最新高考数学二轮复习（新高考）【专题突破精练】 第34讲 用空间向量法求角和距离

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第34讲 用空间向量法求角和距离
【典型例题】
例1．如图，在三棱锥中，平面平面，且，．
（1）求证：；
（2）求直线与所成角的余弦值．
【解析】（1）证明：过点作交的延长线于点，连接，
因为，所以，
又因为，，所以，
所以，即，，
因为，所以平面，
因为平面，所以．
（2）解：因为平面平面，平面平面，，
所以平面，
以为原点，的方向分别为，，轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，可得，
因为，
所以直线与所成角的余弦值为．
例2．如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设，分别为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点到平面的距离．
【解析】解：（1），，，，平面，平面，
平面平面，平面，平面，
所以为二面角的平面角，
则，平面，平面，则．
又，，
则是等边三角形，则，
又因为，平面，平面，
所以平面．
（2）由于平面，建立如图所示的空间直角坐标系；
于是，，，，，0，，，0，，，，
则，，，
设平面的法向量，
则，令，则，，
则平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则．
故直线与平面所成角为．
（3）由（2）知，，，，，0，，，0，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
所以，
故点到平面的距离．
例3．如图，是三棱锥的高，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
【解析】解：（1）证明：连接，，依题意，平面，
又平面，平面，则，，
，
又，，则，
，
延长交于点，又，则在中，为中点，连接，
在中，，分别为，的中点，则，
平面，平面，
平面；
（2）过点作，以，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由于，，由（1）知，
又，则，
，
又，即，12，，
设平面的一个法向量为，又，
则，则可取，
设平面的一个法向量为，又，
则，则可取，
设锐二面角的平面角为，则，
，即二面角正弦值为．
例4．如图，三棱锥中，点，分别是，的中点，点是的重心．
（1）证明：平面；
（2）若平面平面，，，，，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
【解析】解：（1）证明：延长交于点，点为的中点，
，分别是棱，的中点，
是的中位线，，
又不在平面内，在平面内，
平面，
同理可证平面，
又，在平面内，在平面内，
平面平面，
在平面内，
平面；
（2）连接，因为，是的中点，所以，
又平面平面，平面平面，在平面内，
平面，
以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，以与垂直的方向为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，
设平面的一个法向量为，则，则可取，
设平面的一个法向量为，则，则可取，
设平面与平面所成的锐二面角的大小为，则，
平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．
例5．如图1，有一个边长为4的正六边形，将四边形沿着翻折到四边形的位置，连接，，形成的多面体如图2所示．
（1）证明：；
（2）设二面角的大小为，是线段上的一个动点与，不重合），四棱锥与四棱锥的体积之和为，试写出关于的函数表达式，并探究为何值时，有最大值，求出最大值．
【解析】（1）证明：如图，连接交于，则为的中点，
，，即，，
，，平面，
平面，
又平面，
，
，，
四边形是平行四边形，
，即，
．
（2）解：如图1，连接交于，则为的中点，
由正六边形的性质，可知，，
，，即，，
，，平面，
平面，
就是二面角的平面角，即，
过作，垂足为点，过作，垂足为点，如图3，
平面，，平面，
，，
，，，平面，，平面，
平面，平面，
，
，
在中，，，，，如图4，
，
，，
，
，
，
当时，，，取得最大值24．
例6．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且．
（1）证明：底面；
（2）若，求二面角的余弦值的取值范围．
【解析】（1）证明：如图，连接，．
因为四边形为菱形，，
所以为等边三角形，则．
因为，，所以．
因为，所以平面，
又平面，所以，．
又，所以底面．
（2）解：设，以点为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，，，1，，，，．
设平面的法向量为，则
即令，则．
设平面的法向量为，则
即令，则．
，，
令，则，．
因为，所以，．
由图可知二面角为钝角，
故二面角的余弦值的取值范围为．
例7．如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，，平面平面，平面平面．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．
【解析】解：（1）证明：过作，交于，
平面平面，且平面平面，
平面，
，
，，，
，则，
又，则平面，
，
（2）解：因为底面为平行四边形，
所以，又因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面平面，
所以，
由（1）知平面，所以平面，
又因为，平面，所以且，
所以二面角的平面角为，
在中，，
由余弦定理得，，
所以二面角的余弦值为．
例8．如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点，点在直线上．
（1）证明：；
（2）当平面与平面所成的锐二面角为时，求平面与侧面的交线长．
【解析】解：（1）证明：由题意，，两两垂直．
所以以分别作为，，轴正方向建立空间直角坐标系，如图，
则，0，，，0，，，1，，，0，，，0，，，1，．
是的中点，是的中点，，
设，，0，，则，
则，所以．
（2）设，则，
设平面的一个法向量为，
则，即
令，则，
又平面的一个法向量为，
平面与平面所成的锐二面角为时，
，即，
解得，此时，如图位置，设为的中点，连接，交于点，
由且，
所以△，则为中点．
连接，由，分别为，中点，可知，
又，分别为，中点，则，所以，
所以点，，，共面，又，
所以，，，，共面，即面与面重合．
所以平面与侧面的交线为，
所以交线长度为．
【同步练习】
一．选择题
1．如图，在三棱锥中，，，，，分别为棱，，的中点，记直线与平面所成角为，则的取值范围是
A．B．，C．，D．，
【解析】解：因为，，又因为为公共边，所以，
所以，
又因为的中点，所以，，设，则，
设如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，
由已知得各点坐标如下：
，，，，0，，，1，，，0，，
，，
所以，
平面的法向量为，1，，
因为直线与平面所成角为，
，
因为，于是，所以，
所以，．
故选：．
2．如图，四面体中，，，两两垂直，，点是的中点，若直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为
A．B．C．D．
【解析】解：如图，四面体中，，，两两垂直，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，点是的中点，
设，则，0，，，0，，，0，，，2，，
，0，，，0，，，2，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，1，，
直线与平面所成角的正切值为，
直线与平面所成角的正弦值为，
，解得，，舍），
平面的法向量，1，，，0，，
点到平面的距离为：
．
故选：．
3．如图，在正四面体中，，，，记平面与平面、平面、平面所成的锐二面角分别为、、，则
A．B．C．D．
【解析】解：因为，，，
所以，分别为，的中点，为上靠近的三等分点，
取的中点，连结，
过作平面，交于点，
在平面中过作，交于，
设正四面体的棱长为2，
则，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，
，
所以，
，
设平面的一个法向量为，
则，即，
不妨令，则，
同理可计算出平面，平面，平面的法向量分别为，
则可得，
，
，
所以，
又在上单调递减，
所以．
故选：．
二．填空题
4．如图，三棱台中，平面平面，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
【解析】解：以为原点，为轴，为轴，过点作平面的垂线为轴，
建立空间直角坐标系，
则，0，，，，，，0，，，，，
，，
设异面直线与所成角为，
则，
异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为：．
三．解答题
5．如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设，分别为，的中点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】证明：由于，，
平面平面，平面，平面，
所以为二面角的平面角，
则，平面，则．
又，
则是等边三角形，则，
因为，，，平面，平面，
所以平面，因为平面，所以，
又因为，平面，平面，
所以平面，因为平面，故；
解：（Ⅱ）由于平面，如图建系：
于是，则，
，
设平面的法向量，，，
则，，令，则，，
平面的法向量，
设与平面所成角为，
则．
6．在四棱锥中，底面，，，，．
（1）证明：；
（2）求与平面所成的角的正弦值．
【解析】解：（1）证明：底面，面，
，
取中点，连接，
，，
，又，
，，
为直角三角形，且为斜边，
，
又，面，面，
面，
又面，
；
（2）由（1）知，，，两两互相垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，
，
则，
，
设平面的一个法向量为，则，则可取，
设与平面所成的角为，则，
与平面所成的角的正弦值为．
7．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为中点，且．
（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
【解析】解：（1）连结，因为底面，且平面，
则，又，，，平面，
所以平面，又平面，则，
所以，又，
则有，所以，
则，所以，解得；
（2）因为，，两两垂直，故以点位坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则，，0，，
所以，，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，，故，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，故，
所以，
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的正弦值为．
8．如图，四面体中，，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）设，，，点在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的大小．
【解析】证明：（1）因为，为的中点，所以，
在和中，，，
所以，所以，又为的中点，
所以，又，平面，，
所以平面；
解：（2）连接，由（1）知，平面，平面，
所以，则，
当时最小，即的面积最小，
因为，则，，
由且，所以是等边三角形，
由且，为的中点，
所以，在等腰直角中，则，
故，又且，
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，
设面的一个法向量为，则，取，则，
又，所以，
所以，
设与平面所成的角的正弦值为，
所以，
所以与平面所成的角的正弦值为．
9．如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，、、分别为、、的中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求点到平面的距离．
【解析】解：（Ⅰ）由题意，可知，，两两垂直，于是可如图建立空间直角坐标系，从而可得以下各点的坐标：，0，，，0，，，2，，，0，，，0，，，1，，，2，，
．．即．
又知，平面．
（Ⅱ）设平面的法向量为，
由．得即，
令，得平面的法向量，
点到平面的距离．
10．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面底面，且，，分别为棱，的中点．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求与平面的所成角的余弦值．
【解析】（1）证明：由题意可得：侧面底面，
取中点，
因为，
则交线，
所以底面，
如图，以，所在直线分别为轴和轴建立空间直角坐标系，
则，，，，1，，，1，，，，，，0，，，，，，
设异面直线与所成角为，
则．
所以异面直线与所成角的余弦值为；
（2）解：因为．
设平面的一个法向量为，，，
由，得，
取，得，．
所以，，，，
设直线与平面所成的角为，
，
．
与平面的所成角的余弦值为．
11．如图，四面体中，，，，为的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）设，，点在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
【解析】（1）证明：，为的中点．，
又，，，，
，又为的中点．，又，平面，平面，
平面，又平面，平面平面；
（2）解：连接，由（1）知，，
故最小时，的面积最小，时，的面积最小，
又平面，平面，，又，平面，平面，
平面，又平面，平面平面，
过作于点，则平面，
故，即为直线与平面所成的角，
由，，知是2为边长的等边三角形，
故，由已知可得，，又，，
，所以，
，，
在中，由余弦定理得，
．
故与平面所成的角的正弦值为．
12．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点且，．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的大小．
【解析】证明：（1）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，
平面底面，为的中点，是棱上的点且，
，
，，
平面平面，平面，
平面，平面平面．
解：（2）以为原点，为轴，为轴，
为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，2，，，0，，，2，，，，，
，2，，，，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，0，，
平面的法向量，0，，
设二面角的大小为，
则，
，二面角的大小为．
13．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）若满足，求异面直线与所成角的余弦值；
（3）若二面角大小为，求的长．
【解析】（1）证明：，，为的中点，
四边形为平行四边形，
．（1分）
，即．
又平面平面且平面平面，（2分）
平面．（3分）
平面，
平面平面．（4分）
（2）解：，为的中点，
．
平面平面，且平面平面，
平面．（5分）
如图，以为原点建立空间直角坐标系．则，0，，，0，，，，
由，且，得
，
（6分）
设异面直线与所成角为，则（9分）
异面直线与所成角的余弦值为（10分），
（3）解：由（2）知平面的法向量为（11分）
由且，得，，
，又，
平面法向量为．（13分）
二面角为，，
．（15分）
14．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）若平面，求的值；
（3）若，求二面角的大小．
【解析】（1）证明：且，四边形是平行四边形，，
，，
平面底面，平面底面，平面，
平面，平面平面．
（2）解：设，平面，，．
（3）解：连接，作于点，作于点，连接，
，，，
，平面底面，平面底面，平面，平面，
，，二面角的平面角为，
，，
，，
，，
二面角的大小为．
15．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，，分别为，的中点，，．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】（1）证明：在平行四边形中，由已知可得，，
，，
由余弦定理可得，，
则，即，
又，，平面，
而平面，．
（2）解：由（1）知，平面，
又平面，平面平面，
且平面平面，
，且平面，平面，
连接，则，
在中，，，，
可得，
又，在中，求得，
取中点，连接，则，可得、、两两互相垂直，
以为坐标原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，
则，2，，，0，，，，，
又为的中点，，，，
，，，，0，，，，，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，则，，，
设直线与平面所成角为，
则，．
故直线与平面所成角的正弦值为．
16．如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
【解析】（1）证明：如图所示，取的中点连接，．
是等边三角形，，
与中，，，
，，
是直角三角形，是斜边，，
，，，，
又，平面．
又平面，平面平面．
（2）解：由题知，点是的三等分点，建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨取，则，0，，，0，，，0，，，0，，，，，，，．
，0，，，，，，0，，
设平面的法向量为，，，
则，取，得，，．
同理可得：平面的法向量为，1，．
，
二面角的余弦值为．
17．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为，的中点，为棱上的点，．
（1）求证：；
（2）若为棱的中点，求点到平面的距离；
（3）当为何值时，平面与平面所成二面角（锐角）最小？
【解析】解：（1）证明：在直三棱柱中，，平面，
平面，
，
，，平面，平面，
平面，
平面，
，
；
（2）由（1）得建立以为原点，以、、所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：，，分别为，的中点，
则，0，，，1，，，2，，，0，，
则，0，，，1，，，2，，
设平面的一个法向量为，，，
则，即，取，则，，
平面的一个法向量为，2，，
，，
点到平面的距离为，，
故点到平面的距离为；
（3）设，，，则，0，，
，，，，1，，
设平面的一个法向量为，，，
则，即，取，则，，
平面的一个法向量为，，，
由（1）得平面，则平面的一个法向量为，0，，
设平面与平面所成二面角为（锐角），
则，，
令，
要使平面与平面所成二面角（锐角）最小，则最大，即取得最小值，
当时，最大，最小，
故当时，平面与平面所成二面角（锐角）最小．
18．如图，已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，在底面上的射影落在正方形内，的长为3，到，的距离分别为2和1，是的中点．
（Ⅰ）求证：平面底面；
（Ⅱ）设是棱上的一点，若，求平面与底面所成的锐二面角余弦值的大小．
【解析】解：（Ⅰ）是顶点在底面上的射影，
底面，
又平面，
平面底面（3分）
（Ⅱ）如图，以0为原点，以垂直的直线为轴，垂直的直线为轴，
所在的直线为轴建立空间直角坐标系．
由正方形边长为4，且0到、的距离分别为2、1，
得，，，，3，，，3，，
，0，，，，
，可得，，，
，，，，，
，0，是平面的一个法向量，
设，，是平面的一个法向量，
由，取得，
，3，，
可得，
因此，平面与底面所成的锐二面角的余弦值的大小为（8分）
19．如图，在四棱锥中，已知四边形是边长为的正方形，点是的中点，点在底面上的射影为点，点在棱上，且四棱锥的体积为．
（1）若点是的中点，求证：平面平面；
（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】（1）证明：依题意，平面，
又是边长为的正方形，且四棱锥的体积为，
所以，
所以，，
又，点是的中点，
所以，
同理，，
又，所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2）解：连接，易得，，互相垂直，
分别以为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，1，，，0，，，0，，
因为为棱上一点，设，
所，
设平面的法向量，
则由得令，则，
所以，
又平面的法向量为，
所以，解得，
所以，
又，所以．
直线与平面所成角的正弦值为．．
20．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，且侧面为等边三角形．为线段的中点．
（1）求证：直线；
（2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】解：（1）证明：连接，，如图所示：
三角形为正三角形，，
又四边形为菱形，且，
是等边三角形，
，
又，，平面，
平面，
又平面，；
（2）平面平面，，
平面，
直线，，两两垂直，则建立以为原点，以，，所在直线分别为，，轴的空间直角坐标系，如图所示：
菱形边长为2，
，，
设平面的法向量为，
则，取，
平面的法向量为，
是线段上的点，
存在实数，使得，，
设直线与平面所成的角为，
则，解得或，
线段上存在点满足题意，且为线段的两个三等分点．
21．如图，在直三棱柱中，侧棱长为3，是边长为2的正三角形，，分别是，的中点．
（1）求证：面面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
【解析】解：（1）证明：连接、、、，如图所示：
在三棱柱中，底面，平面，
，
又为等边三角形，为的中点，．
，且平面，平面，
平面，
又平面，
平面平面；
（2）取中点，连结，
，分别为，的中点，，
平面平面，且平面平面，平面，
平面，
则建立以为原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，如图所示：
则，0，，，3，，，，，
设平面的法向量为，
则，取，则，，
平面的法向量为，
又平面的法向量，
，
故平面与平面的夹角的余弦值是．
22．在图1中，四边形为梯形，，，，，过点作，交于．现沿将折起，使得，得到如图2所示的四棱锥，在图2中解答下列两问：
（1）求四棱锥的体积；
（2）若在侧棱上，，求证：二面角为直二面角．
【解析】解：（1）在图1中，，
，
又，
，
又，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为菱形．
在图2中，连接，则，
又，平面，平面，，
平面，
平面，
，
，，平面，平面，
平面，则．
（2）证明：在图2中，以为原点，以所在的直线为轴建立如图所示的直角坐标系，
则，，2，，，，
，
设面的一个法向量为，
由，则可取，
设面的一个法向量为，
由，
令，则，取，
所以，
，从而二面角为直二面角．
23．如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，．
（1）求证：；
（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值．
【解析】（1）证明：取的中点，连接、，如图所示：
中，，所以，
又因为，，
所以，所以，所以，
又因为，所以平面，
又因为平面，所以，即．
（2）解：因为，，所以，
所以，所以，
又因为，所以，
过点作于点，中，，，
所以，
所以，
，，
即平面与平面的夹角余弦值为．
24．如图，在四棱锥中，，，侧面底面，底面为矩形，为上的动点（与，两点不重合）．
（1）判断平面与平面是否互相垂直？如果垂直，请证明：如果不垂直，请说明理由；
（2）若，试求二面角的余弦值的绝对值的取值范围．
【解析】解：（1）平面平面，证明如下：
平面平面，平面平面，，平面，
平面，又平面，
，又，，
平面，又平面，
平面平面；
（2）分别取，中点，，连接，，
又，为中点，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又，平面，
平面，
则以为坐标原点，正方向为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，，
，0，，，0，，，2，，
设，，，则，，，
设平面的法向量，
则，取，
设平面的法向量，
则，取，
，
，，
，
，，，
即，
所求取值范围为．
25．如图，在平行四边形中，，，为的中点，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且，，分别为，的中点．
（1）证明：平面；
（2）若平面与平面的交线为，求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】（1）证明：连接，交于点，连接，则为的中点，
因为为的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面．
（2）解：因为，平面，平面，
所以平面，
又平面平面，平面，
所以，
故直线与平面所成角可转化为直线与平面所成角，
取的中点，
因为平行四边形，且，所以，
因为，所以，
以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，，，，3，，
所以，，，，4，，
设，，，
因为，所以，解得，即，，，
所以，，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令，则，，所以，0，，
设直线与平面所成角为，则，，
所以直线与平面所成角的正弦值为，
故直线与平面所成角的正弦值为．
26．如图，在直三棱柱中，，，分别为线段，及的中点，为线段上的动点，，，，三棱柱的体积为240．
（1）求点到平面的距离；
（2）试确定动点的位置，使直线与平面所成角的正弦值最大．
【解析】解：（1）因为，为的中点，且，，
所以为直角三角形，
所以，
又三棱柱的体积为240，
所以，即，
设点到平面的距离为，
因为，所以，即，
所以．
（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，8，，，8，，，0，，
所以，8，，，，，，0，，
设，，，，，，
所以，，，8，，即，，，所以，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，，，则，即，
令，则，，所以，3，，
设直线与平面所成角为，
则，
，
所以当时，取得最大值，此时点为线段的中点．