【导数大题】题型刷题突破 第30讲 整数解问题之分离参数

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2、做题经验。更简单的来说：“一个知识点对应的题目有无数个”，哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
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第30讲 整数解问题之分离参数
1．已知．
（1）若函数在上有1个零点，求实数的取值范围．
（2）若关于的方程有两个不同的实数解，求的取值范围．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数判断即可；
（2）由可得，令，则，由关于的方程有两个不同的实数解，即方程有两个不同的实数解，令，求出函数的最值，即可得解.
（1）
解：，，，
所以，
当时，，所以在，单调递增，
又因为，所以在，上无零点；
当时，，使得，
所以在，单调递减，在单调递增，
又因为，，
所以若，即时，在，上无零点，
若，即时，在，上有一个零点，
当时，，在，上单调递减，在，上无零点，综上当时，在，上有一个零点；
（2）
解：由，
即，即，
则有，
令，则，
，所以函数在上递增，
所以，则有，即，
因为关于的方程有两个不同的实数解，
则方程有两个不同的实数解，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
当时，，当时，，
所以.
【点睛】
本题考查了利用导数求函数的单调区间及最值问题，考查了分类讨论思想、转化思想及同构思想，难度较大.
2．已知函数.
（1）若在处取得极值，求的值及函数的单调区间；
（2）请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择.如果多写按第一个计分.
①若恒成立，求的取值范围.
②若仅有两个零点，求的取值范围.【答案】
（1）单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）选择①时，；选择②时，
【分析】
（1）把代入，然后对求定义域，求导，利用求出求的值，观察出是个增函数进而求出函数的单调区间；（2）对进行同构变形，然后构造新函数求的取值范围
（1）
定义域为，，在处取得极值，则，所以，此时，可以看出是个增函数，且，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.故的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）
①选择若恒成立，
若恒成立，即，整理为，即
设函数，则上式为：
因为恒成立，所以单调递增，所以
所以，令，.，当时，，当时，，故在处取得极大值，，故1，解得：
故当时，恒成立.
②选择若仅有两个零点，
即有两个根，整理为，即
设函数，则上式为：
因为恒成立，所以单调递增，所以=
所以只需有两个根，令，.
，当时，，当时，，故在处取得极大值，，
要想有两个根，只需，解得：，所以的取值范围为
【点睛】
同构变形是一种处理含有参数的函数常用方法，特别是指对同构，对不能参变分离的函数可以达到化简后可以参变分离的效果，非常的好用
3．已知函数.
（1）选择下列两个条件之一：①；②；判断在区间是否存在极小值点，并说明理由；
（2）已知，设函数若在区间上存在零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）若选择①，则，由于在上单调递增，且，从而可求出求出的单调区间，进而可求出的最小值非负，则无极值；若选择②，则，由在上单调递增，且，可得的单调区间，从而得其最小值小于0 ，进而可判断函数的极值，
（2）令，则可得，令，即转化为有解，构造函数，由导数可得由唯一零点，从而将问题转化为在有解，即，再构造函数，利用导数求出函数的值域可得的范围，从而可求出实数的取值范围【详解】
解：（1）若选择①，则，
由在上单调递增，且，
所以在上单调递减，上单调递增，
有，则在上单调递增，不存在极小值点.
若选择②，则，
由在上单调递增，且，
所以在上单调递减，上单调递增，
有，而，
所以存在极小值点.
（2）令，有，又，
所以，
令，
即转化为有解，设，
则由可得，在单调递减，在单调递增，而，
所以由唯一零点.
若在区间存在零点，即为在有解.
整理得：，
设，由知，在单调递减，
在单调递增，
则，所以，故有.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决零点问题，解题的关键是由可得，令，将问题转化为有解，构造利用导数讨论其解的情况即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题
4．已知函数
（1）若函数在上单调递减，求的取值范围；
（2）若函数在定义域内没有零点，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）首先求出函数的导函数，依题意可得在恒成立，两边取以为底的对数，即在恒成立，令，根据函数的单调性求出参数的取值范围；
（2）依题意可得在无实根，即：在无实根，构造函数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得解；
【详解】
解：（1）
因为函数在单调递减，
所以在恒成立，
两边取以为底的对数，
即在恒成立，
设，
所以在递减，
所以，
所以；
（2）在无零点，等价于方程在无实根，
亦即在无实根，
因为在为单调增函数，
原方程无零点等价于在无实根，
即：在无实根，
构造函数，
，，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
且，，
所以．
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
5．已知函数.
（1）若，求函数的极值；
（2）若函数有且仅有两个零点，求a的取值范围.
【答案】（1）极小值，无极大值；（2）.
【分析】
（1），对函数求导，讨论函数的单调区间，进而可得结果.
（2）函数有两个零点，转化为有两个解，构造函数，由函数单调递增，可得()有两个解，进而可得结果.
【详解】
（1）当时，，，，显然在单调递增，且，
∴当时，，单调递减，当时，，单调递增，
∴在处取得极小值，无极大值.
（2）函数有两个零点，即有两个解，
即有两个解，
设，则，单调递增，
∴()有两个解，即()有两个解.
令()，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，又时，，且，当时，，且
所以当时，
∴.
【点睛】
关键点点睛：有两个解，根据方程的结构构造函数是解题的关键.
6．已知函数．
（1）求函数在处的切线方程
（2）证明：在区间内存在唯一的零点；
（3）若对于任意的，都有，求整数的最大值．
【答案】
（1）y＝－1；
（2）见解析；
（3）3﹒
【分析】
(1)根据导数的几何意义即可切线；
(2)先利用导数证明在上单调递增，再结合零点存在定理，得证；(3)参变分离得，令，原问题转化为求在上的最小值，结合(2)中结论和隐零点的思维，即可得解．
（1）
，
，，
，
在处的切线为；
（2）
证明：，
，
当时，，
在上单调递增，
（3），（4），
在区间内存在唯一的零点．
（3）
，且，
，
令，则，，
由（2）知，在上单调递增，且在区间内存在唯一的零点，
设该零点为，则，
故当时，，即，在上单调递减，当，时，，即，在，上单调递增，
，
，
故整数的最大值为3．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的零点，以及不等式问题，考查转化与划归思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
7．已知函数（其中为自然对数的底数）．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数在有唯一零点，求实数的取值范围；
（3）若不等式对任意的恒成立，求整数的最大值．
【答案】
（1）极小值为，无极大值；
（2）；
（3）.
【分析】
（1）利用导数可确定单调性，由极值定义可求得结果；
（2）利用导数可确定的单调性；当时，可知，解不等式可知无满足题意的值；当时，根据，分别在，和三种情况下，根据在有唯一零点可构造不等式求得结果；
（3）将恒成立不等式化为，令得，令可确定，使得，由此可得，进而得到的范围，从而得到.
（1）
当时，，则，当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
的极小值为，无极大值.
（2）
，，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；
①当时，在上单调递增，若在上有唯一零点，则，
即，解得：（舍）；
②当时，在上单调递减，在上单调递增；
当，即时，，则在上无零点，不合题意；
当，即时，在上有唯一零点，满足题意；
当，即时，由得：，
在上有唯一零点，此时需，即；
综上所述：当或时，在上有唯一零点，
即实数的取值范围为.
（3）
若对恒成立，即对恒成立，则，
令，则，
令，则，在上单调递增，
，，，使得，
即，则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，
，，，
，整数的最大值为.
【点睛】
方法点睛：求解本题恒成立问题的常用方法是能够通过分离变量的方法将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系比较问题，即若恒成立，则；若恒成立，则.
8．已知函数，.
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）令，若在恒成立，求整数的最大值.（参考数据：，）.
【答案】（1）； （2）.
【分析】
（1）（1）当时，得到，求得，得出，且，结合直线的点斜式方程，即可求解.
（2）把在转化为在恒成立，令，利用导数求得函数的额单调性，零点的存在定理得到在上递减，在上递增，从而求得，即可求得整数的最大值.
【详解】
（1）（1）当时，可得，则，
可得，且，
即函数在点处的切线的斜率，
所以切线方程为，即，函数在点处的切线方程.
（2）由，
因为在恒成立，即在恒成立，
即在恒成立，
令，可得，
令，可得在上单调递增，且，
所以存在，使得，
从而在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为在恒成立，所以，
所以整数的最大值为.
【点睛】
对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.
9．已知函数．
（1）证明：在区间内存在唯一的零点；
（2）若对于任意的，都有，求整数的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）3．
【分析】
（1）先利用导数证明在上单调递增，再结合零点存在定理，得证；
（2）参变分离得，令，原问题转化为求在上的最小值，结合（1）中结论和隐零点的思维，即可得解．
【详解】
（1）证明：∵，
∴，
当时，，
∴在上单调递增，
∵，，
∴在区间内存在唯一的零点．
（2）解：∵，且，
∴，
令，则，，
由（1）知，在上单调递增，且在区间内存在唯一的零点，
设该零点为，则，
故当时，，即，在上单调递减，
当时，，即，在上单调递增，
∴，
∴，
故整数的最大值为3．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的零点，以及不等式问题，考查转化与划归思想，逻辑推理能力和运算能力，属于较难题．
10．已知函数．
（1）求的单调区间和极值；
（2）若存在实数，使得成立，求整数的最小值．【答案】(1) 在上单调递减，在上单调递增, 当时，有极小值，无极大值. (2) 1
【分析】
(1) 求出，得到，从而可得在上单调递增，且，得出函数的单的区间和极值.
(2)由题意即存在实数，使得成立，设，即，求出函数的导数，得出其单调区间，结合隐零点的代换，可得答案.
【详解】
（1）由，可得
又恒成立，则在上单调递增，且
所以当时，，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，有极小值，无极大值.
(2) 存在实数，使得成立
即存在实数，使得，即成立
设，即
，
所以在上单调递增. ,
所以存在，使得，即，也即
所以当时，，单调递减.
当时，,单调递增.
所以
当时，
所以，由题意，
所以整数的最小值为1.
11．已知函数.
（1）若求的单调区间；
（2）若恒成立，求整数a的最大值.
【答案】（1）答案见解析；（2）－1.
【分析】
（1）求出函数导数，根据a分类讨论，即可求解；
（2）由原不等式恒成立，分离参数可得，利用导数求的最小值即可求解.
【详解】
（1）f（x）的定义域为，
，
①当－1＜a＜0时，，由，得0＜x＜1或，由，得，
∴f（x）的单调减区间为，单调增区间为（0，1）和；
②当a＝－1时，在上恒成立，
∴f（x）的单调增区间为，无减区间；
③当a＜－1时，，由，得或x＞1，由，得，
∴f（x）的单调减区间为，单调增区间为和；
综上所述，当a＜－1时，f（x）的单调减区间为，单调増区间为和；
当a＝－1时，f（x）的单调增区间为，无减区间；
当－1＜a＜0时，f（x）的单调减区间为，单调增区间为（0，1）和.
（2），故，设，则，
设，则恒成立，
∴h（x）在（0，＋∞）上单调递增，
∵h（1）＝－1＜0，，
，使得，
时，，从而，
时，在上为减函数，
时，，从而，
时，在上为増函数，
，把代入得：
，
令，则p（x）为增函数，
，，，
整数a的最大值为－1.
【点睛】
恒成立问题解题思路：
（1）参变量分离：
（2）构造函数：①构造函数，研究函数的单调性，求出函数的最值，解不等式即可；②构造函数后，研究函数单调性，利用单调性解不等式，转化之后参数分离即可解决问题.
12．已知函数(且e为自然对数的底数).
（1）当时，求的最小值；
（2）若关于x的不等式，求整数b的最大值.【答案】（1）；（2）最大值为3.
【分析】
（1）由题设知定义域为，，若，利用导数研究的单调性并找到零点，根据的符号得到的符号，进而可知的区间单调性，即可求最小值.
（2）由（1）知时，则，即有，构造应用导数研究单调性，进而确定的范围，从而求整数b的最大值.
【详解】
（1）由题意知，函数的定义域为，
由得：
记，则
当时，有恒成立，故在上恒成立，即在上单调递增，又，
∴有，即；时，即.
∴在上单调递减，在上单调递增
∴.
（2）由（1）知：当时，，当且仅当时取等号；
∴此时，有(当且仅当时取等号)，则，
记，则
∴当时，；当时，；即在上单调递减，在上单调递增.
∴，即，又当时，，
综上，有，又b为整数，
∴，即b的最大值为3.
【点睛】
关键点点睛：
（1）构造中间函数，利用导数研究函数的单调性并找到零点，由区间函数值的符号判断的单调性，进而求最值；
（2）由（1）的结论得到，结合题设有，构造应用导数研究单调性，确定最小值的范围，进而求参数的最大值.
13．已知函数.
（1）当，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，恒成立，求整数的最大值.
【答案】（1）；（2）最大值为.
【分析】
（1）当时，，得且，进而可得，进而写出切线的方程；
（2）可化为，即当时，恒成立，令，，只需，求导判断单调性，求解最小值即可.
【详解】
解：（1）当时，，定义域为，
又且，
则，所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）可化为，
因为，所以，所以当时，恒成立，
令，，
只需，由，
令，，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，因为，，
所以，使得，即，当时，，即，单调递减，
当时，，即，单调递增，
所以，
所以只需，因为，
所以整数的最大值为.
【点睛】
导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．