【导数大题】题型刷题突破 第26讲 拐点偏移问题

这是一份【导数大题】题型刷题突破 第26讲 拐点偏移问题，文件包含第26讲拐点偏移问题原卷版docx、第26讲拐点偏移问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
1、多加总结。这是非常重要的一点，当三年所有的数学知识点加在一起，可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。更简单的来说：“一个知识点对应的题目有无数个”，哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。对于备考当中的学生来说“多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。”
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
第26讲 拐点偏移问题
1．已知函数．
（1）求曲线在点，（1）处的切线方程．
（2）若正实数，满足，求证：．
【解答】解：（1），，，
（1），（1），故曲线在点，（1）处的切线方程为，
即；
（2）证明：因为，在上单调递增．
由（1），正实数，满足，
所以不妨设，
记，，
，在，上单调递增．
因为，，（1），
所以，即，
所以，根据单调递增，得，
即原命题成立．
2．已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，设，若正实数，，满足，求证：．
【解答】解：（1），
，在递减，在递增，
且
当时，恒成立，此时函数在上单调递增；
当时，的根为，
时，函数在，，上单调递增，在单调递减； 时，函数在，上单调递增，在，单调递减；
证明：（2），．
由，即，
从而，（8分）
令，则由得：
可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
（1），（10分）
，
，
又，，．
3．已知函数，．
（Ⅰ）若在处取得极值，求的值；
（Ⅱ）设，试讨论函数的单调性；
（Ⅲ）当时，若存在正实数，满足，求证：．
【解答】解：（Ⅰ）因为，所以，
因为在处取得极值，所以（1），解得：．
验证：当时，，
易得在处取得极大值．
（Ⅱ）因为，
所以，
①若，则当时，，
所以函数在上单调递增；
当，时，，函数在，上单调递减．
②若，，
当时，易得函数在和，上单调递增，在，上单调递减；
当时，恒成立，所以函数在上单调递增；
当时，易得函数在和，上单调递增，在，上单调递减．
（Ⅲ）证明：当时，，
因为，
所以，
即，
所以，
令，，
则，
当时，，
所以函数在上单调递减；
当时，，
所以函数在上单调递增．
所以函数在时，取得最小值，最小值为1．
所以，
即，
所以或，
因为，为正实数，所以当时，，
此时不存在，满足条件，
所以．
4．已知函数，且为定义域上的增函数，是函数的导数，且的最小值小于等于0．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设函数，且，求证：．
【解答】（Ⅰ）解：，
由为增函数可得，恒成立，即，得，
设，则，
由，得，由，得．
在上减，在上增，在1处取得极小值即最小值，
（1），则，即，
当时，易知，当时，则，这与矛盾，从而不能使得恒成立，
；
由可得，，即，
由之前讨论可知，，当时，恒成立，
当时，由，得，
综上；
（Ⅱ）证明：，
，
，
，
即，
则
，
令，，
则，在上增，在上减，（1），，
整理得，
解得或（舍，
．
5．已知函数．
（1）若（1），求函数的单调减区间；
（2）若，正实数，满足，证明：．
【解答】解：（1）因为（1），
所以，解得，
所以，
，
令，得，
所以的单调递减区间为．
（2）证明：时，
所以，
所以
，
令，
则，
所以时，，单调递增，
时，，单调递减，
所以（1），
所以，
即，因为，是正实数，
所以．
6．已知函数，，，令．
（Ⅰ），研究函数的单调性；
（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；
（Ⅲ），正实数，满足，证明：．
【解答】解：（Ⅰ），，
由，得，又，
所以，所以的单增区间为．
（Ⅱ）方法一：令，
所以．
当时，因为，所以．
所以在上是递增函数，
又因为，
所以关于的不等式不能恒成立．
当时，．
令，得，所以当时，；当时，．
因此函数在是增函数，在是减函数．
故函数的最大值为．
令，因为，，
又因为在上是减函数，
所以当时，．所以整数的最小值为2．方法二：（2）由恒成立，
得在上恒成立．
问题等价于在上恒成立．
令，只要．
因为，令，得．
设，因为，
所以在上单调递减，不妨设的根为．
当时，；当，时，．
所以在上是增函数；在，上是减函数．
所以．
因为，
所以．此时，．
所以，即整数的最小值为2．
（Ⅲ）当时，，，
由，即，
从而
令，则由得，，
可知在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以（1），所以，
即成立．7．已知函数，．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，正实数，满足，证明：．
【解答】解：（Ⅰ），，
，
当时，，．在上是递增函数，
即的单调递增区间为，无递减区间．
当时，，令，得．当时，；
当，时，．
的单调递增区间为，单调递减区间为，．
综上，当时，的单调递增区间为，无递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，．
（Ⅱ）当时，，
正实数，满足，
，，
，
令函数，，则，
时，，时，，
（1），
．
则，或 舍去）．
，
，
8．已知函数．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；
（3）若正实数，满足，证明．
【解答】解：（1）函数的导数为，
由，得，
又，所以．
所以的单调减区间为；
（2）关于的不等式恒成立，
即为恒成立，
令，
，
所以，
由，
由于，，递增，无最大值，故不成立；
则，由，递减，
，递增，
可得处取得极大值，且为最大值，
即有，
则恒成立，
可得整数的最小值为2；
（3）证明：由正实数，满足，
即，
从而．
令，则由得，，
可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以（1），
所以，
又，
因此成立．
9．已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）证明当时，关于的不等式恒成立；
（Ⅲ）若正实数，满足，证明．
【解答】解：（Ⅰ），
由，得，又，所以．
所以的单调减区间为，函数的增区间是．
（Ⅱ）令，
所以．
因为，
所以．
令，得．
所以当，；
当时，．
因此函数在是增函数，在，是减函数．
故函数的最大值为．
令，因为，
又因为（a）在是减函数．
所以当时，（a），
即对于任意正数总有．
所以关于的不等式恒成立．
（Ⅲ）由，
即，
从而．
令，则由得，．
可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以（1），
所以，又，
因此成立．
10．已知函数．
（1）若（1），求函数 的单调递减区间；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值：
（3）若，正实数，满足，证明：．
【解答】解：（1），（1），
，且．
，
，
当，即时，函数的单调递减，
函数的单调减区间．
（2）令，
则，
当时，在上，函数单调递增，
且（1），不符合题意，
当时，函数在时取最大值，，
令（a），
则根据基本函数性质可知，在时，（a）单调递减，
又（1），（2），
符合题意的整数的最小值为2．
（3），
，
令，则，
时，，单调递增，
时，，单调递减，
（1），
，
即，
又，是正实数，
，
又因为，
所以（12分）
11．已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，正实数，满足，证明：．
【解答】解：（1），，
，（1分）
当时，，．在上是递增函数，
即的单调递增区间为，无递减区间．（3分）
当时，，令，得．当时，；
当，时，．
的单调递增区间为，单调递减区间为，．（5分）
综上，当时，的单调递增区间为，无递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，．（6分）（2）当时，，
正实数，满足，
，
令函数，，则
时，，时，
（1）
．
则，或（舍去）
．
．
12．已知函数，，当时，恒成立．
（1）求实数的取值范围；
（2）若正实数、满足，证明：．
【解答】解：
（1）当时，，（1）．
当时，成立．分
当时，存在大于1的实数，使得
当时，成立．
在区间上单调递减；
当时，（1）；
不可能成立．
所以．分
（2）不妨设正实数、满足，
有（1）可知，；
又为单调递增函数，
所以
又
所以只要证明：分
设则，
可得
当时，成立
在区间上单调增函数．
又（1）
当时，成立，即．
所以不等式成立．
所以．分．
13．已知函数，．
（1）若在处取得极值，求的值；
（2）设，试讨论函数的单调性；
（3）当时，若存在实数，满足，求证：．
【解答】解：（1）因为，所以，
因为在处取得极值，
所以，解得．
验证：当时，，
易得在处取得极大值．（3分）
（2）因为，
所以
（4分）①若，则当时，，
所以函数在上单调递增；
当时，，
函数在上单调递减．（5分）
②若，，
当时，易得函数在和上单调递增，
在上单调递减；
当时，恒成立，所以函数在上单调递增；
当时，易得函数在和上单调递增，
在上单调递减；（8分）
（3）证明：当时，
因为，
所以，
所以．
令，，
则，
当时，，所以函数在上单调递减；
当时，，所以函数在上单调递增；
所以函数在时，取得最小值，最小值为1．（10分）
所以，
即，所以（11分）
当时，此时不存在，满足等号成立条件，
所以．（12分）
14．已知函数，其定义域为．（其中常数，是自然对数的底数）（1）求函数的递增区间；
（2）若函数为定义域上的增函数，且，证明：．
【解答】解：（1）易知，
①若，由，解得：，
故函数在递增，
②若，令，解得：，或，
令，解得：，
故在递增，在，递减，在递增，
③若，则，
故函数在递增，
④若，令，解得：或，
令，解得：，
故在递增，在递减，在，递增，
综上，若，在递增，
若，在，递增，
若，在递增，
若，在，，递增；
（2）函数在递增，
，即，
注意到（1），故（1），
即证，即证，
令，，
只需证明（1），
故，下面证明，即证，
由熟知的不等式可知，
当时，即，
故，
易知当时，，
故，
故，
故，即递增，即（1），
从而．
15．已知函数．
（Ⅰ）若在上是单调递增函数，求的取值范围；
（Ⅱ）设，当时，若，且，求证：．
【解答】解：（1）函数在上是单调递增函数，
在上，恒成立，
即：；（2分），
设，；
则，
当时，在上为增函数，
当时，在上为减函数，
（1），
，
，即，；（4分）
（2）方法一：因为，所以，
所以在上为增函数，（6分）
因为，
即，
所以和同号，
不妨设，，（8分）
所以，
因为，，
所以，在上为增函数，（10分）
所以，，
所以，
所以，即；（12分）
方法二：
，，，
，
，
设，
则，
，在上递增且（1）；（6分）
令，，
设，；（8分）
；
，，
且，，在上递增，
，
，；（10分）
令，，
即：，
又，
，
即：，
在上递增，
，即：．（12分）
16．已知函数有最大值，，且是的导数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）证明：当，时，．
【解答】解：（Ⅰ）的定义域为，．（1分）
当时，，在上为单调递增函数，无最大值，不合题意，舍去；（2分）
当时，令，得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，（3分）
，，（4分）．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，．
，，在上单调递增．（6分）
又，且，．（7分）
，当时，，单调递增，
要证，即（2），
只要证，即．（8分），，所以只要证，（9分）
设（其中，
，
在上为增函数，（11分）
（1），故式成立，从而．（12分）
17．已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若，分别解答下面两题：
若不等式对任意的恒成立，求的取值范围；
若，是两个不相等的正数，，求证：．
【解答】解：（Ⅰ）函数．
的定义域为，，
令，，，
①当时，在恒成立，
递增区间为．
②当时，，
，
又，的递增区间是，递减区间是，．
（Ⅱ）设，
，
，在上恒成立，
在上单调递减，
，
，即的取值范围是，．
证明：（1），在上单调递增．①若，，则，，
则与已知矛盾；
②若，，则，，
则与已知矛盾；
③若，则，又，，
，与矛盾；
④不妨设，
则由（Ⅱ）知当时，，
令，则，
，
又在上单调递增，
，．
18．已知函数．
（1）若曲线在，处的切线与直线平行，求的单调区间；
（2）当时，若，且，证明：．
【解答】解：（1），
，故，
，
令，得或，令，得，
的单调增区间，，单调递减区间是；
（2）证明：，，
令，则，
在递增，
，
，
与同号，不妨设，设，
则，
，，
，在递增，
，，
，
又在递增，
，即．