【导数大题】题型刷题突破 第20讲 不等式恒成立之max，min问题

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1、多加总结。这是非常重要的一点，当三年所有的数学知识点加在一起，可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。更简单的来说：“一个知识点对应的题目有无数个”，哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。对于备考当中的学生来说“多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。”
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
第20讲 不等式恒成立之max，min问题
一、解答题
1．（2021·云南师大附中高三月考（文））已知函数，，其中.
（1）证明：当时，；当时，；
（2）用表示m，n中的最大值，记.是否存在实数a，对任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.
2．（2021·云南师大附中高三月考（理））已知函数，，其中.
（1）证明：当时，；当时，；
（2）用表示m，n中的最大值，记.是否存在实数a，对任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.
3．（2021·广东·顺德一中高三开学考试）已知函数，，其中．
（1）讨论函数的单调性，并求不等式的解集；
（2）若，证明：当时，；
（3）用表示，中的最大值，设函数，若在上恒成立，求实数的取值范围．
4．（2019·浙江嘉兴·模拟预测）已知函数.
（I）若是上的单调函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，记的最小值为，证明：.
5．（2019·云南·一模（理））已知是自然对数的底数，函数与的定义域都是.
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求证：函数只有一个零点，且；
（3）用表示，的最小值，设，，若函数在上为增函数，求实数的取值范围．6．（2018·江西·南昌二中高二期末（文））设函数.
（1）若，证明：在上存在唯一零点；
（2）设函数，（表示中的较小值），若，求的取值范围.
7．（2016·广西来宾·一模（理））已知函数．
（1）证明在区间内有且仅有唯一实根；
（2）记在区间内的实根为，函数，若方程在区间有两不等实根，试判断与的大小，并给出对应的证明．
8．（2016·安徽合肥·一模（理））已知函数.
（1）记，证明在区间内有且仅有唯一实根；
（2）记在内的实根为，，若在有两不等实根，判断与的大小 ，并给出对应的证明.
9．（2021·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数（为自然对数的底数）在区间内的零点为，记（其中表示，中的较小值），若在区间内有两个不相等的实数根，，证明：.
10．（2021·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）若函数，试研究函数的极值情况；
（2）记函数在区间内的零点为，记，若在区间内有两个不等实根，证明：.
11．（2020·北京八中高二期末）
已知函数的图象在上连续不断，定义：
，．
其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值．若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”．
（Ⅰ）若，，试写出，的表达式；
（Ⅱ）已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的；如果不是，请说明理由；
（Ⅲ）已知，函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围.
12．（2019·湖南·雅礼中学高三月考（理））记表示m，n中的最大值，如.已知函数，.
（1）设，求函数在上的零点个数；
（2）试探讨是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由.
13．（2011·浙江宁波·一模（理））
函数定义在区间上，设“”表示函数在集合D上的最小值，“”表示函数在集合D上的最大值．现设，
，
若存在最小正整数k，使得对任意的成立，则称函数
为区间上的“第k类压缩函数”．
(Ⅰ) 若函数，求的最大值，写出的解析式；
(Ⅱ) 若，函数是上的“第3类压缩函数”，求m的取值范围．