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最新高考数学二轮复习讲义重难点突破篇 专题27 直线与圆的综合应用
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这是一份最新高考数学二轮复习讲义重难点突破篇 专题27 直线与圆的综合应用，文件包含专题27直线与圆的综合应用教师版docx、专题27直线与圆的综合应用学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共74页， 欢迎下载使用。
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6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
专题27 直线与圆的综合应用
【题型归纳目录】
题型一：距离的创新定义
题型二：切比雪夫距离
题型三：曼哈顿距离、折线距离、直角距离问题
题型四：圆的包络线问题
题型五：阿波罗尼斯圆问题、反演点问题、阿波罗尼斯球问题
题型六：圆中的垂直问题
题型七：圆的存在性问题
【典例例题】
题型一：距离的创新定义
例1．（2022·全国·高三专题练习）数学家华罗曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间的距离的几何问题，结合上述观点，可得方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由可得
4
表示点（x，1）到定点（-3，0）和（3，0）的距离之差等于4，
由双曲线的定义可知，点（x，1）在以（-3，0）和（3，0）为焦点，
的双曲线的右支上，所以，所以双曲线方程为，
令可得，因为，所以，
即方程的解是，
故选：C.
例2．（2022·安徽阜阳·高三期末（理））闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为和，这两组数据间的闵氏距离定义为，其中q表示阶数.现有下列四个命题：①若，则；
②若，其中，则；
③若，其中，则；
④若，其中，则的最小值为.
其中所有真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】对于①：，故①正确.
对于②：，故②错误.
对于③：，不妨设，，且均为非负数，所以故③正确.
对于④：构造函数，则，的最小值即两曲线动点间的最小距离，设与直线平行的切线方程为，联立 得：，令得，，所以切线方程为：与之间的距离，所以最小值为，故④正确.
故选C.
例3．（2022·全国·高三专题练习（文））费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°.根据以上性质，已知，，，为内一点，记，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设为坐标原点，由，，，
知,且为锐角三角形，
因此，费马点M在线段上，设，如图，
则为顶角是120°的等腰三角形，故，
所以，
则的最小值为.
故选：B
例4．（2022·全国·高三专题练习）在直角坐标系中，已知点，，记，其中为正整数，称为点，间的距离．下列说法正确的是（ ）．
A．若，则点的轨迹是正方形
B．若，则与重合
C．
D．
【答案】A
【解析】由得，所以点的轨迹是以为中心的正方形，故A正确；
记，，则，，
若，则，显然有，满足此等式，可取点，，显然与不重合，故B错误；
取点，，，则，
此时，故C错误，也可得D错误．
故选：A.
例5．（2022·北京·牛栏山一中高三期中）如图，平面内两条直线和相交于点，构成的四个角中的锐角为.对于平面上任意一点，若，分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”，给出下列四个命题：
①点有且仅有两个；
②点有且仅有4个；
③若，则点的轨迹是两条过点的直线；
④满足的所有点位于一个圆周上.
其中正确命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】命题①，如图，有且只有两个点的距离坐标为，即命题①正确.
命题②，如图，虚线分别为到两条直线的距离为2和3的平行直线，四条虚线总共4个交点，故点有且仅有4个，即命题②正确；
命题③，如图，点的轨迹是两条过点的直线l3和l4，即命题③正确；
命题④，如图，和分别在直线l1和l2上，
易得，则点M都在以O为圆心，半径为的圆上，
设点，即点A到两条直线的距离都是，且满足，
由几何关系可得，，即点A在圆O外，故命题④错误.
综上，正确命题为①②③.
故选：C.
例6．（多选题）（2022·河北廊坊·高三阶段练习）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义．设两组数据分别为和，这两组数据间的闵氏距离定义为，其中q表示阶数．下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，，则
B．若，，其中a，，则
C．若，，其中a，b，c，，则
D．若，，其中a，，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A：，故A正确．
对于B：，，故B错误．对于C：，，不妨设，，因为，所以，所以，所以，所以，故C正确．
对于D：构造函数，，则的最小值即两曲线动点间的最小距离，设直线与曲线相切，则由，得，由，得，所以切线方程为，
所以两曲线动点间的最小距离为，故D正确．
故选：ACD
例7．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）（多选）定义点到直线的有向距离为.已知点，到直线的有向距离分别是，，给出以下命题，其中是假命题的是（ ）
A．若，则直线与直线平行
B．若，则直线与直线平行
C．若，则直线与直线垂直
D．若，则直线与直线相交
【答案】ABC
【解析】设点，的坐标分别为，，则，.若，则，即，所以
.
若，即，则，都在直线上，此时直线与直线重合，故选项，，均为假命题.
当时，，在直线的两侧，则直线与直线相交，故选项D为真命题.
故选：ABC
例8．（2022·全国·高三专题练习）记，其中、，已知、是椭圆上的任意两点，是椭圆右顶点，则的最大值是______.
【答案】【解析】设点，其中，易知点，
则.
①当时，，
，则，当时，取最大值；
②当时，，
，则，当时，取最大值.
综上所述，的最大值，同理可知，的最大值也为.
因此，的最大值是.
故答案为：.
例9．（2022·四川凉山·三模（文））点是内部或边界上的点，若到三个顶点距离之和最小，则称点是的费马点（该问题是十七世纪法国数学家费马提出）.若，，时，点是的费马点，且已知在轴上，则的大小等于______.
【答案】
【解析】先证明：若到三个顶点距离之和最小，则
如图将绕点B逆时针旋转60°得到，则≌，
，所以是等边三角形，，
，当四点共线时取得最小值，
此时，
同理可得
所以命题得证.
点是的费马点，且已知在轴上，
，
，
所以，
所以=.
故答案为：
例10．（2022·浙江宁波·三模（理））定义：曲线上的点到点的距离的最小值称为曲线到点的距离.已知曲线到点的距离为，则实数的值为___________．
【答案】或
【解析】设曲线上的一点，
则
令，有
当时，在时，取得最小值，
所以，解得或（舍去）
当时，在时取得最小值，
所以，解得或（舍去）
综上所述，实数的值为或.故答案为：或.
例11．（2022·上海·模拟预测）记到点与直线：的“有向距离”．
（1）分别求点与到直线：的“有向距离”，由此说明直线与两点、的位置关系．
（2）求证：到两条相交定直线（，不同时为零）的“有向距离”之积等于非零常数的动点的轨迹为双曲线．
（3）利用上述（2）结论证明：曲线为双曲线，并求其虚轴长．
【解析】（1）由，．
说明两点、分别在直线的两侧，且点距离直线较远
（2）证明：设两条相交的直线方程为（，不同时为零），动点，则有向距离之积为
即
即形式．显然所求动点的轨迹为双曲线．
反之，可以证明：双曲线上任意一点到两条渐近线的“有向距离”之积为常数．
证明：设双曲线方程上任意一点为，它到双曲线的两条渐近线的有向距离之积为
（3）因为方程可以变为，
所以方程表示为到轴和直线的有向距离之积为的轨迹，
因此曲线为双曲线，且该双曲线的两条渐近线为轴和直线．
因为方程可以变为，所以方程表示的曲线在第一、三象限内，双曲线实轴所在的直线为两条渐近线所夹角的平分线，于是双曲线的实轴所在的直线的方向向量为，斜率为，因此双曲线实轴所在的直线为．联立方程
求得解得双曲线的顶点为，
因此．
故双曲线的实轴长为．
设过点作实轴的垂直线交轴为，则直线的方程为．
令，得．
因此，．
故双曲线的虚轴长为．
题型二：切比雪夫距离
例12．（2022·全国·高三专题练习（文））在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，给出四个命题，正确的是________.
①对任意三点、、，都有；
② 到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形；
③ 已知点和直线，则；
④ 定点、，动点满足，则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有个公共点.
【答案】①②③④
【解析】①对任意三点、、，若它们共线，设、、，
如下图，结合三角形相似可得或，或，或，则；
若、或、对调，可得；
若、、不共线，且中为锐角或钝角，由矩形或矩形，
；
则对任意的三点、、，都有，命题①正确；
②到原点的“切比雪夫距离”等于的点，即为，若，则；
若，则，故所求轨迹是正方形，命题②正确；
③设点是直线上一点，且，可得，
由，解得，即有.
当时，取得最小值；
由，解得或，即有，
的取值范围是，无最值，所以，、两点的“切比雪夫距离”的最小值为，命题③正确；
④定点、，动点，满足，
可得不在上，在线段间成立，可得，解得.
由对称性可得也成立，即有两点满足条件；
若在第一象限内，满足，即为，为射线，
由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，
则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有个公共点，命题④正确.
故答案为：①②③④.
例13．（2022·全国·高三专题练习（文））在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作.
（1）求证：对任意三点、、，都有；
（2）已知点和直线，求；
（3）定点，动点满足（），请求出点所在的曲线所围成图形的面积.
【解析】（1）证明：设，则
，同理可得，
所以，
（2）设为直线上一点，则，
由，解得，即有，当时，取得最小值；
由，解得或，即有，
的范围是，无最大值，综上可得，两点的最小值为，
所以；
（3）设轨迹上动点为，则，
等价于或，
所以点的轨迹是以为中心，边长为的正方形，
所以点所在的曲线所围成图形的面积为
例14．（2022·全国·高三专题练习（文））在平面直角坐标系中，定义为两点、
的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到
直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列三个命题：
① 对任意三点、、，都有；
② 已知点和直线，则；
③ 定点、，动点满足（），
则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点；
其中真命题的个数是
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】设，由题意可得：
同理可得：,则：
，
命题①成立；
设点Q是直线y=2x-1上一点，且Q（x,2x-1），可得，
由，解得，即有，当时取得最小值；
由，解得或，即有，
的范围是，无最小值.综上可得，P,Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为.
说法②正确.
定点、，动点满足（），则：
，
显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设x≥0，y≥0.
(1)当时，有，得：；
(2)当时，有，此时无解；
(3)当时，有；
则点P的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.
结合图象可知，点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点，命题③正确.
综上可得命题①②③均正确，真命题的个数是3.
本题选择D选项.
例15．（2022·全国·高三专题练习（文））在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列三个命题：
①对任意三点、、，都有；
②已知点和直线，则；
③定义，动点满足，则动点的轨迹围成平面图形的面积是4；
其中真命题的个数（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B【解析】①设，则，
，
显然，同理，
∴，①正确；
②设是直线上任一点，则，
，易知在上是增函数，在上是减函数，∴时，，②错；
③由得，易知此曲线关于轴，轴，原点都对称，它是以为顶点的正方形，其转成图形面积为，③错．
故选：B．
例16．（2022·全国·高三专题练习（文））在平面直角坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题:
①对任意三点，都有
②已知点和直线则
③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形；
其中真命题的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【答案】D
【解析】① 对任意三点、、，若它们共线，设，、，，，，如图，结合三角形的相似可得，，为，，，或，，，则；
若，或，对调，可得；
若，，不共线，且三角形中为锐角或钝角，如图，
由矩形或矩形，；
则对任意的三点，，，都有，故①正确；
②设点是直线上一点，且，
可得，，
由，解得，即有，
当时，取得最小值；
由，解得或，即有，
的范围是，无最值；
综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为；故②正确；
③由题，到原点的“切比雪夫距离”的距离为1的点满足，即或，显然点的轨迹为正方形，故③正确；
故选：D
题型三：曼哈顿距离、折线距离、直角距离问题
例17．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）“出租车几何”或“曼哈顿距离”（Manhattan Distance）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种被使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系内，对于任意两点、，定义它们之间的“欧几里得距离”，“曼哈顿距离”为，则下列说法正确的是（ ）
A．若点为线段上任意一点，则为定值
B．对于平面上任意一点，若，则动点的轨迹长度为
C．对于平面上任意三点、、，都有
D．若、为椭圆上的两个动点，则最大值为【答案】AC
【解析】对于A选项，设点为线段上任意一点，
则，A对；
对于B选项，设点，则，
当，时，则；当，时，则；
当，时，则；当，时，则.
作出点的轨迹如下图所示：
由图可知，点的轨迹是边长为的正方形，故动点的轨迹长度为，B错；
对于C选项，设点、、，
由绝对值三角不等式可得，
同理可得，
所以，，即，C对；
对于D选项，设点、，
不妨设，，
则
，其中为锐角，且，
取，，等号成立，D错.
故选：AC.
例18．（多选题）（2022·山东省实验中学模拟预测）对于平面直角坐标系内的任意两点，，定义它们之间的一种“距离”为．已知不同三点A，B，C满足，则下列结论正确的是（ ）
A．A，B，C三点可能共线
B．A，B，C三点可能构成锐角三角形C．A，B，C三点可能构成直角三角形
D．A，B，C三点可能构成钝角三角形
【答案】ACD
【解析】令点，设点，则有，
由得：，
当时，A，B，C三点共线，且有成立，A正确；
当时，则A，B，C三点不共线，
若，有，且成立，为直角三角形，C正确；
若，显然是钝角，且成立，为钝角三角形，D正确；
若，不成立，显然A，B，C三点不可能构成锐角三角形，B不正确.
故选：ACD
例19．（多选题）（2022·江苏·金陵中学高三阶段练习）对于直角坐标平面内的任意两点，，定义它们之间的一种“距离”：，则下列说法正确的是（ ）
A．若点C是线段AB的中点，则
B．在中，若，则
C．在中，
D．在正方形ABCD中，有
【答案】ACD
【解析】对于A，，故A正确；
对于B，取，则，而，不满足，故B错误；
对于C，设，则，因为
，
同理，所以，故C正确；
对于D，设正方形ABCD的边长为a，当正方形的边与坐标轴平行时，易知，如图，设AB与x轴的夹角为，由图可知
，故D正确.
故选：ACD
例20．（多选题）（2022·湖北·十堰市教育科学研究院高三期末）“曼哈顿距离”是由赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系中，点，的曼哈顿距离为．若点，Q是圆上任意一点，则的取值可能为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】ABC
【解析】依题意圆，
设，
当时，，
，，，
当时，,
，，.
综上所述，，ABC选项符合，D选项不符合.
故选：ABC
例21．（多选题）（2022·江苏无锡·高三期末）已知平面直角坐标系中两点和，用以下方式度量两点距离：，则下列说法正确的是（ ）
A．在平面直角坐标系中，，，满足的点的横坐标范围为
B．在平面直角坐标系中，任意取三点，恒成立
C．在平面直角坐标系中，点是坐标原点，则满足的点所形成的图形是圆D．在平面直角坐标系中，点在上，，则满足的点共有个
【答案】ABD
【解析】 对于A，设，因为 ，
，所以，故A正确.
因为，，
对于B，令，，，，故B正确.
对于C，设，不是圆，故C不正确.
对于D，设，，，
①时，，，
②时，，，
③时，时，，
④时，，，故D正确，
故选：ABD.
例22．（多选题）（2022·江苏苏州·高三阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点､，定义为两点A，B的“折线距离”，又设点P及直线l上任意一点Q，称的最小值为点P到直线l的“折线距离”，记作，下列说法正确的是（ ）
A．对任意的两点A，B，都有
B．对任意三点A､B､C，都有
C．已知点和直线，则
D．已知点，动点满足，则动点P的轨迹围成平面图形的面积是2
【答案】ABD
【解析】,
所以，即，A正确；
由绝对值三角不等式知，，
所以，即，B正确；设是上任一点，，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为2，即，C错；
设，则，
在平面直角坐标系中，曲线是一个正方形，
如图，，得正方形内部面积为，D正确．
故选：ABD．
例23．（2022·全国·模拟预测（文））设点是：上的动点，点是直线：上的动点，记，则的最小值是______．
【答案】
【解析】依题意，设，显然圆C与直线l相离，
，当且仅当时取“=”，
当时，，，，
，其中锐角由确定，
此时，当且仅当时取“=”，
当时，，，，
，其中锐角由确定，此时，当且仅当时取“=”，
显然，因此，当时，，则，
所以的最小值是.
故答案为：
例24．（2022·江苏南通·一模（文））在平面直角坐标系中有两点、，现定义由点A到点B的折线距离，若已知点，点M为直线上的动点，则取最小值时点M的坐标是______．
【答案】
【解析】因点M在直线上，设，
于是得，
当时，，当时，，当时，，
因此，当且仅当时，取最小值，
所以点M的坐标是.
故答案为：
例25．（2022·重庆八中高三阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，定义，两点间的直角距离为，将曲线依次以原点O为中心逆时针旋转三次，得到由四段圆弧构成的曲线E.若点P为曲线E上任意一点，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】由对称性可知，可只考虑在的情形，
设，
则，
，，
的取值范围为.
故答案为：.
例26．（2022·全国·高三专题练习（文））在平面直角坐标系中，定义、两点间的直角距离为，如图，是圆当时的一段弧，是与轴的交点，将依次以原点为中心逆时针旋转五次，得到由六段圆弧构成的曲线．则_______．若点为曲线上任一点，则的最大值为________．
【答案】 【解析】由图可知，点位于第一象限，在圆的方程中，令，可得，则点.
如图可得，点，所以；
根据对称性，只需讨论点在第一象限的情况：
当点在上时，设，则，则，
所以，
，则，当时，；
当点不在上时，所在圆的圆心为，
易知直线轴，设，，同理可得，则，，
，
，则，当时，.
因为，所以，的最大值为.
故答案为：.
例27．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，定义，两点的折线距离.设点，，，，若，则的取值范围___________.
【答案】
【解析】由题意，设，，
所以，
当时，，
，，，时，，
，，，
综上，，
故答案为：，
例28．（2022·上海·复旦附中模拟预测）在平面直角坐标系中，两点间的“L-距离”定义为则平面内与轴上两个不同的定点的“L-距离”之和等于定值（大于）的点的轨迹可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，再设动点，动点到定点的“L距离”之和等于，由题意可得：，即，当时，方程化为；当时，方程化为；当时，方程化为；当时，方程化为；当时，方程化为；当时，方程化为；结合题目中给出四个选项可知，选项A中的图象符合要求，故选A．
考点：轨迹方程．
例29．（2022·全国·高三专题练习）“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若，，则，两点的“曼哈顿距离”为，下列直角梯形中的虚线可以作为，两点的“曼哈顿距离”是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据题意：，两点的“曼哈顿距离”为，再结合四个选项可以判断只有C选项符合题意.
故选：C．
题型四：圆的包络线问题
例30．（2022•重庆月考）设直线系，则下列命题中是真命题的个数是
①存在一个直线与所有直线相交；
②中所有直线均经过一个定点；
③对于任意实数，存在正边形，其所有边均在中的直线上；
④中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
A．0B．1C．2D．3
【解析】解：根据直线系，得到所有直线都为圆心为，半径为1的圆的切线．
①不存在一条直线与所有直线相交，因此不正确；
②所有的直线与一个圆相切，没有过定点，②不正确；
③对于任意实数，作圆的外切正边形，其所有边均在中的直线上，因此正确；
④中的直线所能围成的正三角形的边长不一等，故它们的面积不一定相等，
如图中：等边三角形和面积不相等，故④不正确．
所以真命题的个数为1个
故选：．
例31．（2022春•鹤岗校级期末）设直线系，对于下列四个结论：
（1）当直线垂直于轴时，或；（2）当时，直线倾斜角为；
（3）中所有直线均经过一个定点；
（4）存在定点不在中任意一条直线上．
其中正确的是
A．①②B．③④C．②③D．②④
【解析】解：直线系，
（1）当直线垂直于轴时，则，解得或或，故（1）错误；
（2）当时，直线倾斜角为，故（2）正确；
（3）如图示：
，
由 直线系，
可令，
消去可得 ，故 直线系表示圆 的
切线的集合，故（3）不正确．
（4）因为对任意，存在定点不在直线系中的任意一条上，故（4）正确；
故选：．
例32．（2022春•朝阳区校级期末）设直线系．下列四个命题中不正确的是
A．存在一个圆与所有直线相交
B．存在一个圆与所有直线不相交
C．存在一个圆与所有直线相切
D．中的直线所能围成的正三角形面积都相等
【解析】解：由点到直线：的距离为
，所以直线系表示圆切线的集合；
对于，由于直线系表示圆的所有切线，所以存在这样的圆，
使所有的直线与圆相交，所以正确；
对于，存在这样的圆，
使所有的直线与圆不相交，所以正确；
对于，由题意知，存在圆，
使所有的直线都与这个圆相切，所以正确；
对于，如图所示，中的直线所能围成的正三角形有两类，
其一是如型，是圆的外切三角形，此类面积都相等；
另一类是在圆同一侧，如型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，
所以面积大小不一定相等，选项错误．
故选：．
例33．（2022•西湖区校级模拟）已知直线与圆相切，则满足条件的直线有 条
A．1B．2C．3D．4
【解析】解：由已知，直线满足到原点的距离为1，到点的距离为2，
满足条件的直线即为圆和圆的公切线，
圆和圆外切，
这两个圆有两条外公切线和一条内公切线，
满足条件的直线有3条．
故选：．例34．（2022•安徽模拟）已知直线与圆相交，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】解：圆心到直线的距离为，故，
故选：．
例35．（多选题）设有一组圆．下列四个命题中真命题的是
A．存在一条定直线与所有的圆均相切
B．存在一条定直线与所有的圆均相交
C．存在一条定直线与所有的圆均不相交
D．所有的圆均不经过原点
【解析】解：根据题意得：圆心，
圆心在直线上，故存在直线与所有圆都相交，正确；
考虑两圆的位置关系，
圆：圆心，半径为，
圆：圆心，，即，半径为，
两圆的圆心距，
两圆的半径之差，
任取或2时，，含于之中，选项错误；
若取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项错误；
将带入圆的方程，则有，即，
因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在使上式成立，即所有圆不过原点，选项正确．
故选：．
例36．（多选题）（2022•思明区校级月考）已知圆，直线，下面五个命题，其中正确的是
A．对任意实数与，直线和圆有公共点
B．对任意实数与，直线与圆都相离
C．存在实数与，直线和圆相离
D．对任意实数，必存在实数，使得直线与圆相切
E．对任意实数，必存在实数，使得直线与圆相切
【解析】解：选项，由题意知圆的圆心为，半径为，直线的方程可以写作，过定点，因为点在圆上，所以直线与圆相切或相交，
任意实数与，直线和圆有公共点，正确，错误；
选项，由以上分析知不存在实数与，直线和圆相离，错误；
选项，当直线与圆相切时，点恰好为直线与圆的切点，故直线与直线垂直，①当时，直线与轴垂直，则，即，解得，存在，使得直线与圆相切；
②当时，若直线与直线垂直，则，
直线的斜率为，
所以，即，
此时对任意的，均存在实数，使得，则直线与直线垂直，
综上所述，对任意实数，必存在实数，使得直线与圆相切，正确．
选项，点到直线的距离为，
令，当时，；
当时，，即此时恒成立，
直线与圆必相交，故此时不存在实数，使得直线与圆相切，错误．
故选：．
例37．（2022•启东市校级模拟）在平面直角坐标系中，对任意的实数，集合中的点都不在直线上，则集合所对应的平面图形面积的最大值为 ．
【解析】解：将方程看做的一元二次方程，即，
集合中的点都不在直线上，
无解，
即对应的判别式△，
即，
整理得，
即集合所对应的平面图形为圆心为，半径为1的圆以及内部，
集合所对应的平面图形面积的最大值为，
故答案为：
题型五：阿波罗尼斯圆问题、反演点问题、阿波罗尼斯球问题例38．（2022•赣州期末）如图，在等腰梯形中，，，分别是底边，的中点，把四边形沿直线折起，使得平面平面．若动点平面，设，与平面所成的角分别为，，均不为．若，则动点的轨迹围成的图形的面积为
A．B．C．D．
【解析】解：由题意，，，
，，
．
以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，
设，，，，，则
，
，即，轨迹为圆，面积为．
故选：．
【点睛】本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
例39．（2022•青羊区校级月考）阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将该圆称为波罗圆．若平面内两定点、间的距离为2，动点满足，当、、不共线时，三角形面积的最大值是
A．B．C．D．
【解析】解：如图所示，以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，
则、，设，
因为，所以，
平方并整理得：，即，
所以面积的最大值是．
故选：．
【点睛】本题主要考查轨迹方程及其应用，属于基础题．
例40．（2022•沙坪坝区校级期中）古希腊数学家波罗尼斯（约公元前年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个园称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，设，，动点满足，则动点的轨迹围成的面积为
A．B．C．D．
【解析】解：设，
则，
同理，
而，
，
化简得：，即，
整理得：，
从而的轨迹是以为圆心，4为半径得圆，
动点的轨迹围成的面积为，故选：．
例41．（2022•七模拟）阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两个定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人把这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知定点，，动点满足，则动点的轨迹为一个阿波罗尼斯圆，记此圆为圆，已知点在圆上（点在第一象限），交圆于点，连接并延长交圆于点，连接，当时，直线的斜率为
A．B．C．D．
【解析】解：如图所示，设动点，则有，
化简可得，即圆的方程为：，
由正弦定理可得，，解得，
所以为等边三角形，
过圆心作于点，则，
所以，
故．
故选：．
【点睛】本题考查了动点轨迹方程的求解，圆的方程的应用，直线与圆位置关系的应用，要掌握常见的求解轨迹的方法：直接法、定义法、代入法、消参法、交轨法等等，属于中档题．
例42．（2022•余姚市校级模拟）如图，已知平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，，，，，是平面上的一动点，且直线、与平面所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是
A．B．C．D．1
【解析】解：，，，，
，同理：．
为直线与平面所成的角，为直线与平面所成的角，
，又，
，
，
在平面内，以为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，
则，．设，
，整理得．
点在平面内的轨迹为以为圆心，以4为半径的上半圆．
平面平面，，，
为二面角的平面角．
当与圆相切时，最大，取得最小值．
此时，，，．
．
故选：．
例43．（2022•双流区校级一模）已知三棱锥中，底面为等边三角形，，，点为的中点，点为的中点．若点、是空间中的两动点，且，，则
A．3B．4C．6D．8
【解析】解：，底面为等边三角形，且，
，，
建立如图所示空间直角坐标系．
则，，，，2，，，
又为的中点，，
点为的中点，，，，
设，，，由，
取，，
则，，，
，
点在以，0，为球心，以1为半径的球上，同理也在这个球上，
且，为球的直径，
则
．
故选：．
例44．（2022春•宝山区校级期末）阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，已知、分别是圆，圆上的动点，是坐标原点，则的最小值是 ．
【解析】解：设，，设，若，整理得，
由圆方程得，解得．则对于圆上任意一点，．
因为，
当且仅当，，，四点共线时，等号成立．
故答案为：．
【点睛】本题考查以圆为背景的轨迹问题，距离的最值问题，属于中档题．
例45．（2022春•新华区校级期末）阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点、间的距离为2，动点满足，则的最小值 ．
【解析】解：根据题意，以经过，的直线为轴，的中点为坐标元福安，线段的垂直平分线为轴，
建立直角坐标系，则，，
设，
若，即，即，
变形可得，即，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
变形可得：，且，
则有，
又由，则的最小值为；
故答案为：．
例46．已知是边长为2的正方形的内切圆，是上任意一点，则的最小值为 ．
【解析】解：如图所示：
取的中点
所以，又
所以所以，
所以，，三点共线时取最小值为．
所以
例47．（2022•温州期末）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果击中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点、的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：和点，点，为圆上动点，则的最小值为 ．
【解析】解：如图，取点，连接、．
，，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
的最小值为的长，
，，
故答案为：．
例48．（2022春•锡山区校级期中）点为圆上一动点，为圆上一动点，为坐标原点，则的最小值为 ．
【解析】解：为圆上一动点，为圆上一动点，为坐标原点，
取，则，
，
，
，
故答案为：9．
例49．（2022•成都模拟）在长方体中，已知底面为正方形，为的中点，，点是正方形所在平面内的一个动点，且，则线段的长度的最大值为 ．
【解析】解：在正方形所在平面内建立平面直角坐标系，设
则有，．
，可得．
点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，线段的长度的最大值为．
故答案为：6
例50．（2022•浙江二模）棱长为36的正四面体的内切球球面上有一动点，则的最小值为 ．
【解析】解：由阿波罗尼斯球得内切球球心是线段上以，为定点，
空间中满足的点的集合，
连结并延长交平面于，交内切球上方的点设为，
过作，交于，连结，，
设，由已知得，，
，，解得，
，
，，
，
在中，，，
，
．
的最小值为．
故答案为：．
例51．（2022春•诸暨市月考）如图，在正方体中，，点，在线段上，且，点是正方体表面上的一动点，点，是空间两动点，若且，则的最小值为 ．
【解析】解：如图，由题意可得，，
在线段上取一点，使得，，
设的中点为，
由于，则点，在以为直径的球的表面上，球心为，球的直径为4，
由于，故是球的直径，
即，
故要求的最小值，只需要求出的最小值，
设点在平面内的射影为，则当在处时，有最小值，
此时，故答案为：
题型六：圆中的垂直问题
例52．（2022•蓟县一模）已知圆，过圆内定点作两条相互垂直的弦和，那么四边形面积最大值为
A．21B．C．D．42
【解析】解：设圆心到、的距离分别为，．
则．．
四边形的面积为：
．
当且仅当时取等号，
故选：．
例53．（2022•湖北模拟）过圆内一点，作倾斜角互补的直线和，分别与圆交于、和、，则四边形面积的最大值为
A．B．C．D．
【解析】解：如图，
设的倾斜角为，
则．
设，，，，
由对称性可得：
．
联立，得．
，．
则．
令，
则，．
当时，，当时，，
当时，．
故选：．
例54．（2022•西湖区校级模拟）过坐标原点在圆内作两条互相垂直的弦，，则的最大值 ．
【解析】解：化圆为，如图，
可知，，，，
当所在直线斜率不存在时，当斜率存在时，设方程为，则方程为．
联立，得．
设，，，，
则，．
则
同理求得．
．
则．
设，，
则，令．
如图：由图可知，当直线过，时，有最大值为．
故答案为：．
例55．（2022•武汉模拟）过圆外一点作两条互相垂直的直线和分别交圆于，和，点，则四边形面积的最大值为 ．
【解析】解：如图所示，由作，的垂线，，连接，，
记，，则．
，，
，，
故
．
当且仅当时取等号．
故答案为：．
例56．过点作两条相互垂直的直线分别交圆于、和、两点，则四边形面积的最大值为 ．
【解析】解：圆，
圆心坐标，半径，
设圆心到、的距离分别为、，
，
则，
，，
四边形的面积为
，
当且仅当时取等号，
四边形面积的最大值为23．
故答案为：23．
例57．过定点作两条相互垂直的直线、，设原点到直线、的距离分别为、，则的最大值是 ．
【解析】解：作交于点，作交于点，可得四边形为矩形，
，故可设，
，其中，
当取最大值1时，取最大值
故答案为：
例58．（2022春•永顺县校级期末）已知圆过点，且与圆关于直线对称．
（1）求圆的方程；
（2）直线过点，截圆所得的弦长为2，求直线的方程；
（3）过点作两条相异直线分别与圆相交于，，且直线和直线的倾斜角互补，为坐标原点，试判断直线和是否平行？请说明理由．
【解析】解：（1）由题意可得点和点关于直线对称，且圆和圆的半径相等，都等于．
设，由，且求得，
故原的方程为．
再把点代入圆的方程，求得，故圆的方程为．
（2）直线过点，当直线的斜率不存在时，
方程为，截圆得到的弦长等于，满足条件．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
再由弦长公式可得，解得，故所求的直线方程为，即．
综上可得，直线的方程为，或．
（3）过点作两条相异直线分别与圆相交于，，且直线和直线的倾斜角互补，为坐标原点，
则得直线和平行，理由如下：
由题意知，直线和直线的斜率存在，且互为相反数，故可设，．
由，得，
因为的横坐标一定是该方程的解，故利用韦达定理求得．
同理，所以．
由于的斜率的斜率），
所以，直线和一定平行．
题型七：圆的存在性问题
例59．（2022·安徽·高二月考）已知圆和两点，，若圆C上存在点P，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】圆的圆心，半径为，
因为圆心C到距离为，所以圆C上的点到的距离最大值为，最小值为，
又因为，则以为直径的圆和圆C有交点，可得，
所以有.
故选：D．
例60．（2022·福建省南安市侨光中学高二月考）已知圆：和两点，，若圆上存在点，满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为点，，所以以线段AB为直径的圆的方程为：，
因为圆上存在点，满足，
联立，得，
因为，
所以，即，
故选：C
例61．（2022·四川·阆中中学高二月考（理））已知圆：和两点，若圆上存在点，使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由得点在圆上，因此由两圆有交点得：
，即的最小值为.
故选:B.
例62．（2022·江西·上高二中高二月考（理））已知点A（1，0），B（1，6），圆，若在圆C上存在唯一的点P使，则（ ）
A．–3或3B．57C．–3或57D．3或57
【答案】C
【解析】由题意，只需以AB为直径的圆与圆C有且仅有一个公共点，即两圆相切.
因为，，
所以以AB为直径的圆M的方程为，
圆.
因为两圆相切，
所以，即，
解得或.
故选：C
例63．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二月考）如果圆上总存在两个点到原点的距离均为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】到原点的距离为的点的轨迹为圆，因此圆上总存在两个点到原点的距离均为
转化为圆与圆有两个交点，
∵两圆的圆心和半径分别为，，，，
∴，∴，
解得实数的取值范围是.
故选：A.
例64．（2022·四川成都·高二月考（文））已知圆上存在四个点到直线的距离等于，则实数范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由知圆心，半径为3，
若圆上存在四个点到直线的距离等于，
则点C到直线的距离，
∴，
∴.
故选：D.
例65．（2022·四川省武胜烈面中学校高二月考（理））设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】以为一边作正方形，若对角线与圆有交点，则满足条件的存在，此时正方形的中心在圆上或圆内，即，
所以，所以，所以.
故选：D.
例66．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二月考）在平面直角坐标系中，已知圆，是直线上的两点，若对线段上任意一点，圆上均存在两点，使得，则线段长度的最大值为（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】C
【解析】由题意，圆心到直线的距离为
（半径）
故直线和圆相交；
当点在圆外时，从直线上的点向圆上的点连线成角，
当且仅当两条线均为切线时，
才是最大的角，
不妨设切线为，，则由，
得，
；
当时，，
设，
，
解得：，
设，
如图，之间的任何一个点，圆上均存在两点，使得，线段长度的最大值为
故选：C
例67．（2022·重庆·高二期中）已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题可知：，圆心，半径，
又，是的中点，所以，
所以点的轨迹方程，圆心为点，半径为，
若直线上存在两点，使得恒成立，
则以为直径的圆要包括圆，
点到直线的距离为，
所以长度的最小值为，
故选：B．
例68．（2022·江西·南昌大学附属中学高二月考）在平面直角坐标系中，已知点，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设点，由可得
化简得即点的轨迹是圆心为，半径为的圆，
因为点在圆上，所以圆和有公共点，
所以，
，又，所以
故选：D
例69．（2022·全国·高二课时练习）设点在圆外，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示：
上存在点使得，
则的最大值大于或者等于时，一定存在点使得，
当与圆相切时，取得最大值，
此时，，
，解得：，即，
又在圆外，
，
解得：，
综上所述：.
故选：C.
例70．（2022·江西·余干县第三中学高一月考）已知点，若圆上存在点，使得线段的中点也在圆上，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，的中点，
由已知有解得，
即的中点的轨迹为圆，
又线段的中点也在圆上，∴两圆有公共点，
∴，解得.
故选:B.
例71．（多选题）（2022·江苏·苏州中学高二）已知二次函数交轴于两点（不重合），交轴于点．圆过三点．下列说法正确的是（ ）
A．圆心在直线上B．的取值范围是
C．圆半径的最小值为D．存在定点，使得圆恒过点
【答案】AD
【解析】对于A，对称轴为，过两点的圆的圆心必在中垂线，即上，A正确；
对于B，与轴交于两点，，解得：，
即且，B错误；对于C，设在左侧，由得：，则，
设圆：，又，
，解得：，
且，，C错误；
对于D，由C可知，圆：，
即，，
令，解得：或，圆恒过定点或，D正确.
故选：AD.
例72．（多选题）（2022·江苏南京·高二月考）若直线上存在点，过点可作圆：的两条切线，，切点为，，且，则实数的取值可以为（ ）
A．B．0C．D．3
【答案】ABC
【解析】由题意，圆半径为，又，易知：，
∴要使上存在点有，则，
∴.
故选：ABC
例73．（多选题）（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高二月考）设圆：，点，若圆上存在两点到的距离为2，则的可能取值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】BCD
【解析】根据题意设以为圆心，2为半径的圆为圆，
所以圆：，圆心为，半径为，则两圆圆心距为：，
因为圆上存在两点到的距离为2，所以圆与圆相交，
所以，解得：.
又，所以的可能取值为4,5,6
故选：BCD
例74．（2022·上海奉贤区致远高级中学高二月考）在矩形中，，平面，且．若边上存在两个不同的点，使得，则的取值范围是_____________
【答案】
【解析】a如图所示，若，又有平面，得到，
则有平面，所以，
则“边上存在两个点使得”
就转化为“边上存在两个点使得，”，
即以为直径的圆与边有两个交点，
则圆的圆心到边的距离小于半径，即，
其中，，所以，即，
所以的取值范围是.
故答案为：.
例75．（2022·江西·九江一中高二月考（理））中，所在平面内存在点P使得，，则的面积最大值为__________________．
【答案】
【解析】以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
设，则，设，由，，可得，
即，
即点P既在以为圆心，半径为的圆上，也在为圆心，为半径的圆上，
可得，
由两边平方化简可得，
则的面积为，
由，可得．
故答案为：.
例76．（2022·江苏·泰州中学高二月考）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：，点，若圆C上存在点M，满足，则点M的纵坐标的取值范围是___________.
【答案】
【解析】解析：设，
因为，所以，
化简得，
则圆C：与圆：有公共点，
将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程为
代入可得，
故答案为：.
例77．（2022·全国·高二单元测试）在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至多存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆相切，则实数的取值范围为______．
【答案】【解析】由于圆的标准方程为，
则圆的圆心坐标为，半径为1．
要使直线上至多存在一点，
使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆相切，
则只需满足圆的圆心到直线的距离，
即，解得．
故答案为：．
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
专题27 直线与圆的综合应用
【题型归纳目录】
题型一：距离的创新定义
题型二：切比雪夫距离
题型三：曼哈顿距离、折线距离、直角距离问题
题型四：圆的包络线问题
题型五：阿波罗尼斯圆问题、反演点问题、阿波罗尼斯球问题
题型六：圆中的垂直问题
题型七：圆的存在性问题
【典例例题】
题型一：距离的创新定义
例1．（2022·全国·高三专题练习）数学家华罗曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间的距离的几何问题，结合上述观点，可得方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由可得
4
表示点（x，1）到定点（-3，0）和（3，0）的距离之差等于4，
由双曲线的定义可知，点（x，1）在以（-3，0）和（3，0）为焦点，
的双曲线的右支上，所以，所以双曲线方程为，
令可得，因为，所以，
即方程的解是，
故选：C.
例2．（2022·安徽阜阳·高三期末（理））闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为和，这两组数据间的闵氏距离定义为，其中q表示阶数.现有下列四个命题：①若，则；
②若，其中，则；
③若，其中，则；
④若，其中，则的最小值为.
其中所有真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】对于①：，故①正确.
对于②：，故②错误.
对于③：，不妨设，，且均为非负数，所以故③正确.
对于④：构造函数，则，的最小值即两曲线动点间的最小距离，设与直线平行的切线方程为，联立 得：，令得，，所以切线方程为：与之间的距离，所以最小值为，故④正确.
故选C.
例3．（2022·全国·高三专题练习（文））费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°.根据以上性质，已知，，，为内一点，记，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设为坐标原点，由，，，
知,且为锐角三角形，
因此，费马点M在线段上，设，如图，
则为顶角是120°的等腰三角形，故，
所以，
则的最小值为.
故选：B
例4．（2022·全国·高三专题练习）在直角坐标系中，已知点，，记，其中为正整数，称为点，间的距离．下列说法正确的是（ ）．
A．若，则点的轨迹是正方形
B．若，则与重合
C．
D．
【答案】A
【解析】由得，所以点的轨迹是以为中心的正方形，故A正确；
记，，则，，
若，则，显然有，满足此等式，可取点，，显然与不重合，故B错误；
取点，，，则，
此时，故C错误，也可得D错误．
故选：A.
例5．（2022·北京·牛栏山一中高三期中）如图，平面内两条直线和相交于点，构成的四个角中的锐角为.对于平面上任意一点，若，分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”，给出下列四个命题：
①点有且仅有两个；
②点有且仅有4个；
③若，则点的轨迹是两条过点的直线；
④满足的所有点位于一个圆周上.
其中正确命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】命题①，如图，有且只有两个点的距离坐标为，即命题①正确.
命题②，如图，虚线分别为到两条直线的距离为2和3的平行直线，四条虚线总共4个交点，故点有且仅有4个，即命题②正确；
命题③，如图，点的轨迹是两条过点的直线l3和l4，即命题③正确；
命题④，如图，和分别在直线l1和l2上，
易得，则点M都在以O为圆心，半径为的圆上，
设点，即点A到两条直线的距离都是，且满足，
由几何关系可得，，即点A在圆O外，故命题④错误.
综上，正确命题为①②③.
故选：C.
例6．（多选题）（2022·河北廊坊·高三阶段练习）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义．设两组数据分别为和，这两组数据间的闵氏距离定义为，其中q表示阶数．下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，，则
B．若，，其中a，，则
C．若，，其中a，b，c，，则
D．若，，其中a，，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A：，故A正确．
对于B：，，故B错误．对于C：，，不妨设，，因为，所以，所以，所以，所以，故C正确．
对于D：构造函数，，则的最小值即两曲线动点间的最小距离，设直线与曲线相切，则由，得，由，得，所以切线方程为，
所以两曲线动点间的最小距离为，故D正确．
故选：ACD
例7．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）（多选）定义点到直线的有向距离为.已知点，到直线的有向距离分别是，，给出以下命题，其中是假命题的是（ ）
A．若，则直线与直线平行
B．若，则直线与直线平行
C．若，则直线与直线垂直
D．若，则直线与直线相交
【答案】ABC
【解析】设点，的坐标分别为，，则，.若，则，即，所以
.
若，即，则，都在直线上，此时直线与直线重合，故选项，，均为假命题.
当时，，在直线的两侧，则直线与直线相交，故选项D为真命题.
故选：ABC
例8．（2022·全国·高三专题练习）记，其中、，已知、是椭圆上的任意两点，是椭圆右顶点，则的最大值是______.
【答案】【解析】设点，其中，易知点，
则.
①当时，，
，则，当时，取最大值；
②当时，，
，则，当时，取最大值.
综上所述，的最大值，同理可知，的最大值也为.
因此，的最大值是.
故答案为：.
例9．（2022·四川凉山·三模（文））点是内部或边界上的点，若到三个顶点距离之和最小，则称点是的费马点（该问题是十七世纪法国数学家费马提出）.若，，时，点是的费马点，且已知在轴上，则的大小等于______.
【答案】
【解析】先证明：若到三个顶点距离之和最小，则
如图将绕点B逆时针旋转60°得到，则≌，
，所以是等边三角形，，
，当四点共线时取得最小值，
此时，
同理可得
所以命题得证.
点是的费马点，且已知在轴上，
，
，
所以，
所以=.
故答案为：
例10．（2022·浙江宁波·三模（理））定义：曲线上的点到点的距离的最小值称为曲线到点的距离.已知曲线到点的距离为，则实数的值为___________．
【答案】或
【解析】设曲线上的一点，
则
令，有
当时，在时，取得最小值，
所以，解得或（舍去）
当时，在时取得最小值，
所以，解得或（舍去）
综上所述，实数的值为或.故答案为：或.
例11．（2022·上海·模拟预测）记到点与直线：的“有向距离”．
（1）分别求点与到直线：的“有向距离”，由此说明直线与两点、的位置关系．
（2）求证：到两条相交定直线（，不同时为零）的“有向距离”之积等于非零常数的动点的轨迹为双曲线．
（3）利用上述（2）结论证明：曲线为双曲线，并求其虚轴长．
【解析】（1）由，．
说明两点、分别在直线的两侧，且点距离直线较远
（2）证明：设两条相交的直线方程为（，不同时为零），动点，则有向距离之积为
即
即形式．显然所求动点的轨迹为双曲线．
反之，可以证明：双曲线上任意一点到两条渐近线的“有向距离”之积为常数．
证明：设双曲线方程上任意一点为，它到双曲线的两条渐近线的有向距离之积为
（3）因为方程可以变为，
所以方程表示为到轴和直线的有向距离之积为的轨迹，
因此曲线为双曲线，且该双曲线的两条渐近线为轴和直线．
因为方程可以变为，所以方程表示的曲线在第一、三象限内，双曲线实轴所在的直线为两条渐近线所夹角的平分线，于是双曲线的实轴所在的直线的方向向量为，斜率为，因此双曲线实轴所在的直线为．联立方程
求得解得双曲线的顶点为，
因此．
故双曲线的实轴长为．
设过点作实轴的垂直线交轴为，则直线的方程为．
令，得．
因此，．
故双曲线的虚轴长为．
题型二：切比雪夫距离
例12．（2022·全国·高三专题练习（文））在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，给出四个命题，正确的是________.
①对任意三点、、，都有；
② 到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形；
③ 已知点和直线，则；
④ 定点、，动点满足，则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有个公共点.
【答案】①②③④
【解析】①对任意三点、、，若它们共线，设、、，
如下图，结合三角形相似可得或，或，或，则；
若、或、对调，可得；
若、、不共线，且中为锐角或钝角，由矩形或矩形，
；
则对任意的三点、、，都有，命题①正确；
②到原点的“切比雪夫距离”等于的点，即为，若，则；
若，则，故所求轨迹是正方形，命题②正确；
③设点是直线上一点，且，可得，
由，解得，即有.
当时，取得最小值；
由，解得或，即有，
的取值范围是，无最值，所以，、两点的“切比雪夫距离”的最小值为，命题③正确；
④定点、，动点，满足，
可得不在上，在线段间成立，可得，解得.
由对称性可得也成立，即有两点满足条件；
若在第一象限内，满足，即为，为射线，
由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，
则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有个公共点，命题④正确.
故答案为：①②③④.
例13．（2022·全国·高三专题练习（文））在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作.
（1）求证：对任意三点、、，都有；
（2）已知点和直线，求；
（3）定点，动点满足（），请求出点所在的曲线所围成图形的面积.
【解析】（1）证明：设，则
，同理可得，
所以，
（2）设为直线上一点，则，
由，解得，即有，当时，取得最小值；
由，解得或，即有，
的范围是，无最大值，综上可得，两点的最小值为，
所以；
（3）设轨迹上动点为，则，
等价于或，
所以点的轨迹是以为中心，边长为的正方形，
所以点所在的曲线所围成图形的面积为
例14．（2022·全国·高三专题练习（文））在平面直角坐标系中，定义为两点、
的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到
直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列三个命题：
① 对任意三点、、，都有；
② 已知点和直线，则；
③ 定点、，动点满足（），
则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点；
其中真命题的个数是
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】设，由题意可得：
同理可得：,则：
，
命题①成立；
设点Q是直线y=2x-1上一点，且Q（x,2x-1），可得，
由，解得，即有，当时取得最小值；
由，解得或，即有，
的范围是，无最小值.综上可得，P,Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为.
说法②正确.
定点、，动点满足（），则：
，
显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设x≥0，y≥0.
(1)当时，有，得：；
(2)当时，有，此时无解；
(3)当时，有；
则点P的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.
结合图象可知，点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点，命题③正确.
综上可得命题①②③均正确，真命题的个数是3.
本题选择D选项.
例15．（2022·全国·高三专题练习（文））在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列三个命题：
①对任意三点、、，都有；
②已知点和直线，则；
③定义，动点满足，则动点的轨迹围成平面图形的面积是4；
其中真命题的个数（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B【解析】①设，则，
，
显然，同理，
∴，①正确；
②设是直线上任一点，则，
，易知在上是增函数，在上是减函数，∴时，，②错；
③由得，易知此曲线关于轴，轴，原点都对称，它是以为顶点的正方形，其转成图形面积为，③错．
故选：B．
例16．（2022·全国·高三专题练习（文））在平面直角坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题:
①对任意三点，都有
②已知点和直线则
③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形；
其中真命题的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【答案】D
【解析】① 对任意三点、、，若它们共线，设，、，，，，如图，结合三角形的相似可得，，为，，，或，，，则；
若，或，对调，可得；
若，，不共线，且三角形中为锐角或钝角，如图，
由矩形或矩形，；
则对任意的三点，，，都有，故①正确；
②设点是直线上一点，且，
可得，，
由，解得，即有，
当时，取得最小值；
由，解得或，即有，
的范围是，无最值；
综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为；故②正确；
③由题，到原点的“切比雪夫距离”的距离为1的点满足，即或，显然点的轨迹为正方形，故③正确；
故选：D
题型三：曼哈顿距离、折线距离、直角距离问题
例17．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）“出租车几何”或“曼哈顿距离”（Manhattan Distance）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种被使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系内，对于任意两点、，定义它们之间的“欧几里得距离”，“曼哈顿距离”为，则下列说法正确的是（ ）
A．若点为线段上任意一点，则为定值
B．对于平面上任意一点，若，则动点的轨迹长度为
C．对于平面上任意三点、、，都有
D．若、为椭圆上的两个动点，则最大值为【答案】AC
【解析】对于A选项，设点为线段上任意一点，
则，A对；
对于B选项，设点，则，
当，时，则；当，时，则；
当，时，则；当，时，则.
作出点的轨迹如下图所示：
由图可知，点的轨迹是边长为的正方形，故动点的轨迹长度为，B错；
对于C选项，设点、、，
由绝对值三角不等式可得，
同理可得，
所以，，即，C对；
对于D选项，设点、，
不妨设，，
则
，其中为锐角，且，
取，，等号成立，D错.
故选：AC.
例18．（多选题）（2022·山东省实验中学模拟预测）对于平面直角坐标系内的任意两点，，定义它们之间的一种“距离”为．已知不同三点A，B，C满足，则下列结论正确的是（ ）
A．A，B，C三点可能共线
B．A，B，C三点可能构成锐角三角形C．A，B，C三点可能构成直角三角形
D．A，B，C三点可能构成钝角三角形
【答案】ACD
【解析】令点，设点，则有，
由得：，
当时，A，B，C三点共线，且有成立，A正确；
当时，则A，B，C三点不共线，
若，有，且成立，为直角三角形，C正确；
若，显然是钝角，且成立，为钝角三角形，D正确；
若，不成立，显然A，B，C三点不可能构成锐角三角形，B不正确.
故选：ACD
例19．（多选题）（2022·江苏·金陵中学高三阶段练习）对于直角坐标平面内的任意两点，，定义它们之间的一种“距离”：，则下列说法正确的是（ ）
A．若点C是线段AB的中点，则
B．在中，若，则
C．在中，
D．在正方形ABCD中，有
【答案】ACD
【解析】对于A，，故A正确；
对于B，取，则，而，不满足，故B错误；
对于C，设，则，因为
，
同理，所以，故C正确；
对于D，设正方形ABCD的边长为a，当正方形的边与坐标轴平行时，易知，如图，设AB与x轴的夹角为，由图可知
，故D正确.
故选：ACD
例20．（多选题）（2022·湖北·十堰市教育科学研究院高三期末）“曼哈顿距离”是由赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系中，点，的曼哈顿距离为．若点，Q是圆上任意一点，则的取值可能为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】ABC
【解析】依题意圆，
设，
当时，，
，，，
当时，,
，，.
综上所述，，ABC选项符合，D选项不符合.
故选：ABC
例21．（多选题）（2022·江苏无锡·高三期末）已知平面直角坐标系中两点和，用以下方式度量两点距离：，则下列说法正确的是（ ）
A．在平面直角坐标系中，，，满足的点的横坐标范围为
B．在平面直角坐标系中，任意取三点，恒成立
C．在平面直角坐标系中，点是坐标原点，则满足的点所形成的图形是圆D．在平面直角坐标系中，点在上，，则满足的点共有个
【答案】ABD
【解析】 对于A，设，因为 ，
，所以，故A正确.
因为，，
对于B，令，，，，故B正确.
对于C，设，不是圆，故C不正确.
对于D，设，，，
①时，，，
②时，，，
③时，时，，
④时，，，故D正确，
故选：ABD.
例22．（多选题）（2022·江苏苏州·高三阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点､，定义为两点A，B的“折线距离”，又设点P及直线l上任意一点Q，称的最小值为点P到直线l的“折线距离”，记作，下列说法正确的是（ ）
A．对任意的两点A，B，都有
B．对任意三点A､B､C，都有
C．已知点和直线，则
D．已知点，动点满足，则动点P的轨迹围成平面图形的面积是2
【答案】ABD
【解析】,
所以，即，A正确；
由绝对值三角不等式知，，
所以，即，B正确；设是上任一点，，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为2，即，C错；
设，则，
在平面直角坐标系中，曲线是一个正方形，
如图，，得正方形内部面积为，D正确．
故选：ABD．
例23．（2022·全国·模拟预测（文））设点是：上的动点，点是直线：上的动点，记，则的最小值是______．
【答案】
【解析】依题意，设，显然圆C与直线l相离，
，当且仅当时取“=”，
当时，，，，
，其中锐角由确定，
此时，当且仅当时取“=”，
当时，，，，
，其中锐角由确定，此时，当且仅当时取“=”，
显然，因此，当时，，则，
所以的最小值是.
故答案为：
例24．（2022·江苏南通·一模（文））在平面直角坐标系中有两点、，现定义由点A到点B的折线距离，若已知点，点M为直线上的动点，则取最小值时点M的坐标是______．
【答案】
【解析】因点M在直线上，设，
于是得，
当时，，当时，，当时，，
因此，当且仅当时，取最小值，
所以点M的坐标是.
故答案为：
例25．（2022·重庆八中高三阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，定义，两点间的直角距离为，将曲线依次以原点O为中心逆时针旋转三次，得到由四段圆弧构成的曲线E.若点P为曲线E上任意一点，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】由对称性可知，可只考虑在的情形，
设，
则，
，，
的取值范围为.
故答案为：.
例26．（2022·全国·高三专题练习（文））在平面直角坐标系中，定义、两点间的直角距离为，如图，是圆当时的一段弧，是与轴的交点，将依次以原点为中心逆时针旋转五次，得到由六段圆弧构成的曲线．则_______．若点为曲线上任一点，则的最大值为________．
【答案】 【解析】由图可知，点位于第一象限，在圆的方程中，令，可得，则点.
如图可得，点，所以；
根据对称性，只需讨论点在第一象限的情况：
当点在上时，设，则，则，
所以，
，则，当时，；
当点不在上时，所在圆的圆心为，
易知直线轴，设，，同理可得，则，，
，
，则，当时，.
因为，所以，的最大值为.
故答案为：.
例27．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，定义，两点的折线距离.设点，，，，若，则的取值范围___________.
【答案】
【解析】由题意，设，，
所以，
当时，，
，，，时，，
，，，
综上，，
故答案为：，
例28．（2022·上海·复旦附中模拟预测）在平面直角坐标系中，两点间的“L-距离”定义为则平面内与轴上两个不同的定点的“L-距离”之和等于定值（大于）的点的轨迹可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，再设动点，动点到定点的“L距离”之和等于，由题意可得：，即，当时，方程化为；当时，方程化为；当时，方程化为；当时，方程化为；当时，方程化为；当时，方程化为；结合题目中给出四个选项可知，选项A中的图象符合要求，故选A．
考点：轨迹方程．
例29．（2022·全国·高三专题练习）“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若，，则，两点的“曼哈顿距离”为，下列直角梯形中的虚线可以作为，两点的“曼哈顿距离”是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据题意：，两点的“曼哈顿距离”为，再结合四个选项可以判断只有C选项符合题意.
故选：C．
题型四：圆的包络线问题
例30．（2022•重庆月考）设直线系，则下列命题中是真命题的个数是
①存在一个直线与所有直线相交；
②中所有直线均经过一个定点；
③对于任意实数，存在正边形，其所有边均在中的直线上；
④中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
A．0B．1C．2D．3
【解析】解：根据直线系，得到所有直线都为圆心为，半径为1的圆的切线．
①不存在一条直线与所有直线相交，因此不正确；
②所有的直线与一个圆相切，没有过定点，②不正确；
③对于任意实数，作圆的外切正边形，其所有边均在中的直线上，因此正确；
④中的直线所能围成的正三角形的边长不一等，故它们的面积不一定相等，
如图中：等边三角形和面积不相等，故④不正确．
所以真命题的个数为1个
故选：．
例31．（2022春•鹤岗校级期末）设直线系，对于下列四个结论：
（1）当直线垂直于轴时，或；（2）当时，直线倾斜角为；
（3）中所有直线均经过一个定点；
（4）存在定点不在中任意一条直线上．
其中正确的是
A．①②B．③④C．②③D．②④
【解析】解：直线系，
（1）当直线垂直于轴时，则，解得或或，故（1）错误；
（2）当时，直线倾斜角为，故（2）正确；
（3）如图示：
，
由 直线系，
可令，
消去可得 ，故 直线系表示圆 的
切线的集合，故（3）不正确．
（4）因为对任意，存在定点不在直线系中的任意一条上，故（4）正确；
故选：．
例32．（2022春•朝阳区校级期末）设直线系．下列四个命题中不正确的是
A．存在一个圆与所有直线相交
B．存在一个圆与所有直线不相交
C．存在一个圆与所有直线相切
D．中的直线所能围成的正三角形面积都相等
【解析】解：由点到直线：的距离为
，所以直线系表示圆切线的集合；
对于，由于直线系表示圆的所有切线，所以存在这样的圆，
使所有的直线与圆相交，所以正确；
对于，存在这样的圆，
使所有的直线与圆不相交，所以正确；
对于，由题意知，存在圆，
使所有的直线都与这个圆相切，所以正确；
对于，如图所示，中的直线所能围成的正三角形有两类，
其一是如型，是圆的外切三角形，此类面积都相等；
另一类是在圆同一侧，如型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，
所以面积大小不一定相等，选项错误．
故选：．
例33．（2022•西湖区校级模拟）已知直线与圆相切，则满足条件的直线有 条
A．1B．2C．3D．4
【解析】解：由已知，直线满足到原点的距离为1，到点的距离为2，
满足条件的直线即为圆和圆的公切线，
圆和圆外切，
这两个圆有两条外公切线和一条内公切线，
满足条件的直线有3条．
故选：．例34．（2022•安徽模拟）已知直线与圆相交，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】解：圆心到直线的距离为，故，
故选：．
例35．（多选题）设有一组圆．下列四个命题中真命题的是
A．存在一条定直线与所有的圆均相切
B．存在一条定直线与所有的圆均相交
C．存在一条定直线与所有的圆均不相交
D．所有的圆均不经过原点
【解析】解：根据题意得：圆心，
圆心在直线上，故存在直线与所有圆都相交，正确；
考虑两圆的位置关系，
圆：圆心，半径为，
圆：圆心，，即，半径为，
两圆的圆心距，
两圆的半径之差，
任取或2时，，含于之中，选项错误；
若取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项错误；
将带入圆的方程，则有，即，
因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在使上式成立，即所有圆不过原点，选项正确．
故选：．
例36．（多选题）（2022•思明区校级月考）已知圆，直线，下面五个命题，其中正确的是
A．对任意实数与，直线和圆有公共点
B．对任意实数与，直线与圆都相离
C．存在实数与，直线和圆相离
D．对任意实数，必存在实数，使得直线与圆相切
E．对任意实数，必存在实数，使得直线与圆相切
【解析】解：选项，由题意知圆的圆心为，半径为，直线的方程可以写作，过定点，因为点在圆上，所以直线与圆相切或相交，
任意实数与，直线和圆有公共点，正确，错误；
选项，由以上分析知不存在实数与，直线和圆相离，错误；
选项，当直线与圆相切时，点恰好为直线与圆的切点，故直线与直线垂直，①当时，直线与轴垂直，则，即，解得，存在，使得直线与圆相切；
②当时，若直线与直线垂直，则，
直线的斜率为，
所以，即，
此时对任意的，均存在实数，使得，则直线与直线垂直，
综上所述，对任意实数，必存在实数，使得直线与圆相切，正确．
选项，点到直线的距离为，
令，当时，；
当时，，即此时恒成立，
直线与圆必相交，故此时不存在实数，使得直线与圆相切，错误．
故选：．
例37．（2022•启东市校级模拟）在平面直角坐标系中，对任意的实数，集合中的点都不在直线上，则集合所对应的平面图形面积的最大值为 ．
【解析】解：将方程看做的一元二次方程，即，
集合中的点都不在直线上，
无解，
即对应的判别式△，
即，
整理得，
即集合所对应的平面图形为圆心为，半径为1的圆以及内部，
集合所对应的平面图形面积的最大值为，
故答案为：
题型五：阿波罗尼斯圆问题、反演点问题、阿波罗尼斯球问题例38．（2022•赣州期末）如图，在等腰梯形中，，，分别是底边，的中点，把四边形沿直线折起，使得平面平面．若动点平面，设，与平面所成的角分别为，，均不为．若，则动点的轨迹围成的图形的面积为
A．B．C．D．
【解析】解：由题意，，，
，，
．
以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，
设，，，，，则
，
，即，轨迹为圆，面积为．
故选：．
【点睛】本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
例39．（2022•青羊区校级月考）阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将该圆称为波罗圆．若平面内两定点、间的距离为2，动点满足，当、、不共线时，三角形面积的最大值是
A．B．C．D．
【解析】解：如图所示，以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，
则、，设，
因为，所以，
平方并整理得：，即，
所以面积的最大值是．
故选：．
【点睛】本题主要考查轨迹方程及其应用，属于基础题．
例40．（2022•沙坪坝区校级期中）古希腊数学家波罗尼斯（约公元前年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个园称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，设，，动点满足，则动点的轨迹围成的面积为
A．B．C．D．
【解析】解：设，
则，
同理，
而，
，
化简得：，即，
整理得：，
从而的轨迹是以为圆心，4为半径得圆，
动点的轨迹围成的面积为，故选：．
例41．（2022•七模拟）阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两个定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人把这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知定点，，动点满足，则动点的轨迹为一个阿波罗尼斯圆，记此圆为圆，已知点在圆上（点在第一象限），交圆于点，连接并延长交圆于点，连接，当时，直线的斜率为
A．B．C．D．
【解析】解：如图所示，设动点，则有，
化简可得，即圆的方程为：，
由正弦定理可得，，解得，
所以为等边三角形，
过圆心作于点，则，
所以，
故．
故选：．
【点睛】本题考查了动点轨迹方程的求解，圆的方程的应用，直线与圆位置关系的应用，要掌握常见的求解轨迹的方法：直接法、定义法、代入法、消参法、交轨法等等，属于中档题．
例42．（2022•余姚市校级模拟）如图，已知平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，，，，，是平面上的一动点，且直线、与平面所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是
A．B．C．D．1
【解析】解：，，，，
，同理：．
为直线与平面所成的角，为直线与平面所成的角，
，又，
，
，
在平面内，以为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，
则，．设，
，整理得．
点在平面内的轨迹为以为圆心，以4为半径的上半圆．
平面平面，，，
为二面角的平面角．
当与圆相切时，最大，取得最小值．
此时，，，．
．
故选：．
例43．（2022•双流区校级一模）已知三棱锥中，底面为等边三角形，，，点为的中点，点为的中点．若点、是空间中的两动点，且，，则
A．3B．4C．6D．8
【解析】解：，底面为等边三角形，且，
，，
建立如图所示空间直角坐标系．
则，，，，2，，，
又为的中点，，
点为的中点，，，，
设，，，由，
取，，
则，，，
，
点在以，0，为球心，以1为半径的球上，同理也在这个球上，
且，为球的直径，
则
．
故选：．
例44．（2022春•宝山区校级期末）阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，已知、分别是圆，圆上的动点，是坐标原点，则的最小值是 ．
【解析】解：设，，设，若，整理得，
由圆方程得，解得．则对于圆上任意一点，．
因为，
当且仅当，，，四点共线时，等号成立．
故答案为：．
【点睛】本题考查以圆为背景的轨迹问题，距离的最值问题，属于中档题．
例45．（2022春•新华区校级期末）阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点、间的距离为2，动点满足，则的最小值 ．
【解析】解：根据题意，以经过，的直线为轴，的中点为坐标元福安，线段的垂直平分线为轴，
建立直角坐标系，则，，
设，
若，即，即，
变形可得，即，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
变形可得：，且，
则有，
又由，则的最小值为；
故答案为：．
例46．已知是边长为2的正方形的内切圆，是上任意一点，则的最小值为 ．
【解析】解：如图所示：
取的中点
所以，又
所以所以，
所以，，三点共线时取最小值为．
所以
例47．（2022•温州期末）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果击中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点、的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：和点，点，为圆上动点，则的最小值为 ．
【解析】解：如图，取点，连接、．
，，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
的最小值为的长，
，，
故答案为：．
例48．（2022春•锡山区校级期中）点为圆上一动点，为圆上一动点，为坐标原点，则的最小值为 ．
【解析】解：为圆上一动点，为圆上一动点，为坐标原点，
取，则，
，
，
，
故答案为：9．
例49．（2022•成都模拟）在长方体中，已知底面为正方形，为的中点，，点是正方形所在平面内的一个动点，且，则线段的长度的最大值为 ．
【解析】解：在正方形所在平面内建立平面直角坐标系，设
则有，．
，可得．
点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，线段的长度的最大值为．
故答案为：6
例50．（2022•浙江二模）棱长为36的正四面体的内切球球面上有一动点，则的最小值为 ．
【解析】解：由阿波罗尼斯球得内切球球心是线段上以，为定点，
空间中满足的点的集合，
连结并延长交平面于，交内切球上方的点设为，
过作，交于，连结，，
设，由已知得，，
，，解得，
，
，，
，
在中，，，
，
．
的最小值为．
故答案为：．
例51．（2022春•诸暨市月考）如图，在正方体中，，点，在线段上，且，点是正方体表面上的一动点，点，是空间两动点，若且，则的最小值为 ．
【解析】解：如图，由题意可得，，
在线段上取一点，使得，，
设的中点为，
由于，则点，在以为直径的球的表面上，球心为，球的直径为4，
由于，故是球的直径，
即，
故要求的最小值，只需要求出的最小值，
设点在平面内的射影为，则当在处时，有最小值，
此时，故答案为：
题型六：圆中的垂直问题
例52．（2022•蓟县一模）已知圆，过圆内定点作两条相互垂直的弦和，那么四边形面积最大值为
A．21B．C．D．42
【解析】解：设圆心到、的距离分别为，．
则．．
四边形的面积为：
．
当且仅当时取等号，
故选：．
例53．（2022•湖北模拟）过圆内一点，作倾斜角互补的直线和，分别与圆交于、和、，则四边形面积的最大值为
A．B．C．D．
【解析】解：如图，
设的倾斜角为，
则．
设，，，，
由对称性可得：
．
联立，得．
，．
则．
令，
则，．
当时，，当时，，
当时，．
故选：．
例54．（2022•西湖区校级模拟）过坐标原点在圆内作两条互相垂直的弦，，则的最大值 ．
【解析】解：化圆为，如图，
可知，，，，
当所在直线斜率不存在时，当斜率存在时，设方程为，则方程为．
联立，得．
设，，，，
则，．
则
同理求得．
．
则．
设，，
则，令．
如图：由图可知，当直线过，时，有最大值为．
故答案为：．
例55．（2022•武汉模拟）过圆外一点作两条互相垂直的直线和分别交圆于，和，点，则四边形面积的最大值为 ．
【解析】解：如图所示，由作，的垂线，，连接，，
记，，则．
，，
，，
故
．
当且仅当时取等号．
故答案为：．
例56．过点作两条相互垂直的直线分别交圆于、和、两点，则四边形面积的最大值为 ．
【解析】解：圆，
圆心坐标，半径，
设圆心到、的距离分别为、，
，
则，
，，
四边形的面积为
，
当且仅当时取等号，
四边形面积的最大值为23．
故答案为：23．
例57．过定点作两条相互垂直的直线、，设原点到直线、的距离分别为、，则的最大值是 ．
【解析】解：作交于点，作交于点，可得四边形为矩形，
，故可设，
，其中，
当取最大值1时，取最大值
故答案为：
例58．（2022春•永顺县校级期末）已知圆过点，且与圆关于直线对称．
（1）求圆的方程；
（2）直线过点，截圆所得的弦长为2，求直线的方程；
（3）过点作两条相异直线分别与圆相交于，，且直线和直线的倾斜角互补，为坐标原点，试判断直线和是否平行？请说明理由．
【解析】解：（1）由题意可得点和点关于直线对称，且圆和圆的半径相等，都等于．
设，由，且求得，
故原的方程为．
再把点代入圆的方程，求得，故圆的方程为．
（2）直线过点，当直线的斜率不存在时，
方程为，截圆得到的弦长等于，满足条件．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
再由弦长公式可得，解得，故所求的直线方程为，即．
综上可得，直线的方程为，或．
（3）过点作两条相异直线分别与圆相交于，，且直线和直线的倾斜角互补，为坐标原点，
则得直线和平行，理由如下：
由题意知，直线和直线的斜率存在，且互为相反数，故可设，．
由，得，
因为的横坐标一定是该方程的解，故利用韦达定理求得．
同理，所以．
由于的斜率的斜率），
所以，直线和一定平行．
题型七：圆的存在性问题
例59．（2022·安徽·高二月考）已知圆和两点，，若圆C上存在点P，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】圆的圆心，半径为，
因为圆心C到距离为，所以圆C上的点到的距离最大值为，最小值为，
又因为，则以为直径的圆和圆C有交点，可得，
所以有.
故选：D．
例60．（2022·福建省南安市侨光中学高二月考）已知圆：和两点，，若圆上存在点，满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为点，，所以以线段AB为直径的圆的方程为：，
因为圆上存在点，满足，
联立，得，
因为，
所以，即，
故选：C
例61．（2022·四川·阆中中学高二月考（理））已知圆：和两点，若圆上存在点，使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由得点在圆上，因此由两圆有交点得：
，即的最小值为.
故选:B.
例62．（2022·江西·上高二中高二月考（理））已知点A（1，0），B（1，6），圆，若在圆C上存在唯一的点P使，则（ ）
A．–3或3B．57C．–3或57D．3或57
【答案】C
【解析】由题意，只需以AB为直径的圆与圆C有且仅有一个公共点，即两圆相切.
因为，，
所以以AB为直径的圆M的方程为，
圆.
因为两圆相切，
所以，即，
解得或.
故选：C
例63．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二月考）如果圆上总存在两个点到原点的距离均为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】到原点的距离为的点的轨迹为圆，因此圆上总存在两个点到原点的距离均为
转化为圆与圆有两个交点，
∵两圆的圆心和半径分别为，，，，
∴，∴，
解得实数的取值范围是.
故选：A.
例64．（2022·四川成都·高二月考（文））已知圆上存在四个点到直线的距离等于，则实数范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由知圆心，半径为3，
若圆上存在四个点到直线的距离等于，
则点C到直线的距离，
∴，
∴.
故选：D.
例65．（2022·四川省武胜烈面中学校高二月考（理））设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】以为一边作正方形，若对角线与圆有交点，则满足条件的存在，此时正方形的中心在圆上或圆内，即，
所以，所以，所以.
故选：D.
例66．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二月考）在平面直角坐标系中，已知圆，是直线上的两点，若对线段上任意一点，圆上均存在两点，使得，则线段长度的最大值为（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】C
【解析】由题意，圆心到直线的距离为
（半径）
故直线和圆相交；
当点在圆外时，从直线上的点向圆上的点连线成角，
当且仅当两条线均为切线时，
才是最大的角，
不妨设切线为，，则由，
得，
；
当时，，
设，
，
解得：，
设，
如图，之间的任何一个点，圆上均存在两点，使得，线段长度的最大值为
故选：C
例67．（2022·重庆·高二期中）已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题可知：，圆心，半径，
又，是的中点，所以，
所以点的轨迹方程，圆心为点，半径为，
若直线上存在两点，使得恒成立，
则以为直径的圆要包括圆，
点到直线的距离为，
所以长度的最小值为，
故选：B．
例68．（2022·江西·南昌大学附属中学高二月考）在平面直角坐标系中，已知点，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设点，由可得
化简得即点的轨迹是圆心为，半径为的圆，
因为点在圆上，所以圆和有公共点，
所以，
，又，所以
故选：D
例69．（2022·全国·高二课时练习）设点在圆外，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示：
上存在点使得，
则的最大值大于或者等于时，一定存在点使得，
当与圆相切时，取得最大值，
此时，，
，解得：，即，
又在圆外，
，
解得：，
综上所述：.
故选：C.
例70．（2022·江西·余干县第三中学高一月考）已知点，若圆上存在点，使得线段的中点也在圆上，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，的中点，
由已知有解得，
即的中点的轨迹为圆，
又线段的中点也在圆上，∴两圆有公共点，
∴，解得.
故选:B.
例71．（多选题）（2022·江苏·苏州中学高二）已知二次函数交轴于两点（不重合），交轴于点．圆过三点．下列说法正确的是（ ）
A．圆心在直线上B．的取值范围是
C．圆半径的最小值为D．存在定点，使得圆恒过点
【答案】AD
【解析】对于A，对称轴为，过两点的圆的圆心必在中垂线，即上，A正确；
对于B，与轴交于两点，，解得：，
即且，B错误；对于C，设在左侧，由得：，则，
设圆：，又，
，解得：，
且，，C错误；
对于D，由C可知，圆：，
即，，
令，解得：或，圆恒过定点或，D正确.
故选：AD.
例72．（多选题）（2022·江苏南京·高二月考）若直线上存在点，过点可作圆：的两条切线，，切点为，，且，则实数的取值可以为（ ）
A．B．0C．D．3
【答案】ABC
【解析】由题意，圆半径为，又，易知：，
∴要使上存在点有，则，
∴.
故选：ABC
例73．（多选题）（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高二月考）设圆：，点，若圆上存在两点到的距离为2，则的可能取值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】BCD
【解析】根据题意设以为圆心，2为半径的圆为圆，
所以圆：，圆心为，半径为，则两圆圆心距为：，
因为圆上存在两点到的距离为2，所以圆与圆相交，
所以，解得：.
又，所以的可能取值为4,5,6
故选：BCD
例74．（2022·上海奉贤区致远高级中学高二月考）在矩形中，，平面，且．若边上存在两个不同的点，使得，则的取值范围是_____________
【答案】
【解析】a如图所示，若，又有平面，得到，
则有平面，所以，
则“边上存在两个点使得”
就转化为“边上存在两个点使得，”，
即以为直径的圆与边有两个交点，
则圆的圆心到边的距离小于半径，即，
其中，，所以，即，
所以的取值范围是.
故答案为：.
例75．（2022·江西·九江一中高二月考（理））中，所在平面内存在点P使得，，则的面积最大值为__________________．
【答案】
【解析】以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
设，则，设，由，，可得，
即，
即点P既在以为圆心，半径为的圆上，也在为圆心，为半径的圆上，
可得，
由两边平方化简可得，
则的面积为，
由，可得．
故答案为：.
例76．（2022·江苏·泰州中学高二月考）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：，点，若圆C上存在点M，满足，则点M的纵坐标的取值范围是___________.
【答案】
【解析】解析：设，
因为，所以，
化简得，
则圆C：与圆：有公共点，
将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程为
代入可得，
故答案为：.
例77．（2022·全国·高二单元测试）在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至多存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆相切，则实数的取值范围为______．
【答案】【解析】由于圆的标准方程为，
则圆的圆心坐标为，半径为1．
要使直线上至多存在一点，
使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆相切，
则只需满足圆的圆心到直线的距离，
即，解得．
故答案为：．
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