项和为，满足，且，则 ， ．
18．（2022•南京模拟）已知数列满足，则最接近的整数为 ．
19．（2022秋•青山区校级月考）已知数列中，，，满足，则数列的通项公式 ．
四．解答题
20．求下列数列的通项公式．
（1）已知满足：，，求数列的一个通项公式（已知；
（2）已知数列满足，，求数列的一个通项公式．
21．（2022秋•船营区校级期中）已知数列的递推关系，求满足下列条件数列的通项．
（1），；
（2），．
22．（2022春•河北期末）已知等差数列的前项和为，且，是与的等比中项，
（1）求数列的通项公式；
（2）从①，②这两个条件中任选一个补充在下列问题中，并解答：
数列满足 ____，其前项和为，求．
23．（2022春•城关区校级期末）设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前项和，对任意的，都有恒成立，求的取值范围．
24．（2022•河北模拟）已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求的通项公式；
（2）已知，，设_____，求数列的通项公式．
在①，②，③这3个条件中，任选一个解答上述问题．
25．已知数列中，，，求．
26．（2022•南通一模）若数列同时满足：①对于任意的正整数，恒成立；②对于给定的正整数，对于任意的正整数恒成立，则称数列是“数列”．
（1）已知，判断数列是否为“（2）数列”，并说明理由；
（2）已知数列是“（3）数列”，且存在整数，使得，，，成等差数列，证明：是等差数列．
27．（2022秋•顺庆区校级月考）已知数列和满足，，，．
（1）求与；
（2）设数列的前项和为，求．
28．（2022•安徽开学）已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
29．（2022春•南阳期中）已知数列的前项和，满足，且．
（1）求、、；
（2）猜测的通项公式，并用数学归纳法证明．
30．（2022秋•下城区校级期末）已知数列满足．
（1）求，，；
（2）将数列中下标为奇数的项依次取出，构成新数列．
（ⅰ）证明：是等差数列；
（ⅱ）设数列的前项和为，求证：．