【导数大题】题型刷题突破 第32讲 整数解问题之虚设零点

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2、做题经验。更简单的来说：“一个知识点对应的题目有无数个”，哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。对于备考当中的学生来说“多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。”
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第32讲 整数解问题之虚设零点
1．设函数.
（1）求函数的单调增区间；
（2）当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：）
【答案】
（1）答案见解析
（2）存在，的最小值为0
【分析】
（1）求出函数的导数，就的不同取值可求的解，从而可得函数的单调增区间.
（2）利用导数结合虚设零点可求，从而可得整数的最小值.
（1）
因为，
所以，
①当时，由，解得；
②当时，由，解得；
③当时，由，解得；
④当时，由，解得；
⑤当时，由，解得，
综上所述，当时，的增区间为；
当时，的增区间为；
时，的增区间为.
（2）
当时，，所以，而，
因为均为上的增函数，
故为上的增函数，
而，，
故在上有且只有一个零点，
且且时，；当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
故，
因为，所以，
所以，
而整数，使得关于x的不等式有解，故，
故存在整数满足题意，且的最小值为0.
【点睛】
思路点睛：利用导数求函数的最值时，如果导数的零点不易求得，则可以虚设零点，利用零点满足的关系式化简最值，从而得到最值的范围或符号.
2．已知函数，求：
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，总有，求整数的最小值.
【答案】
（1）
（2）-3
【分析】
（1）先对函数求导，计算出斜率，再用点斜式即可；（2）分离参数转化为函数的最值问题.
（1）当时，
在点处的切线方程为即
（2）
由题意，，即，即，
又，恒成立.
令，
令，则恒成立.
在上递减，
，
使，即，则，
当时，，当时，
因为，且，，即整数k的最小值为-3
【点睛】
方法点睛：对于零点不可求问题，可以设而不求，整体替换从而求出范围。
3．已知函数（其中为自然对数的底数）．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数在有唯一零点，求实数的取值范围；
（3）若不等式对任意的恒成立，求整数的最大值．
【答案】
（1）极小值为，无极大值；
（2）；（3）.
【分析】
（1）利用导数可确定单调性，由极值定义可求得结果；
（2）利用导数可确定的单调性；当时，可知，解不等式可知无满足题意的值；当时，根据，分别在，和三种情况下，根据在有唯一零点可构造不等式求得结果；
（3）将恒成立不等式化为，令得，令可确定，使得，由此可得，进而得到的范围，从而得到.
（1）
当时，，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
的极小值为，无极大值.
（2）
，，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；
①当时，在上单调递增，若在上有唯一零点，则，
即，解得：（舍）；
②当时，在上单调递减，在上单调递增；
当，即时，，则在上无零点，不合题意；
当，即时，在上有唯一零点，满足题意；
当，即时，由得：，在上有唯一零点，此时需，即；
综上所述：当或时，在上有唯一零点，
即实数的取值范围为.
（3）
若对恒成立，即对恒成立，则，
令，则，
令，则，在上单调递增，
，，，使得，
即，
则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，
，，，
，整数的最大值为.
【点睛】
方法点睛：求解本题恒成立问题的常用方法是能够通过分离变量的方法将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系比较问题，即若恒成立，则；若恒成立，则.
4．已知函数．
（1）求函数在处的切线方程
（2）证明：在区间内存在唯一的零点；
（3）若对于任意的，都有，求整数的最大值．
【答案】
（1）y＝－1；（2）见解析；
（3）3﹒
【分析】
(1)根据导数的几何意义即可切线；
(2)先利用导数证明在上单调递增，再结合零点存在定理，得证；
(3)参变分离得，令，原问题转化为求在上的最小值，结合(2)中结论和隐零点的思维，即可得解．
（1）
，
，，
，
在处的切线为；
（2）
证明：，
，
当时，，
在上单调递增，
（3），（4），
在区间内存在唯一的零点．
（3）
，且，
，令，则，，
由（2）知，在上单调递增，且在区间内存在唯一的零点，
设该零点为，则，
故当时，，即，在上单调递减，
当，时，，即，在，上单调递增，
，
，
故整数的最大值为3．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的零点，以及不等式问题，考查转化与划归思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
5．已知函数，.
（1）若，讨论函数在定义域内的极值点个数；
（2）若，函数在上恒成立，求整数的最大值.
【答案】（1）答案见解析；（2）最大值为3.
【分析】
（1）求，计算方程的，分别讨论和时的单调性，由单调性可得极值点的个数；
（2）先求出，再计算，再构造函数，利用的单调性以零点存在定理可判断的单调性，进而可得的最小值，只需，再结合是整数即可求解.
【详解】
（1）的定义域为；且，
因为方程的，①当，即时，恒成立，
此时对于恒成立，
所以在上单调递增，故极值点个数为；
②当，即时，
设方程的两根分别为和，
则，，所以，，设 ，
则，，
由即可得：或，
由即可得：
所以在和上单调递增，
在上单调递减，故极值点个数为2；
综上所述，当时，极值点个数为，当时，极值点个数为2.
（2）时，，则，
令，则，
所以在上单调递增，
而，，
所以存在，使，即，故，
当时，，；当时，，；
即在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
所以，因为，即的最大值为3.【点睛】
方法点睛：由不等式恒成立（或能成立）求参数时，
（1）可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；
（2）可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.
6．已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）令，若在恒成立，求整数a的最大值．
参考数据：，
【答案】（1）答案见解析；（2）3.
【分析】
求得，结合二次函数性质对a进行讨论求解单调性；
由题设可得，将问题转化为恒成立，构造并应用导数研究最小值，由即可求整数a的最大值．
【详解】
的定义域为且，
①当时，由得：，
∴时，的增区间为，减区间为，
②当时，令得：或，
∴的增区间为和减区间为
③当时，恒成立，此时的增区间为，无递减区间：
④当时，令得：或，
∴的递增区间为和，减区间为．，则恒成立．
令，则，
令，，知在上递增且，，
∴，使，即在递减，在递增，
∴，
∴由知：整数a的最大值为3．
【点睛】
关键点点睛：第二问，将题设问题转化为恒成立，构造函数并应用导数研究最值，求参数.
7．已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求整数的最大值．
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）-1．
【分析】
（1）求出函数导数，根据a分类讨论，即可求解；
（2）由原不等式恒成立，分离参数可得，利用导数求的最小值即可求解.
【详解】
（1）的定义域为，
，
（1）当时，，
由得，
由得，．
∴的单调递增区间为，单调减区间为
（2）当时，，由得或，
由得，
∴的单调减区间为，单调增区间为和
（3）当时，，在上恒成立，
∴单调增区间为，无减区间；
（4）当时，，
由得或，
由得，
∴的单调减区间为，单调增区间为和．
综上所述，当时，的单调减区间为，单调增区间为和；
当时，单调增区间为，无减区间；
当时，的单调减区间为，单调增区间为和
当时，的单调增区间为，单调减区间为；
（2）
设，则．
设，则恒成立
∴在上单调递增，
∵
∴使得，
时，从而，∴时，，在上为减函数，
时，，从而，
∴时，在上为增函数，
∴，把代入得
令，，
则为增函数，
∴，，
∴
∴整数的最大值为-1．
【点睛】
关键点点睛：利用导数求出后，需要构造函数，在利用函数的单调性求的最小值，是解题的关键，属于难题.
8．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若在上恒成立，求整数的最大值.(参考数据：，).
【答案】（1）答案见解析；（2）最大值为3.
【分析】
（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为，在恒成立，令，根据函数的单调性求出的最小值，求出的最大值即可．
【详解】
解：（1）的定义域为，.当时，令，得，令，得，
所以的减区间为，增区间为.
当时，恒成立，所以的减区间为；
当时，令，得，令，得，
所以的增区间为，减区间为.
（2）由在上恒成立.可得：在上恒成立，
令，则.
令，
∵与在上均单调递增，
∴在上单调递增，且，.
∴，使得，此时，
∴当时，；当时，；
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，
∵在恒成立，∴，
∴整数的最大值为3.
【点睛】
关键点点睛：求解恒成立问题的关键是能够将问题转化为，在恒成立,再利用导数求最值.
9．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若在上恒成立，求整数的最大值．【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）求得，分、两种情况讨论，分析导数在上的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；
（2）由参变量分离法得出，构造函数，利用导数求出函数在上的最大值，进而可得出整数的最大值.
【详解】
函数的定义域为.
（1）因为，所以．
当时，对恒成立；
当时，由得，得．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）由得，所以，
即对恒成立．
令，则，
令，则，因为，所以，
所以在上单调递增，
因为，，所以存在满足.
当时，，；当时，，.
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，因为，，所以的最大值为．
【点睛】
结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
10．设函数，
（1）当时，求函数图象在处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）若不等式对恒成立，求整数的最大值.
【答案】（1）；（2）单调递增区间是，单调递减区间是；（3）2
【分析】
（1）当时，可得，，求出，，即可求出切线方程；
（2）求出，求出极值点，利用导函数的符号，判断函数的单调性即可；
（3）当时，不等式恒成立，即：恒成立，等价于当时，恒成立；即对恒成立，令，根据导数求其最值，即可求得答案.
【详解】
（1）当时，
可得，
，
可得：，所求切线方程为
（2）
.
令，则.
当时，；
当时，；
的单调递增区间是，单调递减区间是.
（3）当时，不等式恒成立
即：恒成立，
等价于当时，恒成立；
即对恒成立.
令，，
，
令，，
，
在上单调递增.
又，，
在上有唯一零点，且，
在上单调递减，在上单调递增，
，，
故整数的最大值为.
【点睛】
本题主要考查了根据导数求函数单调区间和根据不等式恒成立求参数值，解题关键是掌握根据导数求函数单调区间的方法和构造函数求最值的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于难题.
11．已知函数.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；
（2）若的导函数存在两个不相等的零点，求实数的取值范围；
（3）当时，是否存在整数，使得关于的不等式恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在，最大值为.
【分析】
（1）求出函数的导数，由题意得出从而可求出实数的值；
（2）令，可得知函数在上有两个零点，分和两种情况讨论，利用导数分析函数在区间上的单调性和极值，由题意转化为函数极值相关的不等式，解出即可得出实数的取值范围；
（3）将代入函数的解析式得出，对该函数求导得出，构造函数，利用单调性结合零点存在定理找出函数的极小值点，并满足，结合此关系式计算得出，从而可得出整数的最大值.
【详解】
（1），
因为曲线在点处的切线方程为，
所以，得；
（2）因为存在两个不相等的零点.
所以存在两个不相等的零点，则.①当时，，所以单调递增，至多有一个零点
②当时，因为当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以时，.
因为存在两个零点，所以，解得.
因为，所以.
因为，所以在上存在一个零点.
因为，所以.
因为，设，则，
因为，所以单调递减，
所以，所以，
所以在上存在一个零点.
综上可知，实数的取值范围为；
（3）当时，，，
设，则.所以单调递增，
且，，所以存在使得，
因为当时，，即，所以单调递减；
当时，，即，所以单调递增，
所以时，取得极小值，也是最小值，
此时，
因为，所以，
因为，且为整数，所以，即的最大值为.
【点睛】
本题考查利用切线方程求参数、利用导数研究函数的零点，同时也考考查了利用导数研究不等式恒成立问题，涉及隐零点法的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.
12．已知函数（）.
（1）若曲线在处的切线与直线平行，求的值；
（2）若对于任意且，都有恒成立，求的取值范围.
（3）若对于任意，都有成立，求整数的最大值.
（其中为自然对数的底数）
【答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】
分析：（1）由题意得：，由题意可得，解得.
（2）因为，所以，
记，可知在上单调递增.
所以在上恒成立，
即在上恒成立，记，即可求得的取值范围.
（3）若对于任意，都有成立，
所以对于任意恒成立，
即对于任意恒成立，
令，利用导数研究函数的性质，即可得到整数的最大值.
详解：
（1）由题意得：，
又曲线在处的切线与直线平行，
所以，解得.
（2）因为，所以，
记，又因为且，所以在上单调递增.
所以在上恒成立，
即在上恒成立，记，
所以，令，解得，
因为当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，取到最大值，
所以.
（3）若对于任意，都有成立，
所以对于任意恒成立，
即对于任意恒成立，
令，所以，
再令，所以在恒成立，
所以在上单调递增，
又，，
所以必存在唯一的解，使得，
即，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
因为，所以，又因为，所以的最大整数为，
所以整数的最大值为.
点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题及恒成立，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是难题．
13．已知函数在点处的切线过点．
(1)求实数的值，并求出函数单调区间；
(2)若整数使得在上恒成立，求的最大值．
【答案】（1），在单调递减，在单调递增；（2）7.
【详解】
分析：（1）函数求导，由处的切线斜率为，利用点斜式得到切线方程，将代入求解的值，并根据导数的正负可得单调区间；
（2）由等价于，记 ，求导得，记，继续求导可知在单调递增，易知存在，使得，从而得到，进而求范围即可.
详解：
(1)的定义域为，，∴处的切线斜率为
因此切线方程为，即
又∵切线过，代入上式解得，∴
可得在单调递减，在单调递增．
（2）∵时， ，∴等价于记 ，∴
记，有 ，∴在单调递增
∴ ，由于，，可得
因此，故
又
由零点存在定理可知，存在，使得，即①
且时，，时，
故时，单调递减，时，单调递增
∴
由①可得
故的最大值为7．
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；
（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .