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最新高考数学二轮复习讲义【讲通练透】 专题28 空间几何体的结构特征、表面积与体积
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这是一份最新高考数学二轮复习讲义【讲通练透】 专题28 空间几何体的结构特征、表面积与体积，文件包含专题28空间几何体的结构特征表面积与体积教师版docx、专题28空间几何体的结构特征表面积与体积学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共70页， 欢迎下载使用。
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
专题28空间几何体的结构特征、表面积与体积
【考点预测】
知识点一：构成空间几何体的基本元素—点、线、面
（1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体．
（2）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）．
知识点二：简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台
1．棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．
（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；
（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；
（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；
（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；
（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；
（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；
（7）正方体：棱长都相等的长方体．
2．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．
（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；
（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．
3．棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示．
知识点三：简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球1．圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．
2．圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．
3．圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．
4．球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．
知识点四：组合体
由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体．
知识点五：表面积与体积计算公式
表面积公式
体积公式
表面积
柱体
为直截面周长
锥体
台体
球
体积
柱体
知识点六：空间几何体的直观图
1．斜二测画法
斜二测画法的主要步骤如下：
（1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的，，建立直角坐标系．
（2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于，，使（或），它们确定的平面表示水平平面．
（3）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”．
（4）擦去辅助线．图画好后，要擦去轴、轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线．
注：直观图和平面图形的面积比为．
2．平行投影与中心投影
平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点．
【题型归纳目录】
题型一：空间几何体的结构特征
题型二：空间几何体的表面积与体积
题型三：直观图
题型四：最短路径问题锥体
台体
球
【典例例题】
题型一：空间几何体的结构特征
例1．（2022·全国·模拟预测）以下结论中错误的是（ ）
A．经过不共面的四点的球有且仅有一个B．平行六面体的每个面都是平行四边形
C．正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直D．棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直
例2．（2022·全国·高三专题练习（文））下列说法正确的是（ ）
A．经过三点确定一个平面B．各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥
C．各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱D．一个三棱锥的四个面可以都为直角三角形
例3．（2022·海南·模拟预测）“三棱锥是正三棱锥”的一个必要不充分条件是（ ）
A．三棱锥是正四面体B．三棱锥不是正四面体
C．有一个面是正三角形D．是正三角形且
例4．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题:
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;
②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;
③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;
④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
例5．（2022·山东省东明县第一中学高三阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
B．过空间内不同的三点，有且只有一个平面
C．棱锥的所有侧面都是三角形
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
例6．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.
其中正确命题的个数是（ ）
A．B．C．D．
例7．（2022·全国·高三专题练习）莱昂哈德·欧拉，瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，他的研究论著几乎涉及到所有数学分支，有许多公式､定理､解法､函数､方程､常数等是以欧拉名字命名的.欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V､棱数E､面数F之间总满足数量关系，此式称为欧拉公式，已知某凸32面体，12个面是五边形，20个面是六边形，则该32面体的棱数为___________；顶点的个数为___________.
例8．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））如图，正方体上、下底面中心分别为，，将正方体绕直线旋转，下列四个选项中为线段旋转所得图形是（ ）
A．B．
C．D．
例9．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）（多选）
A．①是棱台B．②是圆台C．③是棱锥D．④是棱柱
例10．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（理））碳60（）是一种非金属单质，它是由60个碳原子构成的分子，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2．则其六元环的个数为__________.
【方法技巧与总结】
熟悉几何体的基本概念.
题型二：空间几何体的表面积与体积
例11．（多选题）（2022·湖北·高三阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（ ）
A．高为B．体积为
C．表面积为D．上底面积､下底面积和侧面积之比为
例12．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设一圆锥的侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥的高与母线长的比值为（ ）A．B．C．D．
例13．（2022·云南·二模（文））已知长方体的表面积为62，所有棱长之和为40，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
例14．（2022·福建省福州第一中学三模）已知，分别是圆柱上､下底面圆的直径，且，.，O分别为上､下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥的体积为18，则该圆柱的侧面积为（ ）
A．9B．12C．16D．18
例15．（2022·河南·模拟预测（文））在正四棱锥中，，若正四棱锥的体积是8，则该四棱锥的侧面积是（ ）
A．B．C．4D．
例16．（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和，则方亭的体积为（ ）
A．B．C．D．
例17．（2022·湖南·高三阶段练习）如图，一种棱台形状的无盖容器（无上底面）模型其上、下底面均为正方形，面积分别为，，且，若该容器模型的体积为，则该容器模型的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
例18．（2022·海南海口·二模）如图是一个圆台的侧面展开图，其面积为，两个圆弧所在的圆半径分别为2和4，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
例19．（2022·全国·高三专题练习）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
例20．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB，CD分别为上、下底面圆的直径，，则四面体ABCD的体积为（ ）
A．B．C．1D．
例21．（2022·山东·烟台市教育科学研究院二模）鲁班锁是我国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中的榫卯结构，其内部的凹凸部分啮合十分精巧．图1是一种鲁班锁玩具，图2是其直观图．它的表面由八个正三角形和六个正八边形构成，其中每条棱长均为．若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），则此正方体表面积的最小值为________．
例22．（2022·湖北省天门中学模拟预测）已知一个圆柱的体积为，底面直径与母线长相等，圆柱内有一个三棱柱，与圆柱等高，底面是顶点在圆周上的正三角形，则三棱柱的侧面积为__________.
例23．（2022·上海闵行·二模）已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的4倍，则它的侧面积扩大为原来的___________倍.
例24．（2022·浙江绍兴·模拟预测）有书记载等角半正多面体是以边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图，将正四面体沿相交于同一个顶点的三条梭上的个点截去一个正三棱锥，如此共截去个正三棱锥，若得到的几何体是一个由正三角形与正六边形围成的等角半正多面体，且正六边形的面积为，则原正四面体的表面积为_________．
例25．（2022·上海徐汇·三模）设圆锥底面圆周上两点、间的距离为，圆锥顶点到直线的距离为，和圆锥的轴的距离为，则该圆锥的侧面积为___________.
例26．（2022·全国·高三专题练习）中国古代的“牟合方盖”可以看作是两个圆柱垂直相交的公共部分，计算其体积所用的“幂势即同，则积不容异”是中国古代数学的研究成果，根据此原理，取牟合方盖的一半，其体积等于与其同底等高的正四棱柱中，去掉一个同底等高的正四棱锥之后剩余部分的体积（如图1所示）．现将三个直径为4的圆柱放于同一水平面上，三个圆柱的轴所在的直线两两成角都相等，三个圆柱的公共部分为如图2所示的几何体，该几何体中间截面三角形边长为 ，则该几何体的体积为___________．
【方法技巧与总结】
熟悉几何体的表面积、体积的基本公式，注意直角等特殊角.
题型三：直观图
例27．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知用斜二测画法画出的的直观图是边长为的正三角形，原的面积为 __．
例28．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）如图，梯形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
例29．（2022·全国·高三专题练习）如图，△ABC是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（ ）
A．△ABC是钝角三角形B．△ABC是等边三角形
C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形
例30．（2022·全国·高三专题练习）如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的周长为（ ）
A．20B．12C．D．
例31．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，已知等腰直角三角形，是一个平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（ ）
A．B．C．D．
例32．（2022·全国·高三专题练习）一个三角形的水平直观图在是等腰三角形，底角为，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点到轴距离是（ ）
A．1B．2C．D．
【方法技巧与总结】
斜二测法下的直观图与原图面积之间存在固定的比值关系：．
题型四：最短路径问题
例33．（多选题）（2022·广东广州·三模）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（ ）
A．该圆台的高为
B．该圆台轴截面面积为
C．该圆台的体积为
D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为
例34．（2022·河南洛阳·三模（理））在棱长为1的正方体中，点为上的动点，则的最小值为___________.
例35．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（文））如图，在直三棱柱中，，点E是侧棱上的一个动点，则下列判断正确的有___________.（填序号）
①直三棱柱外接球的体积为
②存在点E，使得为钝角
③截面周长的最小值为
例36．（2022·河南·二模（理））在正方体中，，是线段上的一动点，则的最小值为________.
例37．（2022·陕西宝鸡·二模（文））如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是___________.
例38．（2022·安徽宣城·二模（理））已知正四面体ABCD的棱长为2，P为AC的中点，E为AB中点，M是DP的动点，N是平面ECD内的动点，则的最小值是_____________.
例39．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））如图，圆柱的轴截面ABCD是一个边长为4的正方形.一只蚂蚁从点A出发绕圆柱表面爬到BC的中点E，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A．B．C．D．
例40．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））一竖立在水平地面上的圆锥形物体，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上一点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点，已知圆锥底面半径为1，母线长为3，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）
A．3B．C．D．
【方法技巧与总结】
此类最大路径问题：大胆展开，把问题变为平面两点间线段最短问题．
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·河北·高三阶段练习）已知圆锥的高为1，母线长为，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（ ）
A．2B．C．D．3
2．（2022·全国·模拟预测（文））若过圆锥的轴的截面为边长为4的等边三角形，正方体的顶点，，，在圆锥底面上，，，，在圆锥侧面上，则该正方体的棱长为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·广东深圳·高三阶段练习）通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是1cm和4cm）制作该容器的侧面，则该圆台形容器的高为（ ）
A．cmB．1cmC．cmD．cm
5．（2022·全国·高三专题练习）已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面ABC水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则此三棱柱的表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）已知某圆锥的侧面积为，高为，则该圆锥底面圆的半径为（ ）
A．2B．3C．4D．6
7．（2022·山西大同·高三阶段练习）正四棱台的上､下底面的边长分别为2､4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A．56B．C．D．
8．（2022·江西九江·三模（理））如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·浙江湖州·模拟预测）如图，已知四边形，是以为斜边的等腰直角三角形，为等边三角形，，将沿对角线翻折到在翻折的过程中，下列结论中不正确的是（ ）
A．B．与可能垂直
C．直线与平面所成角的最大值是D．四面体的体积的最大是
10．（2022·全国·高三专题练习）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
11．（2022·河北·高三阶段练习）如图，正方体棱长为1，P是上的一个动点，下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．当P在直线上运动时，三棱锥的体积不变
D．以点B为球心，为半径的球面与面的交线长为
12．（2022·全国·高三专题练习）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
13．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）棱长为1的正方体中，点P为线段上的动点，点M，N分别为线段，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．三棱锥的体积为定值
C．D．的最小值为
14．（2022·湖北·高三阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（ ）
A．高为B．体积为
C．表面积为D．上底面积､下底面积和侧面积之比为
三、填空题
15．（2022·全国·高三专题练习）已知一三角形ABC用斜二测画法画出的直观图是面积为的正三角形(如图)，则三角形ABC中边长与正三角形的边长相等的边上的高为______．
16．（2022·上海·模拟预测）已知圆柱的高为4，底面积为，则圆柱的侧面积为___________；
17．（2022·新疆·三模（理））已知一个棱长为a的正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为1，母线长为2，则a的最大值为______.
18．（2022·吉林长春·高三阶段练习（理））中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，如图（1）（2）.刘徽未能求得牟合方盖的体积，直言“欲陋形措意，惧失正理”，不得不说“敢不阙疑，以俟能言者”.约200年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等，如图（3）（4）.
已知八分之一的正方体去掉八分之一的牟合方盖后的剩余几何体与长宽高皆为八分之一正方体棱长的倒四棱锥“等幂等积”，祖暅由此推算出牟合方盖的体积.据此可知，若正方体的棱长为1，则其牟合方盖的体积为______.
四、解答题
19．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）如图，已知四棱锥中，平面，且.
(1)求证：平面；
(2)当直线与底面所成的角都为，且时，求出多面体的体积.
20．（2022·全国·南宁二中高三期末（文））图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，，将该图形沿AB，AD折起使得AE与AF重合，连接CG，如图2.
(1)证明：图2中的C，D，E，G四点共面；
(2)求图2中三棱锥的体积.
21．（2022·全国·高三专题练习）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝60°．
(1)求证：BC1⊥平面ABC；
(2)E是棱CC1上的一点，若三棱锥E－ABC的体积为，求线段CE的长．
22．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））如图，在三棱柱中，，．
(1)证明：平面平面．
(2)设P是棱上一点，且，求三棱锥体积．
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
专题28空间几何体的结构特征、表面积与体积
【考点预测】
知识点一：构成空间几何体的基本元素—点、线、面
（1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体．
（2）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）．
知识点二：简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台
1．棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．
（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；
（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；
（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；
（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；
（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；
（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；
（7）正方体：棱长都相等的长方体．
2．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．
（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；
（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．
3．棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示．
知识点三：简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球1．圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．
2．圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．
3．圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．
4．球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．
知识点四：组合体
由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体．
知识点五：表面积与体积计算公式
表面积公式
体积公式
表面积
柱体
为直截面周长
锥体
台体
球
体积
柱体
知识点六：空间几何体的直观图
1．斜二测画法
斜二测画法的主要步骤如下：
（1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的，，建立直角坐标系．
（2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于，，使（或），它们确定的平面表示水平平面．
（3）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”．
（4）擦去辅助线．图画好后，要擦去轴、轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线．
注：直观图和平面图形的面积比为．
2．平行投影与中心投影
平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点．
【题型归纳目录】
题型一：空间几何体的结构特征
题型二：空间几何体的表面积与体积
题型三：直观图
题型四：最短路径问题锥体
台体
球
【典例例题】
题型一：空间几何体的结构特征
例1．（2022·全国·模拟预测）以下结论中错误的是（ ）
A．经过不共面的四点的球有且仅有一个B．平行六面体的每个面都是平行四边形
C．正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直D．棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直
例2．（2022·全国·高三专题练习（文））下列说法正确的是（ ）
A．经过三点确定一个平面B．各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥
C．各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱D．一个三棱锥的四个面可以都为直角三角形
例3．（2022·海南·模拟预测）“三棱锥是正三棱锥”的一个必要不充分条件是（ ）
A．三棱锥是正四面体B．三棱锥不是正四面体
C．有一个面是正三角形D．是正三角形且
例4．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题:
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;
②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;
③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;
④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
例5．（2022·山东省东明县第一中学高三阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
B．过空间内不同的三点，有且只有一个平面
C．棱锥的所有侧面都是三角形
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
例6．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.
其中正确命题的个数是（ ）
A．B．C．D．
例7．（2022·全国·高三专题练习）莱昂哈德·欧拉，瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，他的研究论著几乎涉及到所有数学分支，有许多公式､定理､解法､函数､方程､常数等是以欧拉名字命名的.欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V､棱数E､面数F之间总满足数量关系，此式称为欧拉公式，已知某凸32面体，12个面是五边形，20个面是六边形，则该32面体的棱数为___________；顶点的个数为___________.
例8．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））如图，正方体上、下底面中心分别为，，将正方体绕直线旋转，下列四个选项中为线段旋转所得图形是（ ）
A．B．
C．D．
例9．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）（多选）
A．①是棱台B．②是圆台C．③是棱锥D．④是棱柱
例10．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（理））碳60（）是一种非金属单质，它是由60个碳原子构成的分子，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2．则其六元环的个数为__________.
【方法技巧与总结】
熟悉几何体的基本概念.
题型二：空间几何体的表面积与体积
例11．（多选题）（2022·湖北·高三阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（ ）
A．高为B．体积为
C．表面积为D．上底面积､下底面积和侧面积之比为
例12．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设一圆锥的侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥的高与母线长的比值为（ ）A．B．C．D．
例13．（2022·云南·二模（文））已知长方体的表面积为62，所有棱长之和为40，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
例14．（2022·福建省福州第一中学三模）已知，分别是圆柱上､下底面圆的直径，且，.，O分别为上､下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥的体积为18，则该圆柱的侧面积为（ ）
A．9B．12C．16D．18
例15．（2022·河南·模拟预测（文））在正四棱锥中，，若正四棱锥的体积是8，则该四棱锥的侧面积是（ ）
A．B．C．4D．
例16．（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和，则方亭的体积为（ ）
A．B．C．D．
例17．（2022·湖南·高三阶段练习）如图，一种棱台形状的无盖容器（无上底面）模型其上、下底面均为正方形，面积分别为，，且，若该容器模型的体积为，则该容器模型的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
例18．（2022·海南海口·二模）如图是一个圆台的侧面展开图，其面积为，两个圆弧所在的圆半径分别为2和4，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
例19．（2022·全国·高三专题练习）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
例20．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB，CD分别为上、下底面圆的直径，，则四面体ABCD的体积为（ ）
A．B．C．1D．
例21．（2022·山东·烟台市教育科学研究院二模）鲁班锁是我国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中的榫卯结构，其内部的凹凸部分啮合十分精巧．图1是一种鲁班锁玩具，图2是其直观图．它的表面由八个正三角形和六个正八边形构成，其中每条棱长均为．若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），则此正方体表面积的最小值为________．
例22．（2022·湖北省天门中学模拟预测）已知一个圆柱的体积为，底面直径与母线长相等，圆柱内有一个三棱柱，与圆柱等高，底面是顶点在圆周上的正三角形，则三棱柱的侧面积为__________.
例23．（2022·上海闵行·二模）已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的4倍，则它的侧面积扩大为原来的___________倍.
例24．（2022·浙江绍兴·模拟预测）有书记载等角半正多面体是以边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图，将正四面体沿相交于同一个顶点的三条梭上的个点截去一个正三棱锥，如此共截去个正三棱锥，若得到的几何体是一个由正三角形与正六边形围成的等角半正多面体，且正六边形的面积为，则原正四面体的表面积为_________．
例25．（2022·上海徐汇·三模）设圆锥底面圆周上两点、间的距离为，圆锥顶点到直线的距离为，和圆锥的轴的距离为，则该圆锥的侧面积为___________.
例26．（2022·全国·高三专题练习）中国古代的“牟合方盖”可以看作是两个圆柱垂直相交的公共部分，计算其体积所用的“幂势即同，则积不容异”是中国古代数学的研究成果，根据此原理，取牟合方盖的一半，其体积等于与其同底等高的正四棱柱中，去掉一个同底等高的正四棱锥之后剩余部分的体积（如图1所示）．现将三个直径为4的圆柱放于同一水平面上，三个圆柱的轴所在的直线两两成角都相等，三个圆柱的公共部分为如图2所示的几何体，该几何体中间截面三角形边长为 ，则该几何体的体积为___________．
【方法技巧与总结】
熟悉几何体的表面积、体积的基本公式，注意直角等特殊角.
题型三：直观图
例27．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知用斜二测画法画出的的直观图是边长为的正三角形，原的面积为 __．
例28．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）如图，梯形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
例29．（2022·全国·高三专题练习）如图，△ABC是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（ ）
A．△ABC是钝角三角形B．△ABC是等边三角形
C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形
例30．（2022·全国·高三专题练习）如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的周长为（ ）
A．20B．12C．D．
例31．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，已知等腰直角三角形，是一个平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（ ）
A．B．C．D．
例32．（2022·全国·高三专题练习）一个三角形的水平直观图在是等腰三角形，底角为，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点到轴距离是（ ）
A．1B．2C．D．
【方法技巧与总结】
斜二测法下的直观图与原图面积之间存在固定的比值关系：．
题型四：最短路径问题
例33．（多选题）（2022·广东广州·三模）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（ ）
A．该圆台的高为
B．该圆台轴截面面积为
C．该圆台的体积为
D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为
例34．（2022·河南洛阳·三模（理））在棱长为1的正方体中，点为上的动点，则的最小值为___________.
例35．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（文））如图，在直三棱柱中，，点E是侧棱上的一个动点，则下列判断正确的有___________.（填序号）
①直三棱柱外接球的体积为
②存在点E，使得为钝角
③截面周长的最小值为
例36．（2022·河南·二模（理））在正方体中，，是线段上的一动点，则的最小值为________.
例37．（2022·陕西宝鸡·二模（文））如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是___________.
例38．（2022·安徽宣城·二模（理））已知正四面体ABCD的棱长为2，P为AC的中点，E为AB中点，M是DP的动点，N是平面ECD内的动点，则的最小值是_____________.
例39．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））如图，圆柱的轴截面ABCD是一个边长为4的正方形.一只蚂蚁从点A出发绕圆柱表面爬到BC的中点E，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A．B．C．D．
例40．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））一竖立在水平地面上的圆锥形物体，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上一点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点，已知圆锥底面半径为1，母线长为3，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）
A．3B．C．D．
【方法技巧与总结】
此类最大路径问题：大胆展开，把问题变为平面两点间线段最短问题．
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·河北·高三阶段练习）已知圆锥的高为1，母线长为，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（ ）
A．2B．C．D．3
2．（2022·全国·模拟预测（文））若过圆锥的轴的截面为边长为4的等边三角形，正方体的顶点，，，在圆锥底面上，，，，在圆锥侧面上，则该正方体的棱长为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·广东深圳·高三阶段练习）通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是1cm和4cm）制作该容器的侧面，则该圆台形容器的高为（ ）
A．cmB．1cmC．cmD．cm
5．（2022·全国·高三专题练习）已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面ABC水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则此三棱柱的表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）已知某圆锥的侧面积为，高为，则该圆锥底面圆的半径为（ ）
A．2B．3C．4D．6
7．（2022·山西大同·高三阶段练习）正四棱台的上､下底面的边长分别为2､4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A．56B．C．D．
8．（2022·江西九江·三模（理））如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·浙江湖州·模拟预测）如图，已知四边形，是以为斜边的等腰直角三角形，为等边三角形，，将沿对角线翻折到在翻折的过程中，下列结论中不正确的是（ ）
A．B．与可能垂直
C．直线与平面所成角的最大值是D．四面体的体积的最大是
10．（2022·全国·高三专题练习）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
11．（2022·河北·高三阶段练习）如图，正方体棱长为1，P是上的一个动点，下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．当P在直线上运动时，三棱锥的体积不变
D．以点B为球心，为半径的球面与面的交线长为
12．（2022·全国·高三专题练习）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
13．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）棱长为1的正方体中，点P为线段上的动点，点M，N分别为线段，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．三棱锥的体积为定值
C．D．的最小值为
14．（2022·湖北·高三阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（ ）
A．高为B．体积为
C．表面积为D．上底面积､下底面积和侧面积之比为
三、填空题
15．（2022·全国·高三专题练习）已知一三角形ABC用斜二测画法画出的直观图是面积为的正三角形(如图)，则三角形ABC中边长与正三角形的边长相等的边上的高为______．
16．（2022·上海·模拟预测）已知圆柱的高为4，底面积为，则圆柱的侧面积为___________；
17．（2022·新疆·三模（理））已知一个棱长为a的正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为1，母线长为2，则a的最大值为______.
18．（2022·吉林长春·高三阶段练习（理））中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，如图（1）（2）.刘徽未能求得牟合方盖的体积，直言“欲陋形措意，惧失正理”，不得不说“敢不阙疑，以俟能言者”.约200年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等，如图（3）（4）.
已知八分之一的正方体去掉八分之一的牟合方盖后的剩余几何体与长宽高皆为八分之一正方体棱长的倒四棱锥“等幂等积”，祖暅由此推算出牟合方盖的体积.据此可知，若正方体的棱长为1，则其牟合方盖的体积为______.
四、解答题
19．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）如图，已知四棱锥中，平面，且.
(1)求证：平面；
(2)当直线与底面所成的角都为，且时，求出多面体的体积.
20．（2022·全国·南宁二中高三期末（文））图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，，将该图形沿AB，AD折起使得AE与AF重合，连接CG，如图2.
(1)证明：图2中的C，D，E，G四点共面；
(2)求图2中三棱锥的体积.
21．（2022·全国·高三专题练习）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝60°．
(1)求证：BC1⊥平面ABC；
(2)E是棱CC1上的一点，若三棱锥E－ABC的体积为，求线段CE的长．
22．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））如图，在三棱柱中，，．
(1)证明：平面平面．
(2)设P是棱上一点，且，求三棱锥体积．
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