【导数大题】题型刷题突破 第33讲 整数解问题之直接限制法

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1、多加总结。这是非常重要的一点，当三年所有的数学知识点加在一起，可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。更简单的来说：“一个知识点对应的题目有无数个”，哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。对于备考当中的学生来说“多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。”
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
第33讲 整数解问题之直接限制法
1．已知偶函数满足，，且当，时，，关于的不等式在，上有且只有300个整数解，求实数的取值范围
【解答】解：偶函数满足满足，
，
的周期为8，且的图象关于直线对称．
由于，上含有50个周期，且在每个周期内都是轴对称图形，
关于的不等式在，上有3个整数解．
当，时，，
在上单调递增，在，上单调递减，
（1），（2）（3）（4），
当，2，3，时，，
当时，在，上有4个整数解，不符合题意，
，
由可得或．
显然在，上无整数解，
故而在，上有3个整数解，分别为1，2，3．
（4），（3），（1），
．
故选：．
2．已知关于的不等式的解集为，其中，若该不等式在中有且只有一个整数解，求实数的取值范围
【解答】解：关于的不等式化为：，
令，，则．
令，在上单调递增，
因此存在，使得，，
，
（1），（2）．
因此存在，使得，
因此函数在内单调递减，在，单调递增．
（1），（2）．
关于的不等式的解集为，其中，
该不等式在中有且只有一个整数解，
实数的取值范围是．
另解：式子可化为，令，则必过，因为之间含一个整数解，那么这个整数解必须是1，且，，通过这个进一步可以确定的范围．
故选：．
3．已知偶函数满足，且当，时，，关于的不等式在，上有且只有300个整数解，求实数的取值范围
【解答】解：是偶函数，，
，，
的周期为．
当，时，，
当时，，当时，，
在上单调递增，在，上单调递减．
又（1），（4），且是以8为周期的偶函数，
当为整数时，，在，上有300个整数解，
在，上有3个整数解，显然这三个整数解为1，2，3，
即在，上有三个整数解1，2，3．
，即，解得：．
故答案为：，．
4．已知函数，其中，为自然对数的底数．
（1）试讨论的单调性；
（2）是否存在正整数，使得对一切恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）．
①若，则恒成立，在上单调递增；
②若，令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
综上所述，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）要使在上恒成立，则在上恒成立，
令，
则．
①当时，，
由知，在上单调递减，在上单调递增．
，
满足题意．②当时，当时，函数的取值情况，
，，．
又，，即，
当时，在上单调递增．
不妨取，则函数在上单调递增，
，且，
不能恒成立．
综上所述，正整数的最大值为2．
5．已知函数，其中，为自然对数的底数．
（1）若函数有两个零点，求的取值范围；
（2）是否存在正整数，使得对一切恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在．请说明理由．
【解答】解：（1），，
令，得，令，得，
函数在上单调递成，在上单调递增，
（1），
函数有两个零点，（1），
的取值范围为；
（2）要使在上恒成立，
即使在上恒成立，
令，
则，
①当时，，
由知在单调递减，在单调递增，
，时满足题意；
②当时，考查时，函数的取值情况：
，，，
又，，即，
当时，在上单调递增，
取，则函数在上单增，
，且，
不能恒成立，
综上，的最大正整值为2．
6．已知集合，集合，．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若中恰含有一个整数，求实数的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）或，
当时，由，
解得：，即，，
，；
（Ⅱ）函数的对称轴为，
，且中恰含有一个整数，
根据对称性可知这个整数为2，
（2）且（3），即，
解得：．
7．已知函数．
（1）求函数的最大值；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围；（3）若不等式仅有一个整数解，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）函数，
则，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
所以当时，函数取得极大值，也是最大值为（1）．
（2）函数有两个零点，相当于函数的图象与直线有两个交点．
当时，，时，，
结合（1）中结论，可得．
（3）因为，所以不等式仅有一个整数解，
即只有一个整数解，因为的极大值为（1），，
（2），
所以当，时，只有一个整数解，
即当，时，不等式仅有一个整数解．
所以实数的取值范围是，．
8．已知函数．
（1）求在，上的最小值；
（2）若关于的不等式有且仅有三个整数解，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）函数．．
所以：时，，
时，，
所以：在上单调递增，在上单调递减，
当时，在，递增，所以最小值为（2），当时，在，递增，在，递减，
所以：（4）（2），
所以：时，最小值为（2），
时，最小值为（a），
综上所述，时，最小值为（2），
时，最小值为（a），
（2）由不等式得：，
当时，得到：或，
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以最大值为：（e），且当时，，
所以：的解集为：，无整数解．
若关于的不等式只有三个整数解，
所以有且仅有三个整数解，
所以（5）（2）（4）（3）
此时整数解为2，3，4．
所以：，所以：，
当时，得，
此时关于的不等式有无数个整数解，不满足题意，舍去，
当时，，得到：或，
所以，有无数个整数解，舍去．
综上所述，实数的取值范围为：，．
9．已知函数．
求在区间，上的最小值；
若关于的不等式只有两个整数解，求实数的取值范围．【解答】解：（Ⅰ），令得的递增区间为；
令得的递减区间为，
，，则当时，在，上为增函数，
的最小值为（1）；
当时，在，上为增函数，在，上为减函数，（2）（1），
，的最小值为（1），
若，的最小值为（a），
综上，当时，的最小值为（1）；
当，的最小值为（a）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的递增区间为，递减区间为，，且在，上，
又，则．又．
时，由不等式得或，而解集为，，整数解有无数多个，不合题意；
时，由不等式得，解集为，，，整数解有无数多个，不合题意；
时，由不等式得或，解集为无整数解，若不等式有两整数解，则（3）（1）（2），
综上，实数的取值范围是，
10．已知函数
（1）求在，上的最小值；
（2）若关于的不等式只有两个整数解，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）函数，．
令，解得，得的递增区间为；
令，解得，可得的递减区间为．
，，
当时，在，上为增函数，的最小值为（1）．
当时，在上为增函数，在上为减函数，
又（2）（1），
若，的最小值为（1），
若，的最小值为（a）．
综上，当时，的最小值为；当，的最小值为．
（2）由（1）知，的递增区间为，递减区间为，且在上，又，则．又．
时，由不等式得或，
而解集为，整数解有无数多个，不合题意．
时，由不等式得，解集，整数解有无数多个，不合题意；
时，由不等式得或，
解集为无整数解，若不等式有两个整数解，则（3）（1）（2），
．
综上，实数的取值范围是．
11．已知函数，．
（Ⅰ）记，试判断函数的极值点的情况；
（Ⅱ）若有且仅有两个整数解，求的取值范围．
【解答】解：，．
令在上单调递增，
又，（1）．
存在唯一，使得，即．
，，此时函数单调递减．，，，函数单调递增．
为极小值点，无极大值点．
（Ⅱ）化为：，即．
①当时，由不等式有整数解，
在时，，
有无穷多整数解．
②当时，，又，（1）．
不等式有两个整数解为0，1．即，解得：．
③当时，，又，
在时小于或等于1，不等式无整数解．
综上可得：．
12．已知函数，，．
（1）当时，函数有两个零点，求的取值范围；（2）当时，不等式有且仅有两个整数解，求的取值范围．
【解答】解：（1）当时，，
由得：，即，
令，
则，
可得在内递增，在内递减，在内递减，在内递增，
则有，，
函数有两个零点，
则；
（也可用过点作曲线的切线，可求得两切线的斜率分别是1和，由直线与曲线的位置可得）
（2）当时，由得．
令，则．
令，则，所以在上单调递增，
又，（1），所以在上有唯一零点，
此时在上单调递减，在，上单调递增．
，
易证，．
当时，；当时，（1）．
①若，则，此时有无穷多个整数解，不合题意；
②若，即，因为在，上单调递减，在，上单调递增，
所以时，，（1），所以无整数解，不合题意；
③若，即，此时（1），故0，1是的两个整数解，又只有两个整数解，因此（1）且（2），解得．
所以，．
13．已知幂函数的图象经过点．
（1）（3）与（2）的大小；
（2）定义在上的函数满足，，且当，时：．若关于的不等式在，上有且只有151个整数解，求实数的取值范围．
【解答】（1）由于函数为幂函数，故，即，又函数过点，
则，即，故，此时
（3），（2），故（3）（2）．
（2）由于函数满足，则为偶函数，又，则图象关于直线对称，
由此可以得到，又，则有，即，故函数的周期为，
然后由，以及奇偶性和对称性和周期性做出示意图如右图，
其中函数的单调性，用导数方法判断，限于篇幅，只给出结论，在区间单调递增，在区间单调递减，最大值为，
由不等式可得，
则得到，或者，结合图象舍去第二种情形．
故只有可能成立，
①当时，，由上述不等式组可得，即时在，上有且只有151个整数解，
结合图象可知，则在，上有且只有个整数解，则在区间，上有且只有3个整数解，我们设想直线在区间，和相交，当满足条件且时，整数解在区间，上有或者或者三个，满足题意，其中，
这样有，即，满足；
②当时，由题意在，上有且只有151个整数解，我们结合图象可知，在一个周期，内，满足的整数解有2、3、4、5、6、8，显然不满足题意，故舍去；
综上所述，实数的取值范围为．
14．已知函数，为自然对数的底数．
（1）当时，
①求函数在处的切线方程；
②求函数的单调区间；
（2）若有且只有唯一整数，满足，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）当时，，，
①，又，
函数在处的切线方程为：，即：；
②，
由于，当时，，，；当时，，，，函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）由得，
当时，不等式显然不成立；当时，；当时，，
设，，
函数在和，上为增函数，在和上为减函数，
当时，，当时，，
①当时，，由得，，又在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，
，即，，
②当时，，由得，，又在区间上单调递减，在区间，上单调递增，且，
，解得：，
综上所述，的取值范围为，，．
15．已知函数，其中．
（Ⅰ）函数的图象能否与轴相切？若能，求出实数，若不能，请说明理由；
（Ⅱ）求最大的整数，使得对任意，，不等式恒成立．
【解答】解：（Ⅰ）．
假设函数的图象与轴相切于点，
则有，即．
显然，，代入方程中得，．
△，方程无解．
故无论取何值，函数的图象都不能与轴相切；
（Ⅱ）依题意，恒成立．
设，则上式等价于，
要使对任意，恒成立，即使在上单调递增，
在上恒成立．
（1），则，
在上成立的必要条件是：．
下面证明：当时，恒成立．
设，则，
当时，，当时，，
，即，．
那么，当时，，；
当时，，，恒成立．
因此，的最大整数值为3．