最新高考数学二轮复习（新高考）【专题突破精练】 第23讲 数列不等式的最值与范围问题

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1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
第23讲 数列不等式的最值与范围问题
【典型例题】
例1．设，为实数，首项为，且，公差为的等差数列的前项和为，满足，则的取值范围是 ．
例2．（2022秋•龙岩月考）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）记，试判断与2的大小并证明．
例3．（2022秋•沙坪坝区校级月考）记为的前项和，已知，是公差为2的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
例4．（2022•浙江）已知等差数列的首项，公差．记的前项和为．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若对于每个，存在实数，使，，成等比数列，求的取值范围．
例5．（2022秋•德化县校级月考）设，，，，是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数，圆都与圆相互外切，以表示的半径，以，表示的圆心，已知为递增数列．
（1）证明为等比数列（提示：，其中为直线的倾斜角）；
（2）设，求数列的前项和；
（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数恒有不等式成立，求实数的取值范围．
例6．（2022春•和县期末）已知各项均为正数的数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
若，为正整数，且，，成等比数列，求的最小值；
（3）证明：对任意的正整数，．
例7．（2022•宁波模拟）已知为实数，且，数列的前项和满足
（Ⅰ）求证：数列为等比数列，并求出公比；
（Ⅱ）若对任意正整数成立，求证：当取到最小整数时，对于，，都有．
例8．（2022秋•启东市校级月考）已知首项为的等比数列不是递减数列，其前项和为 ，且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若实数使得对任意恒成立，求的取值范围．
例9．（2022•天津）已知首项为的等比数列不是递减数列，其前项和为，且，，成等差数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的最大项的值与最小项的值．
例10．（2022秋•嘉兴期末）已知首项为的等比数列是递减数列，其前项和为，且，，成等差数列，数列满足，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：．
例11．（2022秋•普陀区校级月考）已知轴上的点、、，，满足．射线上的点、、，，满足，．
（1）证明：是等比数列；
（2）用表示点和点的坐标；
（3）求四边形的面积的取值范围．
例12．（2022春•松江区期末）数列中，，，数列满足．
（1）求数列中前四项；
（2）求证：数列是等差数列；
（3）若，试判断数列是否有最小值，若有最小项，求出最小项．
【同步练习】
一．选择题
1．（2022秋•龙岩期末）已知数列的通项公式为，前项和为，若实数满足对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
2．（2022秋•文登区期中）设正项数列的前项和满足，记表示不超过的最大整数，．若数列的前项和为，则使得成立的的最小值为
A．1179B．1180C．2022D．2023
3．（2022春•成都校级期末）已知等比数列的前项和为，正项数列的首项为，且前项和满足，设数列的前项和为，则满足的最小整数是
A．11B．12C．13D．14
二．多选题
4．（2022秋•天门期末）在等差数列中，，．记，2，，则数列
A．B．有最大项C．无最大项D．无最小项
三．填空题
5．（2022秋•西陵区校级月考）设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足，则的取值范围为 ．
6．（2022秋•湖北期末）如图，是一块半径为的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形，，，，，记第块纸板的面积为，则：
（1） ；
（2）如果，使得成立，那么的取值范围是 ．
四．解答题
7．（2022秋•五华区校级月考）记为数列的前项和，已知是首项为3，公差为1的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，．
8．（2022秋•思明区校级期中）等差数列的前项和是，满足条件是，的等差中项，且数列首项为1．
（1）求等差数列的公差；
（2）设，数列的前项和为，是否存在实数，使得对一切都成立？若存在，求出的取值范围，若不存在说明理由．
9．（2022春•开福区校级月考）已知数列的首项，且，其前项和中，、、成等差数列，
（1）求数列的通项公式
（2）设，数列的前项和为，求满足的最大正整数的值
10．（2022•静安区二模）已知数列满足，首项．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）数列满足，记数列的前项和为，是的内角，若对于任意恒成立，求角的取值范围．
11．（2022春•宿州期末）已知数列满足：且，数列的前项和满足：．
（1）证明数列为等差数列，并求数列和的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
12．（2022春•浔阳区校级期末）已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，证明．
13．（2022春•城关区校级期末）设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前项和，对任意的，都有恒成立，求的取值范围．
14．（2022•乙卷）设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前项和．证明：．
15．（2022秋•让胡路区校级期末）已知数列，，中，其中为等比数列，公比，且，，，．
（1）求与的通项公式；
（2）记，求证：．
16．（2022秋•广州期末）已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为．若对恒成立，求正整数的最大值．
17．（2022春•工农区校级期末）已知数列满足，且．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围．
18．已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）在第（2）问的条件下，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围．
19．（2022•浙江开学）已知数列满足：，，，且；等比数列满足：，，，且．
（1）求数列、的通项公式；
（2）设数列的前项和为，若不等式对任意都成立，求实数的取值范围．
20．（2022秋•玉州区校级月考）已知数列是等比数列，为数列的前项和，且，．
求数列的通项公式；
（2）设，且为递增数列，若，设为数列的前项和，求证：．
21．（2022•岳麓区校级模拟）已知数列的前项和为，，且．
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前项和为．
①求；
②若对任意恒成立，求实数的取值范围．
22．（2022秋•沙坪坝区校级月考）表示不超过的最大整数，正项数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：；
（3）已知数列的前项和为，求证：当时，有．
23．（2022春•遂宁期末）已知各项均为正数的数列的前项和为，，．
（1）求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）若表示不超过的最大整数，如，，求的值；
（3）设，，问是否存在正整数，使得对任意正整数均有恒成立？若存在求出的最大值；若不存在，请说明理由．
24．（2022秋•运城期中）已知数列是各项均为正数的等差数列．
（1）若，且，，成等比数列，求数列的通项公式；
（2）在（1）的条件下，数列的前项和为，设，若对任意的，不等式恒成立，求实数的最小值．
25．（2022春•武清区校级月考）已知是各项均为正数的等差数列，且公差为，，，对任意的，数列满足．
（1）设，，求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：．
26．（2022春•湖州期末）设为数列，2，3，的前项和，满足，且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，求使得成立的的最小值．
27．（2022春•资阳期末）已知等差数列的公差为，前项和为，且，；数列满足，．
（1）求；
（2）求证：数列为等比数列，并求；
（3）设，数列的前项和为，求证：．
28．（2022春•黄骅市校级月考）已知数列是公比为的等比数列，其前项和为，且是与的等比中项，数列是等差数列，其前项和满足为常数，且，其中．
（1）求数列的通项公式及的值；
（2）比较与的大小．
29．（2022•温州模拟）已知首项为的等差数列的前项和为，数列满足，．
（Ⅰ）求与；
（Ⅱ）设，记数列的前项和为，证明：当时，．
30．正项数列的前项和满足：
（1）求数列的通项公式；
（2）令，数列的前项和为，证明：对任意的，都有．