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最新高考数学二轮复习讲义重难点突破篇 专题16 奔驰定理与四心问题
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这是一份最新高考数学二轮复习讲义重难点突破篇 专题16 奔驰定理与四心问题，文件包含专题16奔驰定理与四心问题教师版docx、专题16奔驰定理与四心问题学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共75页， 欢迎下载使用。
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
专题16 奔驰定理与四心问题
【考点预测】
一．四心的概念介绍：
（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．
（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．
（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．
二．奔驰定理---解决面积比例问题
重心定理：三角形三条中线的交点.
已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为.
注意：（1）在中，若为重心，则．
（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．
重心的向量表示：．
奔驰定理：，则、、的面积之比等于
奔驰定理证明：如图，令，即满足
，，，故.
三．三角形四心与推论：
（1）是的重心：．
（2）是的内心：．
（3）是的外心：．
（4）是的垂心：．
【方法技巧与总结】
（1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上.
为的内心.
（2）外心：为的外心.
（3）垂心：为的垂心.
（4）重心：为的重心.
【题型归纳目录】
题型一：奔驰定理
题型二：重心定理
题型三：内心定理
题型四：外心定理
题型五：垂心定理
【典例例题】
题型一：奔驰定理
例1．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，、、的面积分别为、、，则.若是锐角内的一点，、、是的三个内角，且点满足，则（ ）
A．为的垂心
B．
C．
D．
【答案】ABD【解析】
【分析】
首先可根据得出，用相同的方式得出、，即可得出A正确，然后作辅助线，根据、即可得出B正确，再然后通过正弦定理得出，即，用相同的方式得出，即可得出C错误，最后结合解三角形面积公式以及B项得出、、，根据“奔驰定理”得出，结合C项即可得出D正确.
【详解】
A项：，即，
，，，
同理可得，，
故为的垂心，A正确；
B：如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点，
因为，所以，，
因为，所以，，
则
，B正确；
C项：在中，由正弦定理易知，
因为，，
所以，
即，，同理可得，
故，C错误；
D项：，同理可得，，
则
，
同理可得，，
因为，
所以将、、代入，可得，
因为，
所以，
故成立，D正确，
故选：ABD.
【点睛】
关键点点睛：本题考查正弦定理、解三角形面积公式、同角三角函数关系以及向量的相关运算，考查向量垂直的相关性质，考查学生对“奔驰定理”的理解与应用，考查化归与转化思想，考查数形结合思想，是难题.
例2．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）点在△所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若动点满足，则动点的轨迹一定经过△的垂心；
B．若，则点为△的内心；
C．若，则点为△的外心；
D．若动点满足，则动点的轨迹一定经过△的重心.
【答案】BC
【解析】
【分析】A由正弦定理知，且，代入已知等式得，即知的轨迹一定经过的哪种心；B、C分别假设为△的内心、外心，利用向量的几何图形中的关系，及向量的运算律和数量积判断条件是否成立即可；D由，根据数量积的运算律及向量数量积的几何意义求的值，即知的轨迹一定经过的哪种心；
【详解】
A：由正弦定理知，而，所以，即动点的轨迹一定经过△的重心，故错误.
B：若为△的内心，如下图示：，同理，，，
∴，，故正确；
C：若为△的外心，分别为的中点，则，而，同理，又，故，正确；
D：由，故，即，动点的轨迹一定经过△的垂心，错误.
故选：BC
【点睛】
关键点点睛：应用已知等量关系，结合向量的运算律、数量积的值判断向量过三角形的何种心，或假设为△的内心、外心，再应用几何图形中相关线段所表示的向量，结合向量的线性关系及数量积的运算律，判断条件是否成立.
例3．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若、是锐角内的点，、、是的三个内角，且满足，，则（ ）
A．B．
C．
D．
【答案】ABCD
【解析】
【分析】
变形后表示为，再由奔驰定理得出向量的关系，利用平面向量基本定理判断A，利用数量积的运算，变形后证明是的重心，由平面几何知识判断B，利用数量积的定义表示已知数量积的等式，结合选项B的结论可证明C，求出的面积，利用选项B的结论转化，再利用选项C的结论可得面积比，然后结合奔驰定理可判断D．
【详解】
因为，所以，即，所以，
又由奔驰定理得，
因为不共线，所以，
所以，A正确；
延长分别与对边交于点，如图，
由得，所以，同理，所以是的垂心，
所以四边形中，，所以，B正确；
由得，
所以，
由选项B得，，，所以，C正确；
由上讨论知，
，
，
所以，
又由选项C：，
得，
由奔驰定理：得，D正确．
故选：ABCD．
例4．（多选题）（2022·浙江·高三专题练习）如图，已知点G为的重心，点D，E分别为AB，AC上的点，且D，G，E三点共线，，，，，记，，四边形BDEC的面积分别为，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC【解析】
【分析】
连接AG并延长交BC于点M，由三角形重心结合向量运算探求m，n的关系，
再借助三角形面积公式及均值不等式即可逐项判断作答.
【详解】
连接AG并延长交BC于点M，如图，因G为的重心，则M是BC边的中点，且，
又D，G，E三点共线，即，则有，
而，，又，于是得，
而与不共线，因此，，，A正确；
边AD上的高为，边AB上的高为，
则，B正确；
由A可知，，当且仅当时取“=”，则有，
即，而，于是得，C正确，D错误.
故选：ABC
例5．（河南省安阳市2021-2022学年高一年级下学期阶段性测试（五）数学试卷）已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，利用同底的两个三角形面积比推得即可求解作答.
【详解】
是的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，
则，，
因此，，同理，
于是得，
又，即，由“奔驰定理”有，
则，而与不共线，有，，即，
所以.
故选：A
例6．（2021·四川德阳·高一期末）已知P是内部一点，且，则面积之比为（ ）
A．1：3：5B．5：3：1C．1：9：25D．25：9：1
【答案】B【解析】
【分析】
如图，根据平面向量的基本定理可得，进而得出和的高之间的关系，则，同理可得、，即可得出结果.
【详解】
设的面积为，
由，得，
有，
又，令，
则三点共线，且，
即点在上，且，
所以以为底，的高为的，
故，同理可得，，
所以.
故选：B
例7．（2022·安徽·芜湖一中三模（理））平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，， 的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平面向量基本定理可得，，延长交于，延长交于，根据面积比推出，结合角平分线定理推出为的平分线，同理推出是的平分线，根据内心的定义可得答案.
【详解】
由得，
由得，
根据平面向量基本定理可得，，
所以，，
延长交于，延长交于，
则，又，所以，
所以为的平分线，
同理可得是的平分线，
所以为的内心.
故选：B例8．（2022·云南·一模（理））在中，是直线上的点.若，记的面积为，的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将 和 设为基底，将 用基底表示出来，
即可算出点D的位置.
【详解】
依题意作上图，
设 ，
由条件 ，
∴ ， ，，
∴点D在AB的延长线上，并且 ，
∴ ，
故选：D. .
例9．（2022·全国·高三专题练习）在平面四边形中，已知的面积是的面积的2倍.若存在正实数使得成立，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】
【分析】由面积比得，再利用三点共线可得出的关系，从而利用基本不等式可求得的最小值．
【详解】
如图，设与交于点，
由的面积是的面积的2倍，可得，
所以，
又三点共线，即共线，
所以存在实数使得，
因为，
所以，消去k，可得，
又因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立．
所以的最小值为1．
故选：A．
例10．（2022·上海·高三专题练习）如图，为内任意一点，角，，的对边分别为，，.总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：
①若是的重心，则有；
②若成立，则是的内心；
③若，则；
④若是的外心，，，则.
则正确的命题有___________.
【答案】①②④
【解析】
【分析】
对于①:利用重心的性质代入即可.
对于②:利用三角形的面积公式结合与可知点到的距离相等.
对于③:利用将表示出来，代入.化简即可表示出的关系式，用将表示出来即可得处其比值.
对于④：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将两边平方，化简可得，结合的取值范围可得出答案.
【详解】
对于①：如图所示：因为分别为的中点，
所以,，
同理可得、，
所以，又因为
所以.①正确.
对于②：记点到的距离分别为，，因为，则，即，又因为，所以，所以点是的内心.②正确.
对于③：因为，所以,,,
所以,
化简得：，
又因为不共线.
所以，
.③错误.
对于④：因为是的外心，，所以,，,
因为，则，
化简得： ,由题意知不同时为正.
记,
则，
因为
所以.④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】
本题考查三角形的向量性质.属于难题.利用平面向量基本定理，将等式中的向量全部用一组基向量表示是解本类题型常用的方向.
例11．（2022·江西宜春·高三期末（理））已知，点M是△ABC内一点且，则△MBC的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
结合平面向量的线性运算得到，进而根据等底等高的三角形面积相等即可求出结果.
【详解】
取的中点，因为，所以，故，所以，因为，因此,
故选：C.
例12．（2022·全国·高三专题练习）已知点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【解析】
【分析】
特例验证法解选择题是一个快捷途径.本题可以把设为的三角形.
【详解】
不妨设中，，边长，边长，
以A为原点、AB为x轴、AC为y轴建立平面直角坐标系
则、、,
,设，则
故
可得，故
的面积为，
的面积为
则与的面积之比为
故选：C
例13．（2022·全国·高三专题练习）已知点为正所在平面上一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为（ ）
A．B．
C．2D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
如图，分别是对应边的中点，对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件得到，由于正三角形，结合题目中的面积关系得到，，由面积之比，分所成的比，从而得出的值．
【详解】
，
．
如图，，分别是对应边的中点，
由平行四边形法则知，，
故，
在正三角形中，
，
，
且三角形与三角形的底边相等，面积之比为,
所以，得．
故选：B
【方法技巧与总结】
奔驰定理：如图，已知P为内一点，则有.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.
题型二：重心定理
例14．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知是圆心为O，半径为R的圆的内接三角形，M是圆O上一点，G是的重心．若，则___________．
【答案】
【解析】【分析】
根据，结合整理可得，再结合运算处理．
【详解】
∵，则
∵，则
∴
同理可得：，
∴
∵G是的重心，则即
∴
故答案为：．
例15．（2022·江苏南京·模拟预测）在中，，，，为的重心，在边上，且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据为的重心，得到，再由和，利用等面积法求得，进而得到，方法一：利用基底法求解；方法二：以坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.
【详解】
解：因为为的重心，
所以，
因为，
所以，则，
因为，所以，
即，所以，
在中，．
方法一：因为，
，
所以，
．
方法二：以坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，
则，，
由方法一可知，，
所以．
例16．（2022·全国·高三专题练习）在中，，，且，，则点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心B．内心
C．外心D．垂心
【答案】A
【解析】
【分析】
过C作，交AB于H，取AB中点D，连接CD，所以，根据向量的线性运算法则，化简可得，根据三角形的性质，分析即可得答案.
【详解】
过C作，交AB于H，取AB中点D，连接CD，如图所示：
根据三角函数定义可得，
因为，
所以，即，
即点P的轨迹在中线CD上，而三角形三边中线的交点为该三角形的重心，
所以点的轨迹一定通过的重心.
故选：A
例17．（2022·全国·高三专题练习）已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ) ＋(1－λ) ＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过（ ）
A．△ABC的内心B．△ABC的垂心
C．△ABC的重心D．AB边的中点
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量的加法的平行四边形法则向量的运算法则，对条件进行化简，得到，根据三点共线的充要条件知道、、三点共线，从而得到点的轨迹一定经过的重心．
【详解】
取AB的中点D，则2＝＋，
∵＝[(1－λ) ＋(1－λ) ＋(1＋2λ) ]，∴＝ [2(1－λ) ＋(1＋2λ) ]＝＋，
而＋＝1，
∴P，C，D三点共线，
∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了向量的加法法则和运算法则，以及三点共线的充要条件，三角形的五心问题，综合性强，属于中档题．
例18．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）在中，为重心，，，则_____.
【答案】-6
【解析】
【分析】
作图，以 为基底，将 和 表示出来，按照数量积的运算规则计算即可.
【详解】
设中点为，为的重心且，
，
，
；
故答案为：.
例19．（2022·四川达州·二模（文））在中，为重心，，，则___________.
【答案】
【解析】【分析】
设中点为，由重心性质知，利用数量积定义可求得，将所求量化为，由数量积的定义和运算律可求得结果.
【详解】
设中点为，
为的重心且，，
，
，
，
.
故答案为：.
例20．（2022·全国·高三专题练习（理））在中，点是的重心，过点作直线分别交线段，于点，（，不与的顶点重合），则的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先设，，由是的重心得到，
设，
得到，，再得到和再由求解即可.
【详解】
设，，，.因为是的重心，
所以.由，，三点共线可知，
.
由平面向量基本定理可知解得，，
所以，，
所以， ，
因为是的重心，所以，故
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：.
例21．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，AB＝1，∠ABC＝60°，·＝－1，若O是△ABC的重心，则·＝________.
【答案】5
【解析】
【分析】
建立直角坐标系，利用向量的坐标运算、数量积运算、三角形重心性质即可求出.
【详解】
如图所示，以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
∵AB＝1，∠ABC＝60°，
∴.设C(a，0)．∵·＝－1，所以，解得a＝4.
∵O是△ABC的重心，延长BO交AC于点D，所以
.
故答案为：5.
例22．（2022·全国·高三专题练习）如图，是的重心，，，是边上一点，且，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
延长AO交BC于E，由已知得点E为BC的中点，且，，D是BC的四等分点，由向量的线性运算可得答案．
【详解】
解：如图，延长AO交BC于E，由已知O为的重心，则点E为BC的中点，且，，由得D是BC的四等分点，则
，又，则，所以，
故答案为：．
例23．（2022·重庆·三模）已知为的重心，记，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
因为为的重心，所以，表示出，则，代入即可得出答案.
【详解】
因为为的重心，所以，所以，而.
故选：A.
例24．（2022·安徽蚌埠·模拟预测（理））已知点P是的重心，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据重心性质和平面向量基本定理判断．
【详解】
如图，是边中点，则共线且，
，
所以，D正确，由于选项ABC均不能保证系数相等，故不正确．
故选：D．
例25．（2022·辽宁·二模）已知点P为△ABC的重心，，点Q是线段BP的中点，则||为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据中点及重心的性质，利用基底表示,平方后根据数量积的计算求解即可.
【详解】
因为点Q是线段BP的中点，P为△ABC的重心，
所以，即，
故平方可得，可得，
故选：C.
例26．（2022·全国·高三专题练习）设O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件得，然后可知.
【详解】
因为，所以，记BC中点为D，则，因为，所以点P的轨迹为射线AD，所以P的轨迹一定通过的重心.
故选：C
例27．（2022·宁夏石嘴山·一模（理））已知G是△ABC重心，若，，则的值为（ ）
A．4B．1C．D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
延长交于，则可得为的中点，再将用表示，然后求两向量的数量积，化简可求得答案
【详解】
延长交于，
因为G是△ABC重心，所以为的中点，
所以，
因为,
所以,
故选：D
例28．（2022·黑龙江·哈九中高三开学考试（理））数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若AB=4，AC=2，则下列各式不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得，然后结合欧拉线、向量运算的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】
是三角形的重心，所以，
，A错误.
根据欧拉线的知识可知，B选项正确.
，所以C选项正确.
，所以D选项正确.
故选：A
例29．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）在中，，为的重心，若，则外接圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先由条件判定为等边三角形，再求得的边长，以正弦定理去求外接圆的半径即可解决.【详解】
由，可得，则有
又在中，，为的重心，则为等边三角形.
则
解之得，则外接圆的半径为
故选：C
例30．（2022·全国·高三专题练习（理））在△ABC中，，O为△ABC的重心，若，则△ABC外接圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由所给条件变形可得，即三角形为正三角，由数量积的运算可求出三角形边长，再由正弦定理求外接圆半径即可.
【详解】
因为，
所以，即.
因为O为△ABC的重心，且，
所以△ABC为等边三角形.
因为，
所以.
因为，
所以△ABC外接圆的半径为.
故选：B
例31．（2022·全国·高三专题练习）已知的三个内角分别为为平面内任意一点，动点满足则动点P的轨迹一定经过的（ ）
A．重心B．垂心C．内心D．外心
【答案】A
【解析】
【分析】
利用正弦定理及向量的线性运算可判断.
【详解】
在中，令线段的中点为，由正弦定理，
得，由，
得
即，而，
则，于是得与同向共线，而它们有公共起点，
即动点的轨迹是射线除点A外),又重心在线段上，
动点的轨迹一定经过的重心．
故选：A.
【方法技巧与总结】
三角形的重心一定在三角形的中线上，所以，在等式中显示出的现象是两个相加的向量，前面的系数相同，还需注意两个系数相同的向量相加的同时还会产生中点．
题型三：内心定理
例32．（2022·全国·高三专题练习）若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（ ）
A．垂心B．重心C．内心D．外心
【答案】C
【解析】
【分析】，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，
则，则当时，即，
点在的角平分线上，同理证明即可求解.
【详解】
，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，
则，则当时，即，点在的角平分线上；
，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，
则，则当时，即，
点在的角平分线上；
，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，
则，则当时，即，
点在的角平分线上，故是的内心.
故选：C.
例33．（2022·全国·高三专题练习）已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈(0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算，结合已知条件，即可判断点轨迹.
【详解】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，
则的方向为∠BAC的平分线的方向.
又λ∈(0，＋∞)，所以λ的方向与的方向相同.
而＝＋λ，
所以点P在上移动，所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心.
故选：.
例34．（2022·全国·高三专题练习）已知中，，，，I是的内心，P是内部（不含边界）的动点.若（，），则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，求得点坐标，用点坐标表示出，根据是内部（不含边界）的动点，求得的取值范围.
【详解】
解：建立如图所示平面直角坐标系，则
，
因为是三角形的内心，设三角形内切圆半径为，
则，解得.
所以，.
依题意点在三角形的内部（不含边界）.
因为，
所以，
所以，
令，则，
由图可知，当过时，.
当，过，即为直线时，.
所以的取值范围时.
故答案为：
例35．（2022·广西柳州·高一期中）设为的内心，，，，则_______________
【答案】
【解析】
【分析】
取中点，作，根据内心的特征可知；利用内切圆半径的求法可求得，由长度关系可求得，利用向量线性运算可表示出，由此可得.
【详解】
取中点，连接，作，垂足分别为，
，为的角平分线，；
又，，，则；
周长，面积，
内切圆半径，，
又，，
，，
，，.
故答案为：.
例36．（2022·全国·高三专题练习）中，a､b､c分别是BC､AC､AB的长度，若，则O是的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【解析】
【分析】
，因为，故得到，，变形得到，故得到在的角平分线上，同理在的角平分线上，进而得到答案.
【详解】
在的角平分线上，同理在的角平分线上，
点为三角形的角平分线的交点
故点是三角形的内心.故选：B.
例37．（2022·全国·高三专题练习）在中，，动点M满足，则直线AM一定经过的（ ）
A．垂心B．内心C．外心D．重心
【答案】B
【解析】
【分析】
延长AC，使得AC=CD，则，由，得，从而可得AM平分，即可得出结论.
【详解】
解：延长AC，使得AC=CD，
则，
因为，所以，
因为，所以，
所以是等腰三角形，
所以点M在BD的中垂线上，所以AM平分，
直线AM一定经过的内心.
故选：B.
例38．（2022·全国·高三专题练习）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.△ABC内一点M满足：，则M一定为△ABC的（ ）
A．外心B．重心C．垂心D．内心
【答案】D【解析】
【分析】
由题意可设，，，其中，，分别为，，方向上的单位向量，把已知向量等式变形，即可证明M在三个内角的角分线上，则答案可求.
【详解】
解：由题意可设，，，
其中，，分别为，，方向上的单位向量，
∵，
∴，
则，
∴=.
∴M在∠BAC的角分线上，同理M在∠ABC与∠ACB的角分线上.
∴M为△ABC的内心.
故选：D.
例39．（2022·全国·高三专题练习）已知O是所在平面上的一点,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若（其中P是所在平面内任意一点），则O点是的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【解析】
【分析】
将所给向量表达式进行变形,表示成与方向上的单位向量的形式,由向量加法运算的性质即可知O在角平分线上,即可得解.
【详解】
因为
则,即
移项可得
即
则
因为 所以
化简可得,即
设为方向上的单位向量,为方向上的单位向量
所以,
则
所以
则在的角平分线上
同理可知 在的角平分线上
因而为的内心
故选:B
【点睛】
本题考查了向量线性运算的化简及应用,三角形内心的向量表示形式,化简过程较为复杂,属于中档题.
【方法技巧与总结】
角平分线定理：若，，则平分线上的向量为，由决定．
角平分线定理证明：令和分别为和方向上的单位向量，是以和为一组邻边的平行四边形过点的的一条对角线，而此平行四边形为菱形，故在平分线上，但平分线上的向量终点的位置由决定．当时，四边形构成以的菱形．
题型四：外心定理
例40．（2022·全国·高三专题练习）在中，，，，点为的外心，若，、，则____________.
【答案】
【解析】
【分析】
令边AB，AC中点分别为D，E，将分别用和表示，再与求数量积即可列式计算作答.【详解】
如图，令边AB，AC中点分别为D，E，连接DO，EO，因点为的外心，于是得，，
，
，，
，，
依题意，，
，
解得，
所以.
故答案为：
例41．（2022·全国·高三专题练习）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【答案】B
【解析】
【分析】
设的中点为，两端同时点乘，由可得答案.
【详解】
设的中点为，因为，
所以，
即，两端同时点乘，
所以
，
所以，
所以点在的垂直平分线上，即经过的外心.
故选：B.
例42．（2022·全国·模拟预测）在中，，，，点为的外心，则______，是三角形外接圆圆心上一动点，则的最小值为______.
【答案】 4 0
【解析】
【分析】
以是中点.以为原点，，所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，表示出的坐标，从而可求出的值，设，则可表示出，由于点是上任一点，所以设，，代入化简可求得结果
【详解】
因为，所以，
所以是中点.以为原点，，所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，则，，，，，，
所以；
圆的方程为.
设，则，，，
所以，因为点在圆上，可设，，，
所以，
当时，的最小值为0.
故答案为：4，0
例43．（2022·全国·高三专题练习）设为的外心，若，则的值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
设外接圆的半径为，由已知条件可得，即且，取的中点，连接可得，计算的值，再由余弦定理求出，在中，由正弦定理即可求解.
【详解】
设外接圆的半径为，
因为，所以，所以，且，
取的中点，连接，则，
因为，所以，即，
所以，
在中由余弦定理可得：
，
在中，由正弦定理可得：，
故答案为：.
例44．（2022·全国·高三专题练习）在中，点为的外心，，则______.
【答案】18
【解析】
【分析】
结合图象，利用转化法求得.
【详解】
因为点为的外心，
取点为的中点，
则，
所以.
故答案为：
例45．（2022·宁夏六盘山高级中学二模（理））已知△ABC中，，点O是△ABC的外心，则________.
【答案】##
【解析】
【分析】
首先判断的位置，利用已知条件转化求解向量的数量积即可．
【详解】
解：在中，，，点是的外心，又，所以是等腰直角三角形，所以是三角形的斜边中点，所以．
故答案为：．
例46．（2022·全国·高三专题练习）已知在△ABC中，AB=1，BC=，AC=2，点O为△ABC的外心，若，则有序实数对为________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据向量数量积的定义及余弦定理求出，再根据外心的性质得到、，再根据向量数量积的运算律得到方程组，解得即可；
【详解】
解：
，
∵O为的外心，
∴，，
由可得：，
解得，所以为.故答案为：
例47．（2022·浙江·宁波诺丁汉附中模拟预测）在中，点O、点H分别为的外心和垂心，，则________.
【答案】8
【解析】
【分析】
根据H为垂心，得到，设，外接圆的半径为，再分别利用余弦定理得到，然后由求解.
【详解】
解：，
，
因为H为垂心，
所以，，
设，外接圆的半径为，
由余弦定理得，
，
，
同理，
，
，
所以，
，
，
，
，
，
所以8，
故答案为：8
例48．（2022·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模（文））已知的外心为，若，且，则___________.
【答案】60°##
【解析】
【分析】
根据向量的运算，结合条件，可知O为BC的中点，再结合，可得 为等边三角形，由此可求答案.
【详解】
设的边BC的中点为D,
则 ,又，
即O,D两点重合，O为BC的中点，即BC为外接圆直径，
则,又，
故 为等边三角形，故 ,即，
故答案为：60°
例49．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，，，（其中）.
(1)若点C在直线AB上，且，求的值.
(2)若点C为的外心，求点C的坐标.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用向量平行的条件和向量垂直的条件列出x,y之间的方程，解方程可得答案.
（2）利用三角形外心的几何性质可得到，进而推得，再根据得到，联立可解得答案..
(1)
因点在直线上，所以，
于是存在，使，即，
又，所以；
因为，所以，
即，
整理得：，
所以.
(2)
因点为的外心，所以，
整理得：
同理由，得，所以，
所以，
又，于是，
解得：，所以点的坐标为.
例50．（2022·全国·高三专题练习）设为的外心，，，分别为角，，的对边，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据为的外心，过点作，，得到分别为的中点，由向量的数量积的运算公式，求得,，结合，代入即可求解.
【详解】
如图所示，因为为的外心，过点作，，
则点分别为的中点，
可得,同理可得，
又由，
因为，，可得.
故选：A.
例51．（2022·全国·高三专题练习）已知的外心为，，则（ ）
A．11B．10C．20D．21
【答案】D
【解析】
【分析】
首先过作，垂足分别为，，得到，，分别为，的中点，化简，即可得到答案.
【详解】
过作，垂足分别为，，如图所示：
因为的外心为，所以，，分别为，的中点.
因为，所以，，
所以
.
故选：D例52．（2022·全国·模拟预测（理））在中，，为的外心，，，则（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设的中点为D,E，将，变为，根据数量积的几何意义可得，同理求得，根据数量积的定义即可求得答案.
【详解】
如图，设的中点为D,E，连接OD,OE,则 ,
故，即 ,
即，故,
，即 ,
即，故,
故,
故选：B
例53．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）在中，，为的外心，则（ ）
A．－4B．4C．－6D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
设的外接圆半径为r，，由余弦定理得到，和．把整理为，整体代入即可．
【详解】
设的外接圆半径为r，．
由余弦定理得：，即，所以
，即，所以．
所以
因为，，
所以．
故选：C．
例54．（2022·江西上饶·二模（理））已知的外心为点O，M为边上的一点，且，则的面积的最大值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先用、表示，再根据向量数量积的运算律及基本不等式求出的最大值，最后根据三角形面积公式计算可得；
【详解】
解：因为，所以，
所以
所以，当且仅当时，取等号；所以，当且仅当时，取等号；
故选：C
例55．（2022·全国·高三专题练习）在中，角的边长分别为，点为的外心，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
作出辅助线，对数量积进行转化得到，求出的取值范围，进而求出答案.
【详解】
取的中点，则，所以.
因为，则，即.
所以，
故选：D.
例56．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量，满足，，D为线段OA上一点，E为△AOB的外心，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【解析】
【分析】以O为原点，OA边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设，，利用数量积的坐标运算可得的值.
【详解】
由得，
以O为原点，OA边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则，
设，，，则，
∴，
∴.
故选：D.
例57．（2022·全国·高三专题练习）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）
A．垂心B．内心C．外心D．重心
【答案】C
【解析】
【分析】
设的中点是，根据题意化简可得，即可确定的轨迹.
【详解】
设的中点是，
，
即，所以，
所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过的外心，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查向量的运算法则，熟练掌握向量的运算法则，数量积与垂直的关系，三角形的外心定义是解题的关键，属于较难题.
【方法技巧与总结】
外心定理：垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等．
（1），；；
（2），，；
（3），，．
题型五：垂心定理
例58．（2022·全国·高三专题练习）已知为的垂心，且，则角A的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
如图建系，可得各点坐标，根据题意，可得坐标间关系，根据O为垂心，可得，化简整理，可得，，即可求得答案.
【详解】
建立如图坐标系，
设，，，，
∵，
∴，∴①，
∵为的垂心，∴，
∴，∴②，
由①②得，，
∴，，
∴，
故选：B．
例59．（2022·全国·高三专题练习）设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则点P的轨迹经过的（ ）
A．内心B．外心C．垂心D．重心
【答案】C
【解析】
【分析】
由得出，结合三角形的性质得出答案.
【详解】
则，即，故
即点P的轨迹经过的垂心
故选：C
例60．（2022·全国·高三专题练习）若是的垂心，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】【分析】
利用垂心的性质，连接并延长交于，得到，把已知条件中的式子化简，得到，再两边同乘以，利用数量积、正弦定理进行整理化简，得到，再把化为，整理后得到值.
【详解】
在中，，
由，
得，
连接并延长交于，
因为是的垂心，所以，，
所以
同乘以得，
因为，所以，
由正弦定理可得
又，所以有，
而，
所以，
所以得到，而，所以得到，
故选：C.
例61．（2022·全国·高三专题练习）在中，若，则下列说法正确的是（ ）
A．是的外心B．是的内心
C．是的重心.D．是的垂心
【答案】D
【解析】
【分析】
首先利用数量积的运算公式变形，判断选项.
【详解】
∵，∴，
∴，∴，
同理由，得到，
∴点是的三条高的交点.
故选：D
例62．（2022·全国·高三专题练习）已知点O为△ABC所在平面内一点，且，则O一定为△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．垂心D．重心
【答案】C
【解析】
利用向量的等式关系，转化成，利用向量加减法运算化简得到，即证，再同理证得，即得是的垂心．
【详解】
由得：，
即，故，
故，，
又，，
，即，
同理，即，所以是的垂心．
故选：C.例63．（2022·上海·高三专题练习）三角形所在平面内一点P满足，那么点P是三角形的（ ）
A．重心B．垂心C．外心D．内心
【答案】B
【解析】
先化简得，即得点P为三角形的垂心.
【详解】
由于三角形所在平面内一点P满足，
则
即有，
即有，
则点P为三角形的垂心.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
例64．（2022·全国·高三专题练习）点P为所在平面内的动点，满足，，则点P的轨迹通过的
A．外心B．重心C．垂心D．内心
【答案】C
【解析】
【分析】
对题目的式子两边乘以，得到所在直线为高所在直线，即可．
【详解】
处理原式得到
故所在的直线与三角形的高重合，故经过垂心，故选C．
例65．（2022·全国·高三专题练习）若为所在平面内一点，且则点是的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【答案】D
【解析】【分析】
由得到，从而得到，同理证明即可.
【详解】
，
得，即；
，
得，即；
，
，即，所以为的垂心.
故选：D.
例66．（2022·全国·高三专题练习）在中，，，为的垂心，且满足，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意作出图形，然后根据，设设，则，进而根据平面几何性质表示出相关边的数量关系，然后根据平面向量的运算法则即可得出.
【详解】
如图所示，为的中点，不妨设，则.因为，则，则，，由此可得.
故答案为：.
【方法技巧与总结】，即
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
专题16 奔驰定理与四心问题
【考点预测】
一．四心的概念介绍：
（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．
（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．
（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．
二．奔驰定理---解决面积比例问题
重心定理：三角形三条中线的交点.
已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为.
注意：（1）在中，若为重心，则．
（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．
重心的向量表示：．
奔驰定理：，则、、的面积之比等于
奔驰定理证明：如图，令，即满足
，，，故.
三．三角形四心与推论：
（1）是的重心：．
（2）是的内心：．
（3）是的外心：．
（4）是的垂心：．
【方法技巧与总结】
（1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上.
为的内心.
（2）外心：为的外心.
（3）垂心：为的垂心.
（4）重心：为的重心.
【题型归纳目录】
题型一：奔驰定理
题型二：重心定理
题型三：内心定理
题型四：外心定理
题型五：垂心定理
【典例例题】
题型一：奔驰定理
例1．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，、、的面积分别为、、，则.若是锐角内的一点，、、是的三个内角，且点满足，则（ ）
A．为的垂心
B．
C．
D．
【答案】ABD【解析】
【分析】
首先可根据得出，用相同的方式得出、，即可得出A正确，然后作辅助线，根据、即可得出B正确，再然后通过正弦定理得出，即，用相同的方式得出，即可得出C错误，最后结合解三角形面积公式以及B项得出、、，根据“奔驰定理”得出，结合C项即可得出D正确.
【详解】
A项：，即，
，，，
同理可得，，
故为的垂心，A正确；
B：如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点，
因为，所以，，
因为，所以，，
则
，B正确；
C项：在中，由正弦定理易知，
因为，，
所以，
即，，同理可得，
故，C错误；
D项：，同理可得，，
则
，
同理可得，，
因为，
所以将、、代入，可得，
因为，
所以，
故成立，D正确，
故选：ABD.
【点睛】
关键点点睛：本题考查正弦定理、解三角形面积公式、同角三角函数关系以及向量的相关运算，考查向量垂直的相关性质，考查学生对“奔驰定理”的理解与应用，考查化归与转化思想，考查数形结合思想，是难题.
例2．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）点在△所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若动点满足，则动点的轨迹一定经过△的垂心；
B．若，则点为△的内心；
C．若，则点为△的外心；
D．若动点满足，则动点的轨迹一定经过△的重心.
【答案】BC
【解析】
【分析】A由正弦定理知，且，代入已知等式得，即知的轨迹一定经过的哪种心；B、C分别假设为△的内心、外心，利用向量的几何图形中的关系，及向量的运算律和数量积判断条件是否成立即可；D由，根据数量积的运算律及向量数量积的几何意义求的值，即知的轨迹一定经过的哪种心；
【详解】
A：由正弦定理知，而，所以，即动点的轨迹一定经过△的重心，故错误.
B：若为△的内心，如下图示：，同理，，，
∴，，故正确；
C：若为△的外心，分别为的中点，则，而，同理，又，故，正确；
D：由，故，即，动点的轨迹一定经过△的垂心，错误.
故选：BC
【点睛】
关键点点睛：应用已知等量关系，结合向量的运算律、数量积的值判断向量过三角形的何种心，或假设为△的内心、外心，再应用几何图形中相关线段所表示的向量，结合向量的线性关系及数量积的运算律，判断条件是否成立.
例3．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若、是锐角内的点，、、是的三个内角，且满足，，则（ ）
A．B．
C．
D．
【答案】ABCD
【解析】
【分析】
变形后表示为，再由奔驰定理得出向量的关系，利用平面向量基本定理判断A，利用数量积的运算，变形后证明是的重心，由平面几何知识判断B，利用数量积的定义表示已知数量积的等式，结合选项B的结论可证明C，求出的面积，利用选项B的结论转化，再利用选项C的结论可得面积比，然后结合奔驰定理可判断D．
【详解】
因为，所以，即，所以，
又由奔驰定理得，
因为不共线，所以，
所以，A正确；
延长分别与对边交于点，如图，
由得，所以，同理，所以是的垂心，
所以四边形中，，所以，B正确；
由得，
所以，
由选项B得，，，所以，C正确；
由上讨论知，
，
，
所以，
又由选项C：，
得，
由奔驰定理：得，D正确．
故选：ABCD．
例4．（多选题）（2022·浙江·高三专题练习）如图，已知点G为的重心，点D，E分别为AB，AC上的点，且D，G，E三点共线，，，，，记，，四边形BDEC的面积分别为，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC【解析】
【分析】
连接AG并延长交BC于点M，由三角形重心结合向量运算探求m，n的关系，
再借助三角形面积公式及均值不等式即可逐项判断作答.
【详解】
连接AG并延长交BC于点M，如图，因G为的重心，则M是BC边的中点，且，
又D，G，E三点共线，即，则有，
而，，又，于是得，
而与不共线，因此，，，A正确；
边AD上的高为，边AB上的高为，
则，B正确；
由A可知，，当且仅当时取“=”，则有，
即，而，于是得，C正确，D错误.
故选：ABC
例5．（河南省安阳市2021-2022学年高一年级下学期阶段性测试（五）数学试卷）已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，利用同底的两个三角形面积比推得即可求解作答.
【详解】
是的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，
则，，
因此，，同理，
于是得，
又，即，由“奔驰定理”有，
则，而与不共线，有，，即，
所以.
故选：A
例6．（2021·四川德阳·高一期末）已知P是内部一点，且，则面积之比为（ ）
A．1：3：5B．5：3：1C．1：9：25D．25：9：1
【答案】B【解析】
【分析】
如图，根据平面向量的基本定理可得，进而得出和的高之间的关系，则，同理可得、，即可得出结果.
【详解】
设的面积为，
由，得，
有，
又，令，
则三点共线，且，
即点在上，且，
所以以为底，的高为的，
故，同理可得，，
所以.
故选：B
例7．（2022·安徽·芜湖一中三模（理））平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，， 的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平面向量基本定理可得，，延长交于，延长交于，根据面积比推出，结合角平分线定理推出为的平分线，同理推出是的平分线，根据内心的定义可得答案.
【详解】
由得，
由得，
根据平面向量基本定理可得，，
所以，，
延长交于，延长交于，
则，又，所以，
所以为的平分线，
同理可得是的平分线，
所以为的内心.
故选：B例8．（2022·云南·一模（理））在中，是直线上的点.若，记的面积为，的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将 和 设为基底，将 用基底表示出来，
即可算出点D的位置.
【详解】
依题意作上图，
设 ，
由条件 ，
∴ ， ，，
∴点D在AB的延长线上，并且 ，
∴ ，
故选：D. .
例9．（2022·全国·高三专题练习）在平面四边形中，已知的面积是的面积的2倍.若存在正实数使得成立，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】
【分析】由面积比得，再利用三点共线可得出的关系，从而利用基本不等式可求得的最小值．
【详解】
如图，设与交于点，
由的面积是的面积的2倍，可得，
所以，
又三点共线，即共线，
所以存在实数使得，
因为，
所以，消去k，可得，
又因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立．
所以的最小值为1．
故选：A．
例10．（2022·上海·高三专题练习）如图，为内任意一点，角，，的对边分别为，，.总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：
①若是的重心，则有；
②若成立，则是的内心；
③若，则；
④若是的外心，，，则.
则正确的命题有___________.
【答案】①②④
【解析】
【分析】
对于①:利用重心的性质代入即可.
对于②:利用三角形的面积公式结合与可知点到的距离相等.
对于③:利用将表示出来，代入.化简即可表示出的关系式，用将表示出来即可得处其比值.
对于④：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将两边平方，化简可得，结合的取值范围可得出答案.
【详解】
对于①：如图所示：因为分别为的中点，
所以,，
同理可得、，
所以，又因为
所以.①正确.
对于②：记点到的距离分别为，，因为，则，即，又因为，所以，所以点是的内心.②正确.
对于③：因为，所以,,,
所以,
化简得：，
又因为不共线.
所以，
.③错误.
对于④：因为是的外心，，所以,，,
因为，则，
化简得： ,由题意知不同时为正.
记,
则，
因为
所以.④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】
本题考查三角形的向量性质.属于难题.利用平面向量基本定理，将等式中的向量全部用一组基向量表示是解本类题型常用的方向.
例11．（2022·江西宜春·高三期末（理））已知，点M是△ABC内一点且，则△MBC的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
结合平面向量的线性运算得到，进而根据等底等高的三角形面积相等即可求出结果.
【详解】
取的中点，因为，所以，故，所以，因为，因此,
故选：C.
例12．（2022·全国·高三专题练习）已知点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【解析】
【分析】
特例验证法解选择题是一个快捷途径.本题可以把设为的三角形.
【详解】
不妨设中，，边长，边长，
以A为原点、AB为x轴、AC为y轴建立平面直角坐标系
则、、,
,设，则
故
可得，故
的面积为，
的面积为
则与的面积之比为
故选：C
例13．（2022·全国·高三专题练习）已知点为正所在平面上一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为（ ）
A．B．
C．2D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
如图，分别是对应边的中点，对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件得到，由于正三角形，结合题目中的面积关系得到，，由面积之比，分所成的比，从而得出的值．
【详解】
，
．
如图，，分别是对应边的中点，
由平行四边形法则知，，
故，
在正三角形中，
，
，
且三角形与三角形的底边相等，面积之比为,
所以，得．
故选：B
【方法技巧与总结】
奔驰定理：如图，已知P为内一点，则有.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.
题型二：重心定理
例14．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知是圆心为O，半径为R的圆的内接三角形，M是圆O上一点，G是的重心．若，则___________．
【答案】
【解析】【分析】
根据，结合整理可得，再结合运算处理．
【详解】
∵，则
∵，则
∴
同理可得：，
∴
∵G是的重心，则即
∴
故答案为：．
例15．（2022·江苏南京·模拟预测）在中，，，，为的重心，在边上，且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据为的重心，得到，再由和，利用等面积法求得，进而得到，方法一：利用基底法求解；方法二：以坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.
【详解】
解：因为为的重心，
所以，
因为，
所以，则，
因为，所以，
即，所以，
在中，．
方法一：因为，
，
所以，
．
方法二：以坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，
则，，
由方法一可知，，
所以．
例16．（2022·全国·高三专题练习）在中，，，且，，则点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心B．内心
C．外心D．垂心
【答案】A
【解析】
【分析】
过C作，交AB于H，取AB中点D，连接CD，所以，根据向量的线性运算法则，化简可得，根据三角形的性质，分析即可得答案.
【详解】
过C作，交AB于H，取AB中点D，连接CD，如图所示：
根据三角函数定义可得，
因为，
所以，即，
即点P的轨迹在中线CD上，而三角形三边中线的交点为该三角形的重心，
所以点的轨迹一定通过的重心.
故选：A
例17．（2022·全国·高三专题练习）已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ) ＋(1－λ) ＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过（ ）
A．△ABC的内心B．△ABC的垂心
C．△ABC的重心D．AB边的中点
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量的加法的平行四边形法则向量的运算法则，对条件进行化简，得到，根据三点共线的充要条件知道、、三点共线，从而得到点的轨迹一定经过的重心．
【详解】
取AB的中点D，则2＝＋，
∵＝[(1－λ) ＋(1－λ) ＋(1＋2λ) ]，∴＝ [2(1－λ) ＋(1＋2λ) ]＝＋，
而＋＝1，
∴P，C，D三点共线，
∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了向量的加法法则和运算法则，以及三点共线的充要条件，三角形的五心问题，综合性强，属于中档题．
例18．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）在中，为重心，，，则_____.
【答案】-6
【解析】
【分析】
作图，以 为基底，将 和 表示出来，按照数量积的运算规则计算即可.
【详解】
设中点为，为的重心且，
，
，
；
故答案为：.
例19．（2022·四川达州·二模（文））在中，为重心，，，则___________.
【答案】
【解析】【分析】
设中点为，由重心性质知，利用数量积定义可求得，将所求量化为，由数量积的定义和运算律可求得结果.
【详解】
设中点为，
为的重心且，，
，
，
，
.
故答案为：.
例20．（2022·全国·高三专题练习（理））在中，点是的重心，过点作直线分别交线段，于点，（，不与的顶点重合），则的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先设，，由是的重心得到，
设，
得到，，再得到和再由求解即可.
【详解】
设，，，.因为是的重心，
所以.由，，三点共线可知，
.
由平面向量基本定理可知解得，，
所以，，
所以， ，
因为是的重心，所以，故
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：.
例21．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，AB＝1，∠ABC＝60°，·＝－1，若O是△ABC的重心，则·＝________.
【答案】5
【解析】
【分析】
建立直角坐标系，利用向量的坐标运算、数量积运算、三角形重心性质即可求出.
【详解】
如图所示，以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
∵AB＝1，∠ABC＝60°，
∴.设C(a，0)．∵·＝－1，所以，解得a＝4.
∵O是△ABC的重心，延长BO交AC于点D，所以
.
故答案为：5.
例22．（2022·全国·高三专题练习）如图，是的重心，，，是边上一点，且，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
延长AO交BC于E，由已知得点E为BC的中点，且，，D是BC的四等分点，由向量的线性运算可得答案．
【详解】
解：如图，延长AO交BC于E，由已知O为的重心，则点E为BC的中点，且，，由得D是BC的四等分点，则
，又，则，所以，
故答案为：．
例23．（2022·重庆·三模）已知为的重心，记，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
因为为的重心，所以，表示出，则，代入即可得出答案.
【详解】
因为为的重心，所以，所以，而.
故选：A.
例24．（2022·安徽蚌埠·模拟预测（理））已知点P是的重心，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据重心性质和平面向量基本定理判断．
【详解】
如图，是边中点，则共线且，
，
所以，D正确，由于选项ABC均不能保证系数相等，故不正确．
故选：D．
例25．（2022·辽宁·二模）已知点P为△ABC的重心，，点Q是线段BP的中点，则||为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据中点及重心的性质，利用基底表示,平方后根据数量积的计算求解即可.
【详解】
因为点Q是线段BP的中点，P为△ABC的重心，
所以，即，
故平方可得，可得，
故选：C.
例26．（2022·全国·高三专题练习）设O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件得，然后可知.
【详解】
因为，所以，记BC中点为D，则，因为，所以点P的轨迹为射线AD，所以P的轨迹一定通过的重心.
故选：C
例27．（2022·宁夏石嘴山·一模（理））已知G是△ABC重心，若，，则的值为（ ）
A．4B．1C．D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
延长交于，则可得为的中点，再将用表示，然后求两向量的数量积，化简可求得答案
【详解】
延长交于，
因为G是△ABC重心，所以为的中点，
所以，
因为,
所以,
故选：D
例28．（2022·黑龙江·哈九中高三开学考试（理））数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若AB=4，AC=2，则下列各式不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得，然后结合欧拉线、向量运算的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】
是三角形的重心，所以，
，A错误.
根据欧拉线的知识可知，B选项正确.
，所以C选项正确.
，所以D选项正确.
故选：A
例29．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）在中，，为的重心，若，则外接圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先由条件判定为等边三角形，再求得的边长，以正弦定理去求外接圆的半径即可解决.【详解】
由，可得，则有
又在中，，为的重心，则为等边三角形.
则
解之得，则外接圆的半径为
故选：C
例30．（2022·全国·高三专题练习（理））在△ABC中，，O为△ABC的重心，若，则△ABC外接圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由所给条件变形可得，即三角形为正三角，由数量积的运算可求出三角形边长，再由正弦定理求外接圆半径即可.
【详解】
因为，
所以，即.
因为O为△ABC的重心，且，
所以△ABC为等边三角形.
因为，
所以.
因为，
所以△ABC外接圆的半径为.
故选：B
例31．（2022·全国·高三专题练习）已知的三个内角分别为为平面内任意一点，动点满足则动点P的轨迹一定经过的（ ）
A．重心B．垂心C．内心D．外心
【答案】A
【解析】
【分析】
利用正弦定理及向量的线性运算可判断.
【详解】
在中，令线段的中点为，由正弦定理，
得，由，
得
即，而，
则，于是得与同向共线，而它们有公共起点，
即动点的轨迹是射线除点A外),又重心在线段上，
动点的轨迹一定经过的重心．
故选：A.
【方法技巧与总结】
三角形的重心一定在三角形的中线上，所以，在等式中显示出的现象是两个相加的向量，前面的系数相同，还需注意两个系数相同的向量相加的同时还会产生中点．
题型三：内心定理
例32．（2022·全国·高三专题练习）若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（ ）
A．垂心B．重心C．内心D．外心
【答案】C
【解析】
【分析】，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，
则，则当时，即，
点在的角平分线上，同理证明即可求解.
【详解】
，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，
则，则当时，即，点在的角平分线上；
，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，
则，则当时，即，
点在的角平分线上；
，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，
则，则当时，即，
点在的角平分线上，故是的内心.
故选：C.
例33．（2022·全国·高三专题练习）已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈(0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算，结合已知条件，即可判断点轨迹.
【详解】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，
则的方向为∠BAC的平分线的方向.
又λ∈(0，＋∞)，所以λ的方向与的方向相同.
而＝＋λ，
所以点P在上移动，所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心.
故选：.
例34．（2022·全国·高三专题练习）已知中，，，，I是的内心，P是内部（不含边界）的动点.若（，），则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，求得点坐标，用点坐标表示出，根据是内部（不含边界）的动点，求得的取值范围.
【详解】
解：建立如图所示平面直角坐标系，则
，
因为是三角形的内心，设三角形内切圆半径为，
则，解得.
所以，.
依题意点在三角形的内部（不含边界）.
因为，
所以，
所以，
令，则，
由图可知，当过时，.
当，过，即为直线时，.
所以的取值范围时.
故答案为：
例35．（2022·广西柳州·高一期中）设为的内心，，，，则_______________
【答案】
【解析】
【分析】
取中点，作，根据内心的特征可知；利用内切圆半径的求法可求得，由长度关系可求得，利用向量线性运算可表示出，由此可得.
【详解】
取中点，连接，作，垂足分别为，
，为的角平分线，；
又，，，则；
周长，面积，
内切圆半径，，
又，，
，，
，，.
故答案为：.
例36．（2022·全国·高三专题练习）中，a､b､c分别是BC､AC､AB的长度，若，则O是的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【解析】
【分析】
，因为，故得到，，变形得到，故得到在的角平分线上，同理在的角平分线上，进而得到答案.
【详解】
在的角平分线上，同理在的角平分线上，
点为三角形的角平分线的交点
故点是三角形的内心.故选：B.
例37．（2022·全国·高三专题练习）在中，，动点M满足，则直线AM一定经过的（ ）
A．垂心B．内心C．外心D．重心
【答案】B
【解析】
【分析】
延长AC，使得AC=CD，则，由，得，从而可得AM平分，即可得出结论.
【详解】
解：延长AC，使得AC=CD，
则，
因为，所以，
因为，所以，
所以是等腰三角形，
所以点M在BD的中垂线上，所以AM平分，
直线AM一定经过的内心.
故选：B.
例38．（2022·全国·高三专题练习）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.△ABC内一点M满足：，则M一定为△ABC的（ ）
A．外心B．重心C．垂心D．内心
【答案】D【解析】
【分析】
由题意可设，，，其中，，分别为，，方向上的单位向量，把已知向量等式变形，即可证明M在三个内角的角分线上，则答案可求.
【详解】
解：由题意可设，，，
其中，，分别为，，方向上的单位向量，
∵，
∴，
则，
∴=.
∴M在∠BAC的角分线上，同理M在∠ABC与∠ACB的角分线上.
∴M为△ABC的内心.
故选：D.
例39．（2022·全国·高三专题练习）已知O是所在平面上的一点,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若（其中P是所在平面内任意一点），则O点是的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【解析】
【分析】
将所给向量表达式进行变形,表示成与方向上的单位向量的形式,由向量加法运算的性质即可知O在角平分线上,即可得解.
【详解】
因为
则,即
移项可得
即
则
因为 所以
化简可得,即
设为方向上的单位向量,为方向上的单位向量
所以,
则
所以
则在的角平分线上
同理可知 在的角平分线上
因而为的内心
故选:B
【点睛】
本题考查了向量线性运算的化简及应用,三角形内心的向量表示形式,化简过程较为复杂,属于中档题.
【方法技巧与总结】
角平分线定理：若，，则平分线上的向量为，由决定．
角平分线定理证明：令和分别为和方向上的单位向量，是以和为一组邻边的平行四边形过点的的一条对角线，而此平行四边形为菱形，故在平分线上，但平分线上的向量终点的位置由决定．当时，四边形构成以的菱形．
题型四：外心定理
例40．（2022·全国·高三专题练习）在中，，，，点为的外心，若，、，则____________.
【答案】
【解析】
【分析】
令边AB，AC中点分别为D，E，将分别用和表示，再与求数量积即可列式计算作答.【详解】
如图，令边AB，AC中点分别为D，E，连接DO，EO，因点为的外心，于是得，，
，
，，
，，
依题意，，
，
解得，
所以.
故答案为：
例41．（2022·全国·高三专题练习）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【答案】B
【解析】
【分析】
设的中点为，两端同时点乘，由可得答案.
【详解】
设的中点为，因为，
所以，
即，两端同时点乘，
所以
，
所以，
所以点在的垂直平分线上，即经过的外心.
故选：B.
例42．（2022·全国·模拟预测）在中，，，，点为的外心，则______，是三角形外接圆圆心上一动点，则的最小值为______.
【答案】 4 0
【解析】
【分析】
以是中点.以为原点，，所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，表示出的坐标，从而可求出的值，设，则可表示出，由于点是上任一点，所以设，，代入化简可求得结果
【详解】
因为，所以，
所以是中点.以为原点，，所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，则，，，，，，
所以；
圆的方程为.
设，则，，，
所以，因为点在圆上，可设，，，
所以，
当时，的最小值为0.
故答案为：4，0
例43．（2022·全国·高三专题练习）设为的外心，若，则的值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
设外接圆的半径为，由已知条件可得，即且，取的中点，连接可得，计算的值，再由余弦定理求出，在中，由正弦定理即可求解.
【详解】
设外接圆的半径为，
因为，所以，所以，且，
取的中点，连接，则，
因为，所以，即，
所以，
在中由余弦定理可得：
，
在中，由正弦定理可得：，
故答案为：.
例44．（2022·全国·高三专题练习）在中，点为的外心，，则______.
【答案】18
【解析】
【分析】
结合图象，利用转化法求得.
【详解】
因为点为的外心，
取点为的中点，
则，
所以.
故答案为：
例45．（2022·宁夏六盘山高级中学二模（理））已知△ABC中，，点O是△ABC的外心，则________.
【答案】##
【解析】
【分析】
首先判断的位置，利用已知条件转化求解向量的数量积即可．
【详解】
解：在中，，，点是的外心，又，所以是等腰直角三角形，所以是三角形的斜边中点，所以．
故答案为：．
例46．（2022·全国·高三专题练习）已知在△ABC中，AB=1，BC=，AC=2，点O为△ABC的外心，若，则有序实数对为________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据向量数量积的定义及余弦定理求出，再根据外心的性质得到、，再根据向量数量积的运算律得到方程组，解得即可；
【详解】
解：
，
∵O为的外心，
∴，，
由可得：，
解得，所以为.故答案为：
例47．（2022·浙江·宁波诺丁汉附中模拟预测）在中，点O、点H分别为的外心和垂心，，则________.
【答案】8
【解析】
【分析】
根据H为垂心，得到，设，外接圆的半径为，再分别利用余弦定理得到，然后由求解.
【详解】
解：，
，
因为H为垂心，
所以，，
设，外接圆的半径为，
由余弦定理得，
，
，
同理，
，
，
所以，
，
，
，
，
，
所以8，
故答案为：8
例48．（2022·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模（文））已知的外心为，若，且，则___________.
【答案】60°##
【解析】
【分析】
根据向量的运算，结合条件，可知O为BC的中点，再结合，可得 为等边三角形，由此可求答案.
【详解】
设的边BC的中点为D,
则 ,又，
即O,D两点重合，O为BC的中点，即BC为外接圆直径，
则,又，
故 为等边三角形，故 ,即，
故答案为：60°
例49．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，，，（其中）.
(1)若点C在直线AB上，且，求的值.
(2)若点C为的外心，求点C的坐标.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用向量平行的条件和向量垂直的条件列出x,y之间的方程，解方程可得答案.
（2）利用三角形外心的几何性质可得到，进而推得，再根据得到，联立可解得答案..
(1)
因点在直线上，所以，
于是存在，使，即，
又，所以；
因为，所以，
即，
整理得：，
所以.
(2)
因点为的外心，所以，
整理得：
同理由，得，所以，
所以，
又，于是，
解得：，所以点的坐标为.
例50．（2022·全国·高三专题练习）设为的外心，，，分别为角，，的对边，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据为的外心，过点作，，得到分别为的中点，由向量的数量积的运算公式，求得,，结合，代入即可求解.
【详解】
如图所示，因为为的外心，过点作，，
则点分别为的中点，
可得,同理可得，
又由，
因为，，可得.
故选：A.
例51．（2022·全国·高三专题练习）已知的外心为，，则（ ）
A．11B．10C．20D．21
【答案】D
【解析】
【分析】
首先过作，垂足分别为，，得到，，分别为，的中点，化简，即可得到答案.
【详解】
过作，垂足分别为，，如图所示：
因为的外心为，所以，，分别为，的中点.
因为，所以，，
所以
.
故选：D例52．（2022·全国·模拟预测（理））在中，，为的外心，，，则（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设的中点为D,E，将，变为，根据数量积的几何意义可得，同理求得，根据数量积的定义即可求得答案.
【详解】
如图，设的中点为D,E，连接OD,OE,则 ,
故，即 ,
即，故,
，即 ,
即，故,
故,
故选：B
例53．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）在中，，为的外心，则（ ）
A．－4B．4C．－6D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
设的外接圆半径为r，，由余弦定理得到，和．把整理为，整体代入即可．
【详解】
设的外接圆半径为r，．
由余弦定理得：，即，所以
，即，所以．
所以
因为，，
所以．
故选：C．
例54．（2022·江西上饶·二模（理））已知的外心为点O，M为边上的一点，且，则的面积的最大值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先用、表示，再根据向量数量积的运算律及基本不等式求出的最大值，最后根据三角形面积公式计算可得；
【详解】
解：因为，所以，
所以
所以，当且仅当时，取等号；所以，当且仅当时，取等号；
故选：C
例55．（2022·全国·高三专题练习）在中，角的边长分别为，点为的外心，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
作出辅助线，对数量积进行转化得到，求出的取值范围，进而求出答案.
【详解】
取的中点，则，所以.
因为，则，即.
所以，
故选：D.
例56．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量，满足，，D为线段OA上一点，E为△AOB的外心，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【解析】
【分析】以O为原点，OA边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设，，利用数量积的坐标运算可得的值.
【详解】
由得，
以O为原点，OA边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则，
设，，，则，
∴，
∴.
故选：D.
例57．（2022·全国·高三专题练习）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）
A．垂心B．内心C．外心D．重心
【答案】C
【解析】
【分析】
设的中点是，根据题意化简可得，即可确定的轨迹.
【详解】
设的中点是，
，
即，所以，
所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过的外心，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查向量的运算法则，熟练掌握向量的运算法则，数量积与垂直的关系，三角形的外心定义是解题的关键，属于较难题.
【方法技巧与总结】
外心定理：垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等．
（1），；；
（2），，；
（3），，．
题型五：垂心定理
例58．（2022·全国·高三专题练习）已知为的垂心，且，则角A的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
如图建系，可得各点坐标，根据题意，可得坐标间关系，根据O为垂心，可得，化简整理，可得，，即可求得答案.
【详解】
建立如图坐标系，
设，，，，
∵，
∴，∴①，
∵为的垂心，∴，
∴，∴②，
由①②得，，
∴，，
∴，
故选：B．
例59．（2022·全国·高三专题练习）设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则点P的轨迹经过的（ ）
A．内心B．外心C．垂心D．重心
【答案】C
【解析】
【分析】
由得出，结合三角形的性质得出答案.
【详解】
则，即，故
即点P的轨迹经过的垂心
故选：C
例60．（2022·全国·高三专题练习）若是的垂心，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】【分析】
利用垂心的性质，连接并延长交于，得到，把已知条件中的式子化简，得到，再两边同乘以，利用数量积、正弦定理进行整理化简，得到，再把化为，整理后得到值.
【详解】
在中，，
由，
得，
连接并延长交于，
因为是的垂心，所以，，
所以
同乘以得，
因为，所以，
由正弦定理可得
又，所以有，
而，
所以，
所以得到，而，所以得到，
故选：C.
例61．（2022·全国·高三专题练习）在中，若，则下列说法正确的是（ ）
A．是的外心B．是的内心
C．是的重心.D．是的垂心
【答案】D
【解析】
【分析】
首先利用数量积的运算公式变形，判断选项.
【详解】
∵，∴，
∴，∴，
同理由，得到，
∴点是的三条高的交点.
故选：D
例62．（2022·全国·高三专题练习）已知点O为△ABC所在平面内一点，且，则O一定为△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．垂心D．重心
【答案】C
【解析】
利用向量的等式关系，转化成，利用向量加减法运算化简得到，即证，再同理证得，即得是的垂心．
【详解】
由得：，
即，故，
故，，
又，，
，即，
同理，即，所以是的垂心．
故选：C.例63．（2022·上海·高三专题练习）三角形所在平面内一点P满足，那么点P是三角形的（ ）
A．重心B．垂心C．外心D．内心
【答案】B
【解析】
先化简得，即得点P为三角形的垂心.
【详解】
由于三角形所在平面内一点P满足，
则
即有，
即有，
则点P为三角形的垂心.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
例64．（2022·全国·高三专题练习）点P为所在平面内的动点，满足，，则点P的轨迹通过的
A．外心B．重心C．垂心D．内心
【答案】C
【解析】
【分析】
对题目的式子两边乘以，得到所在直线为高所在直线，即可．
【详解】
处理原式得到
故所在的直线与三角形的高重合，故经过垂心，故选C．
例65．（2022·全国·高三专题练习）若为所在平面内一点，且则点是的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【答案】D
【解析】【分析】
由得到，从而得到，同理证明即可.
【详解】
，
得，即；
，
得，即；
，
，即，所以为的垂心.
故选：D.
例66．（2022·全国·高三专题练习）在中，，，为的垂心，且满足，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意作出图形，然后根据，设设，则，进而根据平面几何性质表示出相关边的数量关系，然后根据平面向量的运算法则即可得出.
【详解】
如图所示，为的中点，不妨设，则.因为，则，则，，由此可得.
故答案为：.
【方法技巧与总结】，即
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