最新高考数学二轮复习讲义重难点突破篇 专题10 利用导数解决一类整数问题

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1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
专题10 利用导数解决一类整数问题
【题型归纳目录】
题型一：整数解问题之分离参数、分离函数、半分离
题型二：整数解问题之直接限制法
题型三：整数解问题之虚设零点
题型四：整数解问题之必要性探路
【典例例题】
题型一：整数解问题之分离参数、分离函数、半分离
例1．已知函数．
（1）求函数在处的切线方程
（2）证明：在区间内存在唯一的零点；
（3）若对于任意的，都有，求整数的最大值．
例2．已知函数，.
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）令，若在恒成立，求整数的最大值.（参考数据：，）.
例3．已知函数．
（1）证明：在区间内存在唯一的零点；
（2）若对于任意的，都有，求整数的最大值．
题型二：整数解问题之直接限制法
例4．已知偶函数满足，且当，时，，关于的不等式在，上有且只有300个整数解，求实数的取值范围
例5．已知函数，其中，为自然对数的底数．
（1）试讨论的单调性；
（2）是否存在正整数，使得对一切恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．
例6．已知函数，其中，为自然对数的底数．
（1）若函数有两个零点，求的取值范围；
（2）是否存在正整数，使得对一切恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在．请说明理由．
例7．已知集合，集合，．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若中恰含有一个整数，求实数的取值范围．
题型三：整数解问题之虚设零点
例8．设函数.
（1）求函数的单调增区间；
（2）当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：）
例9．已知函数，求：
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，总有，求整数的最小值.
例10．已知函数（其中为自然对数的底数）．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数在有唯一零点，求实数的取值范围；
（3）若不等式对任意的恒成立，求整数的最大值．
例11．已知函数．
（1）求函数在处的切线方程
（2）证明：在区间内存在唯一的零点；
（3）若对于任意的，都有，求整数的最大值．
题型四：整数解问题之必要性探路
例12．（2021·山西·晋中市新一双语学校模拟预测（文））已知函数
（1）若函数与有公共点，求的取值范围；
（2）若不等式恒成立，求整数的最小值.
例13．（2021·北京·北师大二附中未来科技城学校高三阶段练习）已知，，．
（1）若，证明：；
（2）对任意都有，求整数的最大值．
例14.是否存在正整数，使得对一切恒成立?试求出的最大值.
例15.求k的最大整数值.
【过关测试】
1．（2022·吉林·长春市第二实验中学高二期中）设函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若，且不等式对恒成立，求整数的最大值．
2．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数.
(1)讨论函数的单调性与极值；
(2)当时，函数在上的最大值为，求使得上的整数k的值（其中e为自然对数的底数，参考数据：，）.
3．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）设函数．
(1)当时，恒成立，求b的范围；
(2)若在处的切线为，且，求整数m的最大值．
4．（2022·全国·模拟预测）已知函数，其中e为自然对数的底数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当a＝0时，若存在使得关于x的不等式成立，求k的最小整数值．（参考数据：）
5．（2021·陕西·铜川市第一中学高二阶段练习（理））设函数.
(1)求的单调区间；
(2)当时，恒成立，求整数的最大值.
6．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，对任意的恒成立，求满足条件的实数的最小整数值.
7．（2022·陕西汉中·二模（理））已知函数，曲线在点处切线方程为.
(1)求实数a的值及函数的单调区间；
(2)若时，，求整数m的最大值.
8．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）设函数， 为实数， 若有最大值为
(1)求的值；
(2)若，求实数的最小整数值.
9．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））已知函数 ，为的导函数．
(1)证明：当时，函数在区内存在唯一的极值点，；
(2)若在上单调递减，求整数a的最小值．
10．（2022·全国·模拟预测）已知，e为自然对数的底数．
(1)设在上的最小值为m，证明：；
(2)若恒成立，求最大整数a的值．（参考数据：，，）