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2024年辽宁省沈阳市浑南区中考数学零模试卷（含解析）
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这是一份2024年辽宁省沈阳市浑南区中考数学零模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如果零上5℃记作+5℃，那么零下2℃记作( )
A. −5℃B. +5℃C. −2℃D. +2℃
2.如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，则从它的正面看到的几何体的形状是( )
A.
B.
C.
D.
3.下列设计的图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
4.下列运算正确的是( )
A. x2+x2=2x4B. x3⋅x2=x5C. x9÷x3=x3D. (x2)3=x5
5.关于x的一元二次方程x2+3x−1=0的根的情况( )
A. 无实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 无法确定
6.解分式方程1−12−x=2xx−2，去分母后得到的方程正确的是( )
A. 1−(2−x)=−2xB. (2−x)+1=2x
C. (x−2)−1=2xD. (x−2)+1=2x
7.一次函数y=kx−m，y随x的增大而增大，且km<0，则在坐标系中它的大致图象是( )
A. B.
C. D.
8.我国元朝数学家朱世杰所著的《算学启蒙》中记载了一道问题，大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里.慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？如果设快马x天可以追上慢马，那么根据题意可列方程为( )
A. 240x=150(x+12)B. 240x=150x+12
C. 240(x−12)=150xD. 240x=150(x−12)
9.某人把“抖空竹”的一个姿势抽象成数学问题.如图所示，已知AB//CD，∠A=85°，∠C=120°，则∠E的度数是( )
A. 25°B. 35°C. 39°D. 40°
10.如图，在菱形ABCD中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，与CD交于点E，连接BE，若AD=4，直线MN恰好经过点A，则BE的长为( )
A. 3 3B. 3 7C. 2 3D. 2 7
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11. 2× 6= ．
12.如图，△ABC顶点A，B，C的坐标分别为(−2,2)，(−3,1)，(−1,0)，将△ABC绕原点O旋转180°，得到△DEF，则点B的对应点E的坐标是______．
13.如图，“石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏，游戏时，双方每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率是______．
14.如图，在函数y=2x(x>0)的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数y=kx(x<0)的图象于点B，连接OA，OB，△AOB的面积是4，则k的值是______．
15.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tan∠ACB=12，AB=1，以AC为边作矩形ACDE(点A，C，D，E按逆时针方向排列)，CD=2 5，BC和ED的延长线相交于点F，点P从点B出发沿BF向点F运动，到达点F时停止.点Q在线段CD上运动，且始终满足PC= 5DQ，连接EP，PQ，QE.当△EPQ的面积为265时，CP的长是______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)解不等式3−x<2x+6，并把它的解集表示在数轴上；
(2)计算：(a2a+1−a+1)÷a+2a2+2a+1．
17.(本小题9分)
据“沈阳发布”微信公众号消息，2024春节假期期间，沈阳实现国内旅游收入151.47亿元，同比增长254.85%.为了解春节假期期间游客对沈阳市旅游服务满意度，从中随机选取部分游客进行调查，调查结果为：A.非常满意；B.满意；C.基本满意；D.不满意四个等级.请根据如图所示的两幅不完整的统计图中信息，回答下列问题：
(1)本次调查共选取游客多少人？
(2)请直接补全条形统计图，并直接写出A等级所在扇形统计图的圆心角度数；
(3)2024春节假期期间，沈阳累计接待游客约1100万人次，请你估计对服务表示不满意的游客有多少万人次？
18.(本小题8分)
某商场以1200元购进一批商品，很快销售完了，由于商品畅销，商场又用1200元购进第二批这种商品，但第二批商品单价比第一批商品的单价上涨了20%，结果比第一批少购进5件这种商品，求第一批和第二批商品的购进单价分别是多少元．
19.(本小题8分)
【问题背景】
新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．
【实验操作】
为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验．
实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y(%)与时间t(分钟)的关系，数据记录如表1：
实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e(%)与行驶里程s(千米)的关系，数据记录如表2：
【建立模型】
(1)观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式；
【解决问题】
(2)某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点460千米处的目的地，若电动汽车行驶240千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为20%，则电动汽车在服务区充电多长时间？
20.(本小题8分)
《奉天通志》卷75记载了沈阳浑南白塔“出生”的年代，白塔建于明永乐四年(公元1606年)，为僧人德本监修.塔座用经过琢磨的白石砌成，塔旁有一庙宇名弥院寺，故又名弥陀寺塔.白塔是沈阳当时的一个标志性建筑.在清代因日俄战争损毁，百年后的2001年，白塔堡政府重建了白塔.浑南区某校九年级“综合与实践”小组开展了“白塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告：
请根据以上测量数据，求白塔AB的高度.(结果精确到0.1m，参考数据：sin15°=0.26，cs15°=0.97，tan15°=0.27.)
21.(本小题8分)
如图，OC平分∠MON，点A在射线OC上，以点A为圆心，半径为1的⊙A与OM相切于点B，连接BA并延长交⊙A于点D，交ON于点E．
(1)求证：ON是⊙A的切线；
(2)若∠MON=60°，求图中阴影部分的面积.(结果保留π)
22.(本小题12分)
如图1，直线y=−43x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，点C的坐标为(−4,0)，连接BC，点D为线段AC上的一动点(点D与点A，C不重合)，过点D作DE//BC交AB于点E，将△ADE沿DE翻折，得到△FDE，连接BF．
(1)当点D与原点O重合时，求点F的坐标；
(2)设AD=7m，若△FDE和△ABC重叠部分的面积为S，求S与m之间的函数关系式；小亮同学经过探究发现，此问题需要分两种情况讨论．
①当点F在△ABC内部(含点F在BC边上)，即0②当点F在△ABC外部，即12请参考小亮的解题思路(也可另辟蹊径)并结合图1、图2，解决此问题．
(3)小亮同学继续探究发现，至少存在一个点D，使得△BEF为直角三角形，请求出满足△BEF为直角三角形的其中一个点D的坐标．
23.(本小题12分)
【问题初探】
(1)在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，D为AC中点，点E在线段BC上，且BE<12BC，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接EF，CF.求证：AD=BE+CF．
①如图2，小哲同学发现：如果取线段BC中点G，连接DG，那么△DCG是等边三角形，通过构造全等三角形可以找到AD，CF，BE之间的数量关系．
②如图3，小扬同学发现：如果在线段AC上截取CG=CE，连接EG，那么△ECG是等边三角形，也可以构造出全等三角形，找到AD，CF，BE之间的数量关系．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类此分析】
(2)李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．
如图4，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为AC中点，点E在线段BC上，且BE>12BC，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°，得到线段DF，连接EF，CF.探究线段AD，BE，CF之间的数量关系．
【学以致用】
(3)在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2α(α≤45°)，点D在边AC上，点E在边BC上，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转角2α，得到线段DF，连接EF，CF.当AD=3，BE=2.5，CF=1.5时，请直接写出sinα的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵零上5°C记作+5°C，
∴零下2°C可记作−2°C．
故选：C．
首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
2.【答案】C
【解析】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层左右两边各一个小正方形，
故选：C．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
3.【答案】B
【解析】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
根据轴对称图形，中心对称图形的定义判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，掌握这些基本知识是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：A.x2+x2=2x2，故本选项不合题意；
B.x3⋅x2=x5，正确；
C.x9÷x3=x6，故本选项不合题意；
D.(x2)3=x6，故本选项不合题意．
故选：B．
分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：x2+3x−1=0，
△=32−4×1×(−1)=13>0，
所以一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
先根据根的判别式求出△的值，再判断即可．
本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵1−12−x=2xx−2，
∴x−2+1=2x，
故选：D．
根据分式方程的解法即可求出答案．
本题考查分式方程，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．
7.【答案】D
【解析】解：一次函数y=kx−m，y随x的增大而增大，
∴k>0，
又∵km<0，
∴m<0，
∴−m>0，
∴一次函数y=kx−m的图象经过第一、二、三象限，
故选：D．
根据一次函数y=kx−m，y随x的增大而增大，且km<0，可以得到k，−m的正负情况，然后根据一次函数的性质，可以得到该函数图象经过哪几个象限，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
8.【答案】A
【解析】解：设快马x天可以追上慢马，则此时慢马已出发(x+12)天，
依题意，得：240x=150(x+12)．
故选：A．
设快马x天可以追上慢马，则此时慢马已出发(x+12)天，根据路程=速度×时间结合快、慢马的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：延长DC交AE于点F，如图，
∵AB//CD，∠A=85°，
∴∠CFE=∠A=85°，
∵∠DCE=120°，∠DCE是△CEF的外角，
∴∠E=∠DCE−∠CFE=35°．
故选：B．
延长DC交AE于点F，再平行线的性质可得∠CFE=∠A=85°，再利用三角形的外角性质即可求∠E．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
10.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB=CD=4，AB//CD．
由作图可知，直线MN为线段CD的垂直平分线，
∴AE⊥CD，DE=CE=12CD=2，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，AE= AD2−DE2= 42−22=2 3，
∵AB//CD，
∴AE⊥AB，
∴∠EAB=90°．
在Rt△ABE中，由勾股定理得，BE= AE2+AB2= (2 3)2+42=2 7．
故选：D．
由作图可知，直线MN为线段CD的垂直平分线，则AE⊥CD，DE=CE=12CD，结合菱形的性质，利用勾股定理计算即可．
本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质、菱形的性质、勾股定理是解答本题的关键．
11.【答案】2 3
【解析】【分析】
根据二次根式的乘法法则计算，结果要化简．
主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的乘法法则 a⋅ b= ab(a≥0,b≥0)．
【解答】
解： 2× 6
= 2×6
= 12
=2 3．
12.【答案】(3,−1)
【解析】解：由题知，
因为△DEF由△ABC绕原点O旋转180°得到，
所以△DEF与△ABC关于坐标原点成中心对称，
则点B与其对应点E关于坐标原点对称．
又因为点B坐标为(−3,1)，
所以点E坐标为(3,−1)．
故答案为：(3,−1)．
根据成中心对称的图形的性质即可解决问题．
本题考查坐标与图形变化−旋转，熟知成中心对称的图形的性质是解题的关键．
13.【答案】13
【解析】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中双方出现相同手势的有3种情况，
∴双方出现相同手势的概率是39=13，
故答案为：13．
画树状图，共有9种等可能的结果，其中双方出现相同手势的有3种情况，再由概率公式求解即可．
此题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】−6
【解析】解：∵AB⊥y轴，点A在函数y=2x(x>0)的图象上，点B在函数y=kx(x<0)的图象上，
∴S△AOC=12×2=1，S△BOC=12|k|，
∵△AOB的面积是4，
∴1+12|k|=4，
解得k=±6，
∵k<0，
∴k=−6．
直接根据反比例函数系数k的几何意义解答即可．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是正确解答的关键．
15.【答案】1或 229−52
【解析】解：∵PC= 5DQ，
∴设DQ=x，CP= 5x，
∵点P从点B出发沿BF向点F运动，到达点F时停止，
∴有以下两种情况：
①当点P在线段BC上运动时，过点P作PH⊥EF于H，过点Q作QT⊥CF于T，如图1，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tan∠ACB=ABBC=12，AB=1，
∴BC=2，
∴AC= 5，
∵四边形ACDE为矩形，
∴AC=DE= 5，AE=CD=2 5，∠ACD=∠CDE=90°，
∵AC//EF，
∴∠ACB=∠F，
∴tanF=CDDF=tan∠ACB=12，
∴DF=2CD=4 5，
∴CF= CD2+DF2=10，
∴PF=CP+CF= 5x+10，
在Rt△PHF中，sinF=PHPF=CDCF=2 510= 55，
∴PH=x+2 5，
∵DQ=x，CD=2 5，
∴CQ=2 5−x，
在Rt△CQT中，sin∠DCF=QTCQ=DFCF=4 510=2 55，
∴QT=CQ⋅sin∠DCF=(2 5−x)×2 55，
∵DE= 5，DF=4 5，
∴EF=DE+DF=5 5，
∵S△EPQ=S△EPF−S△CDF−S△EDQ−S△PCQ=12EF⋅PH−12CD⋅DF−12DE⋅DQ−12CP⋅QT=265，
∴12×5 5×(x+2 5)−12×2 5×4 5−12× 5x−12× 5x(2 5−x)×2 55=265，
解得：x= 55或x=− 55(负值舍去)，
∴CP= 5x= 5× 55=1．
②当点P在线段CF上运动时，连接EC，过点Q作QN⊥EC于N，QM⊥CF于M，过点P作PK⊥DF于K，如图2所示：
同理，设DQ=x，则PC= 5x，△CDF为直角三角形，
依题意得：CD=AE=2 5，DE=AC= 5，
∵tan∠ECD=DECD= 52 5=12，tanF=12，
∴∠ECD=∠F，
∵∠F+∠FCD=90°，
∴∠ECD+∠FCD=90°，
即∠ECF=90°，
在Rt△CDE中，CE= CD2+DE2= (2 5)2+( 5)2=5，
∵CQ=CD−DQ=2 5−x，
∴QM=CQ⋅sin∠DCF=(2 5−x)×2 55，QN=CQ⋅cs∠DCF=(2 5−x)× 55，
∵S△EPQ=S△EPC−S△CEQ−S△CPQ=12CE⋅CP−12CE⋅QN−12PC⋅QM=265，
∴12×5× 5x−12×5×(2 5−x)× 55−12× 5x(2 5−x)×2 55=265，
解得：x= 1145−5 510或x=− 1145−5 510(舍去)，
∴CP= 5x= 5× 1145−5 510= 229−52，
综上所述：CP的长为1或 229−52．
故答案为：1或 229−52．
分两种情况：①当点P在线段BC上运动时，②当点P在线段CF上运动时，运用解直角三角形、勾股定理等知识即可求得答案．
本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积，解直角三角形等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想解决问题．
16.【答案】解：(1)3−x<2x+6，
移项及合并同类项，得：−3x<3，
系数化为1，得：x>−1，
其解集在数轴上表示如下：
；
(2)(a2a+1−a+1)÷a+2a2+2a+1
=a2−(a−1)(a+1)a+1⋅(a+1)2a+2
=a2−a2+1a+1⋅(a+1)2a+2
=1a+1⋅(a+1)2a+2
=a+1a+2．
【解析】(1)先解出不等式的解集，再在数轴上表示出其解集即可；
(2)先算括号内的式子，再算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算、解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17.【答案】解：(1)这次抽样调查的游客有：24÷48%=50(人)；
(2)“基本满意”的游客有：50−10−24−2=14(人)，
补全条形图如图：
A等级所在扇形统计图的圆心角度数为：360°×1050=72°，
(3)1100×250=44(万人)，
答：估计对服务表示不满意的游客有44万人次．
【解析】(1)根据B的人数除以占的百分比，得出调查总数即可；
(2)将总人数减去A、B、D的人数即可得C的人数，从而补全统计图，根据A的人数占的百分比乘360°即可求解；
(3)用总人数乘以表示不满意的游客所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
18.【答案】解：设第一批商品的单价为x元，则第二批商品的单价为(1+20%)x元；
根据题意得：1200x=1200(1+20%)x+5，
解得x=40，
经检验，x=40是原方程的解，也符合题意，
∴(1+20%)x=1.2×40=48，
∴第一批商品的单价为40元，第二批商品的单价为48元．
【解析】设第一批商品的单价为x元，根据结果比第一批少购进5件这种商品得：1200x=1200(1+20%)x+5，解方程并检验可得答案．
本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
19.【答案】解：(1)根据题意，两个函数均为一次函数，设y=a1t+b1，e=a2s+b2，
将(10,10)，(30,30)代入y=a1t+b1得10a1+b1=1030a1+b1=30，解得a1=1b1=0，
∴函数解析式为：y=t，
将(160,60)，(200,50)代入e=a2s+b2得160a2+b2=60200a2+b2=50，解得a2=−14b2=100，
∴函数解析式为：e=−14s+100．
(2)由题意得，先在满电的情况下行走了w1=240km，
当s1=240时，e1=−14s1+100=−14×240+100=40，
∴未充电前电量显示为40%，
假设充电充了t分钟，应增加电量：e2=y2=t，
出发是电量为e3=e1+e2=40+t，走完剩余路程w2=460−240=220km，
w2应耗电量为：e4=−14w2+100=−14×220+100=45，应耗电量为45%，据此可得：
20=e3−e4=40+t−55，解得t=35，
答：电动汽车在服务区充电35分钟．
【解析】(1)根据表格数据，待定系数法求出两个函数解析式即可；
(2)先计算行驶240km后的电量，假设充电充了t分钟，应增加电量：e2=y2=t，出发是电量为e3=e1+e2=40+t，走完剩余路程w2=460−240=220km，w2应耗电量为：e4=−14w2+100=−14×220+100=45，应耗电量为45%，据此可得：20=e3−e4=40+t−45，解得t=25即可．
本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
20.【答案】解：延长BA交PQ于C，
则∠ACP=90°，
∵∠AQC=45°，
∴AC=CQ，
∵PQ=80m，
∴tan15°=ACPC=AC80+AC≈0.27，
解得AC≈31.0，
∴AB=100−31.0=69.0(m)，
答：白塔AB的高度约为69.0m．
【解析】延长BA交PQ于C，则∠ACP=90°，根据等腰直角三角形的性质得到AC=CQ，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：过点A作AF⊥ON于点F，如图，
∵⊙A与OM相切于点B，
∴AB⊥OM，
∵OC平分∠MON，AB是半径，
∴AF=AB=1，
∴ON是⊙A的切线；
(2)解：∵∠MON=60°，AB⊥OM，
∴∠OEB=30°，
∴AF⊥ON，
∴∠FAE=60°，
在Rt△AEF中，tan∠FAE=FEAF，
∴EF=AF⋅tan60°= 3，
∴S阴影=S△AEF−S扇形ADF=12AF⋅EF−60360×π×AF2= 32−16π.
【解析】(1)首先过点A作AF⊥ON于点F，易证得AF=AB，即可得ON是⊙A的切线；
(2)由∠MON=60°，AB⊥OM，可求得AF的长，又由S阴影=S△AEF−S扇形ADF，即可求得答案．
此题考查了切线的判定与性质、扇形的面积以及三角函数的性质解答本题的关键是掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
22.【答案】解：(1)当x=0时，y=4，
∴B(0,4)，
当y=0时，x=3，
∴A(3,0)，
∵C(−4,0)，
∴OB=OC=4，
∴∠BCA=45°，
∵DE//BC，
∴∠EDA=45°，
由折叠可知，∠EDA=∠FDE=45°，
∴∠FEA=90°，
∴FD⊥x轴，
当D点与O点重合，
∴F点在y轴上，AD=FD=3，
∴F(0,3)；
(2)①∵AD=7m，
∴D(3−7m,0)，F(3−7m,7m)，
过点E作EG⊥x轴交于G点，
∴DG=EG，AG=34DG，
∵AD=DG+AG=7m，
∴DG=4m，
∴E(3−3m,4m)，
∴S=12×4m×7m=14m2；
②设抛物线的解析式为S=a(m−23)2+143，
当m=12时，S=72=a(12−23)2+143，
解得a=−42，
∴抛物线的解析式为S=−42(m−23)2+143；
(3)当∠BFD=90°时，F(3−7m,4)，
∴7m=4，
解得m=47，
∴D(−1,0)；
当∠FBD=90°时，过点F作FH⊥y轴交于H点，
∵∠FBD=90°，
∴∠FBH+∠DBO=90°，
∵∠FBH+∠HFB=90°，
∴∠DBO=∠HFB，
∴△FBH∽△BDO，
∴FHBO=BHDO，即7m−47m−3=7m−34，
解得m=57，
∴D(−2,0)；
综上所述：D(−1,0)和(−2,0)．
【解析】(1)由题推理出∠EDA=45°由折叠可知推导出∠FEA=90°，则FD⊥x轴，当D点与O点重合，F点在y轴上，AD=FD=3，即可求F(0,3)；
(2)①过点E作EG⊥x轴交于G点，求出D(3−7m,0)，F(3−7m,7m)，E(3−3m,4m)，则S=12×4m×7m=14m2
②设抛物线的解析式为y=a(m−23)2+143，当m=12时，S=72，求出a=−42，即可求抛物线的解析式为y=−42(m−23)2+143；
(3)当∠BFD=90°时，F(3−7m,4)，由7m=4，求出D(−1,0)；当∠FBD=90°时，过点F作FH⊥y轴交于H点，证明△FBH∽△BDO，求出D(−2,0)；
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定及性质，折叠的性质是解题的关键．
23.【答案】(1)证明方法一：如图2，取线段BC中点G，连接DG，则GC=BG=12BC，
∵AC=BC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∵D为AC的中点，
∴DC=AD=12AC，
∴DC=GC，AD=BG，
∴△DCG是等边三角形，
∴DC=DG，∠GDC=60°，
由旋转得DF=DE，∠EDF=60°，
∴∠FDC=∠EDG=60°−∠FDG，
在△FDC和△EDG中，
DC=DG∠FDC=∠EDGDF=DE，
∴△FDC≌△EDG(SAS)，
∴CF=GE，
∴BG=BE+GE=BE+CF，
∴AD=BE+CF．
证明方法二：如图3，在线段AC上截取CG=CE，连接EG，
∵AC=BC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∴△GEC是等边三角形，AC−CG=BC−CE，
∴EG=EC，∠CEG=60°，AG=BE，
由旋转得ED=FD，∠EDF=60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴ED=EF，∠FED=60°，
∴∠DEG=∠FEC=60°−∠CED，
在△DEG和△FEC中，
EG=EC∠DEG=∠FECED=EF，
∴△DEG≌△FEC(SAS)，
∴GD=CF，
∴AD=AG+GD=BE+CF．
(2)解： 2AD=BE−CF，
理由：如图4，取BC的中点M，AB的中点N，连接DM、MN，则MN//AC，MN=12AC，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB，
∴∠BNM=∠BAC=90°，∠NMB=∠ACB=∠B，
∴MN=BN，
∴BM= MN2+BN2= 2MN，
∵D为AC中点，
∴AD=12AC，DM//AB，
∴MN=AD，∠MDC=∠BAC=90°，∠DMC=∠B=∠ACB，
∴BM= 2AD，DM=DC，
由旋转得DE=DF，∠EDF=90°，
∴∠MDE=∠CDF=90°−∠CDE，
在△MDE和△CDF中，
DM=DC∠MDE=∠CDFDE=DF，
∴△MDE≌△CDF(SAS)，
∴ME=CF，
∴BM=BE−ME=BE−CF，
∴ 2AD=BE−CF．
(3)解：sinα的值为23或16，
理由：如图5，点F与点B在直线AC同侧，作DI//AB交BC于点I，作IP//AC交AB于点P，
∵AB=AC，∠BAC=2α，
∴∠B=∠ACB，∠IDC=∠BAC=2α，∠BPI=∠BAC=2α，
∴∠DIC=∠B=∠ACB，∠PIB=∠ACB=∠B，
∴DI=DC，PB=PI，
由旋转得DE=DF，∠EDF=2α，
∴∠EDI=∠FDC=2α−∠FDI，
在△EDI和△FDC中，
DE=DF∠EDI=∠FDCDI=DC，
∴△EDI≌△FDC(SAS)，
∴IE=CF=1.5，
∵AD=3，BE=2.5，
∴BI=BE+IE=2.5+1.5=4，
∵DI//AP，IP//AD，
∴四边形APID是平行四边形，
∴PB=PI=AD=3，
作PQ⊥BI于点Q，则BQ=IQ=12BI=2，∠BPQ=90°，∠BPQ=∠IPQ=12∠BPI=α，
∴sinα=sin∠BPQ=BQPB=23．
如图6，点F与点B在直线AC异侧，
∵IE=CF=1.5，AD=3，BE=2.5，
∴BI=BE−IE=2.5−1.5=1，
∴BQ=IQ=12BI=12，
而PB=PI=AD=3，
∴sinα=sin∠BPQ=BQPB=126=16，
综上所述，sinα的值为23或16．
【解析】(1)若选择小哲同学的思路，取线段BC中点G，连接DG，则GC=BG=12BC，可证明△ABC是等边三角形，得AC=BC，∠ACB=60°，再证明△DCG是等边三角形，得DC=DG，∠GDC=60°，可证明△FDC≌△EDG，得CF=GE，AD=BG=BE+GE=BE+CF；若选择小扬同学的思路，在线段AC上截取CG=CE，连接EG，可证明△GEC是等边三角形，推导出EG=EC，∠CEG=60°，AG=BE，再证明△DEF是等边三角形，得ED=EF，∠FED=60°，进而证明△DEG≌△FEC，得GD=CF，则AD=AG+GD=BE+CF；
(2)取BC的中点M，AB的中点N，连接DM、MN，则MN//AC，MN=12AC，因为AB=AC，∠BAC=90°，所以∠B=∠ACB，可证明MN=BN，则BM= MN2+BN2= 2MN，再证明MN=AD，则BM= 2AD，再证明△MDE≌△CDF，得ME=CF，则 2AD=BM=BE−ME=BE−CF；
(3)作DI//AB交BC于点I，作IP//AC交AB于点P，由AB=AC，∠BAC=2α，得∠B=∠ACB，∠BPI=∠BAC=2α，推导出DI=DC，PB=PI，再证明△EDI≌△FDC，得IE=CF=1.5，而AD=3，BE=2.5，当点F与点B在直线AC同侧，则BI=BE+IE=4，可证明PB=PI=AD=3，作PQ⊥BI于点Q，则BQ=IQ=2，∠BPQ=90°，∠BPQ=∠IPQ=12∠BPI=α，所以sinα=sin∠BPQ=BQPB=23；当点F与点B在直线AC异侧，则BI=BE−IE=2.5−1.5=1，所以BQ=IQ=12BI=12，求得sinα=sin∠BPQ=BQPB=16．
此题重点考查等腰三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的中位线定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．电池充电状态
时间t(分钟)
0
10
30
60
增加的电量y(%)
0
10
30
60
汽车行驶过程
已行驶里程s(千米)
0
160
200
280
显示电量e(%)
100
60
50
30
测量对象
沈阳市浑南区白塔．
测量目的
1.学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题；
2.培养学生动手操作能力，增强团队合作精神．
测量工具
无人机，测角仪等．
测量方案
1.先将无人机垂直上升至距水平地面100m的P点，测得塔的顶端A的俯角为15°；
2.再将无人机沿水平方向飞行80m到达点Q，测得塔的顶端A的俯角为45°．
测量示意图
1.如果零上5℃记作+5℃，那么零下2℃记作( )
A. −5℃B. +5℃C. −2℃D. +2℃
2.如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，则从它的正面看到的几何体的形状是( )
A.
B.
C.
D.
3.下列设计的图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
4.下列运算正确的是( )
A. x2+x2=2x4B. x3⋅x2=x5C. x9÷x3=x3D. (x2)3=x5
5.关于x的一元二次方程x2+3x−1=0的根的情况( )
A. 无实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 无法确定
6.解分式方程1−12−x=2xx−2，去分母后得到的方程正确的是( )
A. 1−(2−x)=−2xB. (2−x)+1=2x
C. (x−2)−1=2xD. (x−2)+1=2x
7.一次函数y=kx−m，y随x的增大而增大，且km<0，则在坐标系中它的大致图象是( )
A. B.
C. D.
8.我国元朝数学家朱世杰所著的《算学启蒙》中记载了一道问题，大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里.慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？如果设快马x天可以追上慢马，那么根据题意可列方程为( )
A. 240x=150(x+12)B. 240x=150x+12
C. 240(x−12)=150xD. 240x=150(x−12)
9.某人把“抖空竹”的一个姿势抽象成数学问题.如图所示，已知AB//CD，∠A=85°，∠C=120°，则∠E的度数是( )
A. 25°B. 35°C. 39°D. 40°
10.如图，在菱形ABCD中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，与CD交于点E，连接BE，若AD=4，直线MN恰好经过点A，则BE的长为( )
A. 3 3B. 3 7C. 2 3D. 2 7
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11. 2× 6= ．
12.如图，△ABC顶点A，B，C的坐标分别为(−2,2)，(−3,1)，(−1,0)，将△ABC绕原点O旋转180°，得到△DEF，则点B的对应点E的坐标是______．
13.如图，“石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏，游戏时，双方每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率是______．
14.如图，在函数y=2x(x>0)的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数y=kx(x<0)的图象于点B，连接OA，OB，△AOB的面积是4，则k的值是______．
15.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tan∠ACB=12，AB=1，以AC为边作矩形ACDE(点A，C，D，E按逆时针方向排列)，CD=2 5，BC和ED的延长线相交于点F，点P从点B出发沿BF向点F运动，到达点F时停止.点Q在线段CD上运动，且始终满足PC= 5DQ，连接EP，PQ，QE.当△EPQ的面积为265时，CP的长是______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)解不等式3−x<2x+6，并把它的解集表示在数轴上；
(2)计算：(a2a+1−a+1)÷a+2a2+2a+1．
17.(本小题9分)
据“沈阳发布”微信公众号消息，2024春节假期期间，沈阳实现国内旅游收入151.47亿元，同比增长254.85%.为了解春节假期期间游客对沈阳市旅游服务满意度，从中随机选取部分游客进行调查，调查结果为：A.非常满意；B.满意；C.基本满意；D.不满意四个等级.请根据如图所示的两幅不完整的统计图中信息，回答下列问题：
(1)本次调查共选取游客多少人？
(2)请直接补全条形统计图，并直接写出A等级所在扇形统计图的圆心角度数；
(3)2024春节假期期间，沈阳累计接待游客约1100万人次，请你估计对服务表示不满意的游客有多少万人次？
18.(本小题8分)
某商场以1200元购进一批商品，很快销售完了，由于商品畅销，商场又用1200元购进第二批这种商品，但第二批商品单价比第一批商品的单价上涨了20%，结果比第一批少购进5件这种商品，求第一批和第二批商品的购进单价分别是多少元．
19.(本小题8分)
【问题背景】
新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．
【实验操作】
为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验．
实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y(%)与时间t(分钟)的关系，数据记录如表1：
实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e(%)与行驶里程s(千米)的关系，数据记录如表2：
【建立模型】
(1)观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式；
【解决问题】
(2)某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点460千米处的目的地，若电动汽车行驶240千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为20%，则电动汽车在服务区充电多长时间？
20.(本小题8分)
《奉天通志》卷75记载了沈阳浑南白塔“出生”的年代，白塔建于明永乐四年(公元1606年)，为僧人德本监修.塔座用经过琢磨的白石砌成，塔旁有一庙宇名弥院寺，故又名弥陀寺塔.白塔是沈阳当时的一个标志性建筑.在清代因日俄战争损毁，百年后的2001年，白塔堡政府重建了白塔.浑南区某校九年级“综合与实践”小组开展了“白塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告：
请根据以上测量数据，求白塔AB的高度.(结果精确到0.1m，参考数据：sin15°=0.26，cs15°=0.97，tan15°=0.27.)
21.(本小题8分)
如图，OC平分∠MON，点A在射线OC上，以点A为圆心，半径为1的⊙A与OM相切于点B，连接BA并延长交⊙A于点D，交ON于点E．
(1)求证：ON是⊙A的切线；
(2)若∠MON=60°，求图中阴影部分的面积.(结果保留π)
22.(本小题12分)
如图1，直线y=−43x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，点C的坐标为(−4,0)，连接BC，点D为线段AC上的一动点(点D与点A，C不重合)，过点D作DE//BC交AB于点E，将△ADE沿DE翻折，得到△FDE，连接BF．
(1)当点D与原点O重合时，求点F的坐标；
(2)设AD=7m，若△FDE和△ABC重叠部分的面积为S，求S与m之间的函数关系式；小亮同学经过探究发现，此问题需要分两种情况讨论．
①当点F在△ABC内部(含点F在BC边上)，即0
(3)小亮同学继续探究发现，至少存在一个点D，使得△BEF为直角三角形，请求出满足△BEF为直角三角形的其中一个点D的坐标．
23.(本小题12分)
【问题初探】
(1)在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，D为AC中点，点E在线段BC上，且BE<12BC，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接EF，CF.求证：AD=BE+CF．
①如图2，小哲同学发现：如果取线段BC中点G，连接DG，那么△DCG是等边三角形，通过构造全等三角形可以找到AD，CF，BE之间的数量关系．
②如图3，小扬同学发现：如果在线段AC上截取CG=CE，连接EG，那么△ECG是等边三角形，也可以构造出全等三角形，找到AD，CF，BE之间的数量关系．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类此分析】
(2)李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．
如图4，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为AC中点，点E在线段BC上，且BE>12BC，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°，得到线段DF，连接EF，CF.探究线段AD，BE，CF之间的数量关系．
【学以致用】
(3)在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2α(α≤45°)，点D在边AC上，点E在边BC上，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转角2α，得到线段DF，连接EF，CF.当AD=3，BE=2.5，CF=1.5时，请直接写出sinα的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵零上5°C记作+5°C，
∴零下2°C可记作−2°C．
故选：C．
首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
2.【答案】C
【解析】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层左右两边各一个小正方形，
故选：C．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
3.【答案】B
【解析】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
根据轴对称图形，中心对称图形的定义判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，掌握这些基本知识是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：A.x2+x2=2x2，故本选项不合题意；
B.x3⋅x2=x5，正确；
C.x9÷x3=x6，故本选项不合题意；
D.(x2)3=x6，故本选项不合题意．
故选：B．
分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：x2+3x−1=0，
△=32−4×1×(−1)=13>0，
所以一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
先根据根的判别式求出△的值，再判断即可．
本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵1−12−x=2xx−2，
∴x−2+1=2x，
故选：D．
根据分式方程的解法即可求出答案．
本题考查分式方程，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．
7.【答案】D
【解析】解：一次函数y=kx−m，y随x的增大而增大，
∴k>0，
又∵km<0，
∴m<0，
∴−m>0，
∴一次函数y=kx−m的图象经过第一、二、三象限，
故选：D．
根据一次函数y=kx−m，y随x的增大而增大，且km<0，可以得到k，−m的正负情况，然后根据一次函数的性质，可以得到该函数图象经过哪几个象限，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
8.【答案】A
【解析】解：设快马x天可以追上慢马，则此时慢马已出发(x+12)天，
依题意，得：240x=150(x+12)．
故选：A．
设快马x天可以追上慢马，则此时慢马已出发(x+12)天，根据路程=速度×时间结合快、慢马的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：延长DC交AE于点F，如图，
∵AB//CD，∠A=85°，
∴∠CFE=∠A=85°，
∵∠DCE=120°，∠DCE是△CEF的外角，
∴∠E=∠DCE−∠CFE=35°．
故选：B．
延长DC交AE于点F，再平行线的性质可得∠CFE=∠A=85°，再利用三角形的外角性质即可求∠E．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
10.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB=CD=4，AB//CD．
由作图可知，直线MN为线段CD的垂直平分线，
∴AE⊥CD，DE=CE=12CD=2，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，AE= AD2−DE2= 42−22=2 3，
∵AB//CD，
∴AE⊥AB，
∴∠EAB=90°．
在Rt△ABE中，由勾股定理得，BE= AE2+AB2= (2 3)2+42=2 7．
故选：D．
由作图可知，直线MN为线段CD的垂直平分线，则AE⊥CD，DE=CE=12CD，结合菱形的性质，利用勾股定理计算即可．
本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质、菱形的性质、勾股定理是解答本题的关键．
11.【答案】2 3
【解析】【分析】
根据二次根式的乘法法则计算，结果要化简．
主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的乘法法则 a⋅ b= ab(a≥0,b≥0)．
【解答】
解： 2× 6
= 2×6
= 12
=2 3．
12.【答案】(3,−1)
【解析】解：由题知，
因为△DEF由△ABC绕原点O旋转180°得到，
所以△DEF与△ABC关于坐标原点成中心对称，
则点B与其对应点E关于坐标原点对称．
又因为点B坐标为(−3,1)，
所以点E坐标为(3,−1)．
故答案为：(3,−1)．
根据成中心对称的图形的性质即可解决问题．
本题考查坐标与图形变化−旋转，熟知成中心对称的图形的性质是解题的关键．
13.【答案】13
【解析】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中双方出现相同手势的有3种情况，
∴双方出现相同手势的概率是39=13，
故答案为：13．
画树状图，共有9种等可能的结果，其中双方出现相同手势的有3种情况，再由概率公式求解即可．
此题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】−6
【解析】解：∵AB⊥y轴，点A在函数y=2x(x>0)的图象上，点B在函数y=kx(x<0)的图象上，
∴S△AOC=12×2=1，S△BOC=12|k|，
∵△AOB的面积是4，
∴1+12|k|=4，
解得k=±6，
∵k<0，
∴k=−6．
直接根据反比例函数系数k的几何意义解答即可．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是正确解答的关键．
15.【答案】1或 229−52
【解析】解：∵PC= 5DQ，
∴设DQ=x，CP= 5x，
∵点P从点B出发沿BF向点F运动，到达点F时停止，
∴有以下两种情况：
①当点P在线段BC上运动时，过点P作PH⊥EF于H，过点Q作QT⊥CF于T，如图1，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tan∠ACB=ABBC=12，AB=1，
∴BC=2，
∴AC= 5，
∵四边形ACDE为矩形，
∴AC=DE= 5，AE=CD=2 5，∠ACD=∠CDE=90°，
∵AC//EF，
∴∠ACB=∠F，
∴tanF=CDDF=tan∠ACB=12，
∴DF=2CD=4 5，
∴CF= CD2+DF2=10，
∴PF=CP+CF= 5x+10，
在Rt△PHF中，sinF=PHPF=CDCF=2 510= 55，
∴PH=x+2 5，
∵DQ=x，CD=2 5，
∴CQ=2 5−x，
在Rt△CQT中，sin∠DCF=QTCQ=DFCF=4 510=2 55，
∴QT=CQ⋅sin∠DCF=(2 5−x)×2 55，
∵DE= 5，DF=4 5，
∴EF=DE+DF=5 5，
∵S△EPQ=S△EPF−S△CDF−S△EDQ−S△PCQ=12EF⋅PH−12CD⋅DF−12DE⋅DQ−12CP⋅QT=265，
∴12×5 5×(x+2 5)−12×2 5×4 5−12× 5x−12× 5x(2 5−x)×2 55=265，
解得：x= 55或x=− 55(负值舍去)，
∴CP= 5x= 5× 55=1．
②当点P在线段CF上运动时，连接EC，过点Q作QN⊥EC于N，QM⊥CF于M，过点P作PK⊥DF于K，如图2所示：
同理，设DQ=x，则PC= 5x，△CDF为直角三角形，
依题意得：CD=AE=2 5，DE=AC= 5，
∵tan∠ECD=DECD= 52 5=12，tanF=12，
∴∠ECD=∠F，
∵∠F+∠FCD=90°，
∴∠ECD+∠FCD=90°，
即∠ECF=90°，
在Rt△CDE中，CE= CD2+DE2= (2 5)2+( 5)2=5，
∵CQ=CD−DQ=2 5−x，
∴QM=CQ⋅sin∠DCF=(2 5−x)×2 55，QN=CQ⋅cs∠DCF=(2 5−x)× 55，
∵S△EPQ=S△EPC−S△CEQ−S△CPQ=12CE⋅CP−12CE⋅QN−12PC⋅QM=265，
∴12×5× 5x−12×5×(2 5−x)× 55−12× 5x(2 5−x)×2 55=265，
解得：x= 1145−5 510或x=− 1145−5 510(舍去)，
∴CP= 5x= 5× 1145−5 510= 229−52，
综上所述：CP的长为1或 229−52．
故答案为：1或 229−52．
分两种情况：①当点P在线段BC上运动时，②当点P在线段CF上运动时，运用解直角三角形、勾股定理等知识即可求得答案．
本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积，解直角三角形等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想解决问题．
16.【答案】解：(1)3−x<2x+6，
移项及合并同类项，得：−3x<3，
系数化为1，得：x>−1，
其解集在数轴上表示如下：
；
(2)(a2a+1−a+1)÷a+2a2+2a+1
=a2−(a−1)(a+1)a+1⋅(a+1)2a+2
=a2−a2+1a+1⋅(a+1)2a+2
=1a+1⋅(a+1)2a+2
=a+1a+2．
【解析】(1)先解出不等式的解集，再在数轴上表示出其解集即可；
(2)先算括号内的式子，再算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算、解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17.【答案】解：(1)这次抽样调查的游客有：24÷48%=50(人)；
(2)“基本满意”的游客有：50−10−24−2=14(人)，
补全条形图如图：
A等级所在扇形统计图的圆心角度数为：360°×1050=72°，
(3)1100×250=44(万人)，
答：估计对服务表示不满意的游客有44万人次．
【解析】(1)根据B的人数除以占的百分比，得出调查总数即可；
(2)将总人数减去A、B、D的人数即可得C的人数，从而补全统计图，根据A的人数占的百分比乘360°即可求解；
(3)用总人数乘以表示不满意的游客所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
18.【答案】解：设第一批商品的单价为x元，则第二批商品的单价为(1+20%)x元；
根据题意得：1200x=1200(1+20%)x+5，
解得x=40，
经检验，x=40是原方程的解，也符合题意，
∴(1+20%)x=1.2×40=48，
∴第一批商品的单价为40元，第二批商品的单价为48元．
【解析】设第一批商品的单价为x元，根据结果比第一批少购进5件这种商品得：1200x=1200(1+20%)x+5，解方程并检验可得答案．
本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
19.【答案】解：(1)根据题意，两个函数均为一次函数，设y=a1t+b1，e=a2s+b2，
将(10,10)，(30,30)代入y=a1t+b1得10a1+b1=1030a1+b1=30，解得a1=1b1=0，
∴函数解析式为：y=t，
将(160,60)，(200,50)代入e=a2s+b2得160a2+b2=60200a2+b2=50，解得a2=−14b2=100，
∴函数解析式为：e=−14s+100．
(2)由题意得，先在满电的情况下行走了w1=240km，
当s1=240时，e1=−14s1+100=−14×240+100=40，
∴未充电前电量显示为40%，
假设充电充了t分钟，应增加电量：e2=y2=t，
出发是电量为e3=e1+e2=40+t，走完剩余路程w2=460−240=220km，
w2应耗电量为：e4=−14w2+100=−14×220+100=45，应耗电量为45%，据此可得：
20=e3−e4=40+t−55，解得t=35，
答：电动汽车在服务区充电35分钟．
【解析】(1)根据表格数据，待定系数法求出两个函数解析式即可；
(2)先计算行驶240km后的电量，假设充电充了t分钟，应增加电量：e2=y2=t，出发是电量为e3=e1+e2=40+t，走完剩余路程w2=460−240=220km，w2应耗电量为：e4=−14w2+100=−14×220+100=45，应耗电量为45%，据此可得：20=e3−e4=40+t−45，解得t=25即可．
本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
20.【答案】解：延长BA交PQ于C，
则∠ACP=90°，
∵∠AQC=45°，
∴AC=CQ，
∵PQ=80m，
∴tan15°=ACPC=AC80+AC≈0.27，
解得AC≈31.0，
∴AB=100−31.0=69.0(m)，
答：白塔AB的高度约为69.0m．
【解析】延长BA交PQ于C，则∠ACP=90°，根据等腰直角三角形的性质得到AC=CQ，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：过点A作AF⊥ON于点F，如图，
∵⊙A与OM相切于点B，
∴AB⊥OM，
∵OC平分∠MON，AB是半径，
∴AF=AB=1，
∴ON是⊙A的切线；
(2)解：∵∠MON=60°，AB⊥OM，
∴∠OEB=30°，
∴AF⊥ON，
∴∠FAE=60°，
在Rt△AEF中，tan∠FAE=FEAF，
∴EF=AF⋅tan60°= 3，
∴S阴影=S△AEF−S扇形ADF=12AF⋅EF−60360×π×AF2= 32−16π.
【解析】(1)首先过点A作AF⊥ON于点F，易证得AF=AB，即可得ON是⊙A的切线；
(2)由∠MON=60°，AB⊥OM，可求得AF的长，又由S阴影=S△AEF−S扇形ADF，即可求得答案．
此题考查了切线的判定与性质、扇形的面积以及三角函数的性质解答本题的关键是掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
22.【答案】解：(1)当x=0时，y=4，
∴B(0,4)，
当y=0时，x=3，
∴A(3,0)，
∵C(−4,0)，
∴OB=OC=4，
∴∠BCA=45°，
∵DE//BC，
∴∠EDA=45°，
由折叠可知，∠EDA=∠FDE=45°，
∴∠FEA=90°，
∴FD⊥x轴，
当D点与O点重合，
∴F点在y轴上，AD=FD=3，
∴F(0,3)；
(2)①∵AD=7m，
∴D(3−7m,0)，F(3−7m,7m)，
过点E作EG⊥x轴交于G点，
∴DG=EG，AG=34DG，
∵AD=DG+AG=7m，
∴DG=4m，
∴E(3−3m,4m)，
∴S=12×4m×7m=14m2；
②设抛物线的解析式为S=a(m−23)2+143，
当m=12时，S=72=a(12−23)2+143，
解得a=−42，
∴抛物线的解析式为S=−42(m−23)2+143；
(3)当∠BFD=90°时，F(3−7m,4)，
∴7m=4，
解得m=47，
∴D(−1,0)；
当∠FBD=90°时，过点F作FH⊥y轴交于H点，
∵∠FBD=90°，
∴∠FBH+∠DBO=90°，
∵∠FBH+∠HFB=90°，
∴∠DBO=∠HFB，
∴△FBH∽△BDO，
∴FHBO=BHDO，即7m−47m−3=7m−34，
解得m=57，
∴D(−2,0)；
综上所述：D(−1,0)和(−2,0)．
【解析】(1)由题推理出∠EDA=45°由折叠可知推导出∠FEA=90°，则FD⊥x轴，当D点与O点重合，F点在y轴上，AD=FD=3，即可求F(0,3)；
(2)①过点E作EG⊥x轴交于G点，求出D(3−7m,0)，F(3−7m,7m)，E(3−3m,4m)，则S=12×4m×7m=14m2
②设抛物线的解析式为y=a(m−23)2+143，当m=12时，S=72，求出a=−42，即可求抛物线的解析式为y=−42(m−23)2+143；
(3)当∠BFD=90°时，F(3−7m,4)，由7m=4，求出D(−1,0)；当∠FBD=90°时，过点F作FH⊥y轴交于H点，证明△FBH∽△BDO，求出D(−2,0)；
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定及性质，折叠的性质是解题的关键．
23.【答案】(1)证明方法一：如图2，取线段BC中点G，连接DG，则GC=BG=12BC，
∵AC=BC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∵D为AC的中点，
∴DC=AD=12AC，
∴DC=GC，AD=BG，
∴△DCG是等边三角形，
∴DC=DG，∠GDC=60°，
由旋转得DF=DE，∠EDF=60°，
∴∠FDC=∠EDG=60°−∠FDG，
在△FDC和△EDG中，
DC=DG∠FDC=∠EDGDF=DE，
∴△FDC≌△EDG(SAS)，
∴CF=GE，
∴BG=BE+GE=BE+CF，
∴AD=BE+CF．
证明方法二：如图3，在线段AC上截取CG=CE，连接EG，
∵AC=BC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∴△GEC是等边三角形，AC−CG=BC−CE，
∴EG=EC，∠CEG=60°，AG=BE，
由旋转得ED=FD，∠EDF=60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴ED=EF，∠FED=60°，
∴∠DEG=∠FEC=60°−∠CED，
在△DEG和△FEC中，
EG=EC∠DEG=∠FECED=EF，
∴△DEG≌△FEC(SAS)，
∴GD=CF，
∴AD=AG+GD=BE+CF．
(2)解： 2AD=BE−CF，
理由：如图4，取BC的中点M，AB的中点N，连接DM、MN，则MN//AC，MN=12AC，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB，
∴∠BNM=∠BAC=90°，∠NMB=∠ACB=∠B，
∴MN=BN，
∴BM= MN2+BN2= 2MN，
∵D为AC中点，
∴AD=12AC，DM//AB，
∴MN=AD，∠MDC=∠BAC=90°，∠DMC=∠B=∠ACB，
∴BM= 2AD，DM=DC，
由旋转得DE=DF，∠EDF=90°，
∴∠MDE=∠CDF=90°−∠CDE，
在△MDE和△CDF中，
DM=DC∠MDE=∠CDFDE=DF，
∴△MDE≌△CDF(SAS)，
∴ME=CF，
∴BM=BE−ME=BE−CF，
∴ 2AD=BE−CF．
(3)解：sinα的值为23或16，
理由：如图5，点F与点B在直线AC同侧，作DI//AB交BC于点I，作IP//AC交AB于点P，
∵AB=AC，∠BAC=2α，
∴∠B=∠ACB，∠IDC=∠BAC=2α，∠BPI=∠BAC=2α，
∴∠DIC=∠B=∠ACB，∠PIB=∠ACB=∠B，
∴DI=DC，PB=PI，
由旋转得DE=DF，∠EDF=2α，
∴∠EDI=∠FDC=2α−∠FDI，
在△EDI和△FDC中，
DE=DF∠EDI=∠FDCDI=DC，
∴△EDI≌△FDC(SAS)，
∴IE=CF=1.5，
∵AD=3，BE=2.5，
∴BI=BE+IE=2.5+1.5=4，
∵DI//AP，IP//AD，
∴四边形APID是平行四边形，
∴PB=PI=AD=3，
作PQ⊥BI于点Q，则BQ=IQ=12BI=2，∠BPQ=90°，∠BPQ=∠IPQ=12∠BPI=α，
∴sinα=sin∠BPQ=BQPB=23．
如图6，点F与点B在直线AC异侧，
∵IE=CF=1.5，AD=3，BE=2.5，
∴BI=BE−IE=2.5−1.5=1，
∴BQ=IQ=12BI=12，
而PB=PI=AD=3，
∴sinα=sin∠BPQ=BQPB=126=16，
综上所述，sinα的值为23或16．
【解析】(1)若选择小哲同学的思路，取线段BC中点G，连接DG，则GC=BG=12BC，可证明△ABC是等边三角形，得AC=BC，∠ACB=60°，再证明△DCG是等边三角形，得DC=DG，∠GDC=60°，可证明△FDC≌△EDG，得CF=GE，AD=BG=BE+GE=BE+CF；若选择小扬同学的思路，在线段AC上截取CG=CE，连接EG，可证明△GEC是等边三角形，推导出EG=EC，∠CEG=60°，AG=BE，再证明△DEF是等边三角形，得ED=EF，∠FED=60°，进而证明△DEG≌△FEC，得GD=CF，则AD=AG+GD=BE+CF；
(2)取BC的中点M，AB的中点N，连接DM、MN，则MN//AC，MN=12AC，因为AB=AC，∠BAC=90°，所以∠B=∠ACB，可证明MN=BN，则BM= MN2+BN2= 2MN，再证明MN=AD，则BM= 2AD，再证明△MDE≌△CDF，得ME=CF，则 2AD=BM=BE−ME=BE−CF；
(3)作DI//AB交BC于点I，作IP//AC交AB于点P，由AB=AC，∠BAC=2α，得∠B=∠ACB，∠BPI=∠BAC=2α，推导出DI=DC，PB=PI，再证明△EDI≌△FDC，得IE=CF=1.5，而AD=3，BE=2.5，当点F与点B在直线AC同侧，则BI=BE+IE=4，可证明PB=PI=AD=3，作PQ⊥BI于点Q，则BQ=IQ=2，∠BPQ=90°，∠BPQ=∠IPQ=12∠BPI=α，所以sinα=sin∠BPQ=BQPB=23；当点F与点B在直线AC异侧，则BI=BE−IE=2.5−1.5=1，所以BQ=IQ=12BI=12，求得sinα=sin∠BPQ=BQPB=16．
此题重点考查等腰三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的中位线定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．电池充电状态
时间t(分钟)
0
10
30
60
增加的电量y(%)
0
10
30
60
汽车行驶过程
已行驶里程s(千米)
0
160
200
280
显示电量e(%)
100
60
50
30
测量对象
沈阳市浑南区白塔．
测量目的
1.学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题；
2.培养学生动手操作能力，增强团队合作精神．
测量工具
无人机，测角仪等．
测量方案
1.先将无人机垂直上升至距水平地面100m的P点，测得塔的顶端A的俯角为15°；
2.再将无人机沿水平方向飞行80m到达点Q，测得塔的顶端A的俯角为45°．
测量示意图
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