2024开远一中校高二下学期3月月考试题数学含解析

这是一份2024开远一中校高二下学期3月月考试题数学含解析，共26页。试卷主要包含了 已知，，，则等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.本试满分150分，考试时间120分钟.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合，集合，则（ ）
A B. C. D.
2. 已知是虚数单位，在复平面内，复数和对应的点间的距离是（ ）
A. 0B. 1C. D.
3. 2023年5月，浙江卫视《奔跑吧11》第四期节目打卡爽爽的贵阳城．周深在内的兄弟团成员和以刘宇等为成员的INTO1组合与来自贵阳社会各界的400位青年一起在贵州大学体育馆唱响了一场“青春歌会”．节目组在前期准备工作中统计出了排名靠前的10首人们喜欢的赞颂青春的歌曲．在活动中，兄弟团成员要从这10首歌曲中竞猜排名前5名的歌曲，则在竞猜中恰好猜对2首歌曲的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知等差数列的前项和为．若，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，，直线和垂直，则的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
6. 在三棱锥中，两两垂直，且，三角形重心为，则点到直线距离为（ ）
A. B. C. D.
7. 直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点．若，则（ ）
A. 4B. C. 8D.
8. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知二项式的展开式中各项的系数的和为128，则下列结论中正确的有（ ）
A. 展开式共有7项B. 所有二项式系数的和为128
C. 只有第4项的二项式系数最大D. 展开式的常数项为
10. 声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成，称为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. 奇函数B. 在区间内有最大值
C. 的周期是D. 在区间内有一个零点
11. 已知曲线：的焦点为，，点为曲线上一动点，则下列叙述正确的是（ ）
A. 若，则的内切圆半径的最大值为
B. 若，则曲线的焦点坐标分别是，
C. 若曲线的离心率为，则或
D. 若曲线是双曲线，且一条渐近线的倾斜角为，则
12. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 若空间向量，，则在上的投影向量为
B. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C. 若空间向量，满足，则与夹角锐角
D. 若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则______．
14. 已知随机变量，其中，则___________.
15. 若函数在存在单调递减区间，则a的取值范围为________．
16. 如图，、两点分别在、轴上滑动，，为垂足，点轨迹形成“四叶草”的图形，若，则的面积最大值为______．

四、解答题：共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 设为数列的前项和．已知．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设，求数列的前项和．
18. 在锐角中，角、、所对的边分别为、、．
①；②；③．
在以上三个条件中选择一个，并作答．
（1）求角；
（2）已知的面积为，是边上的中线，求的最小值．
19. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，三个年级的学生都报名参加公益志愿活动，经过选拔，高一年级有的学生成为公益活动志愿者，高二、高三年级各有的学生成为公益活动志愿者．
（1）设事件“在三个年级中随机抽取的1名学生是志愿者”；事件“在三个年级中随机抽取1名学生，该生来自高年级”（）．请完成下表中不同事件的概率并写出演算步骤：
（2）若在三个年级中随机抽取1名学生是志愿者，根据以上表中所得数据，求该学生来自于高一年级的概率．
20. 已知多面体的底面为矩形，四边形为平行四边形，平面平面，，，是棱上一点.
（1）证明：平面；
（2）当平面时，求与平面所成角的正弦值.
21. 在直角坐标平面内，已知，，动点满足条件：直线与直线斜率之积等于，记动点的轨迹为．
（1）求方程；
（2）过直线：上任意一点作直线与，分别交于，两点，则直线是否过定点？若是，求出该点坐标；若不是，说明理由．
22. 牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法．比如，我们可以先猜想某个方程的其中一个根在的附近，如图所示，然后在点处作的切线，切线与轴交点的横坐标就是，用代替重复上面的过程得到；一直继续下去，得到，，，……，．从图形上我们可以看到较接近，较接近，等等．显然，它们会越来越逼近．于是，求近似解的过程转化为求，若设精度为，则把首次满足的称为的近似解．

已知函数，．
（1）当时，试用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解（取，且结果保留小数点后第二位）；
（2）若，求的取值范围．事件概率
概率值
开远一中2024春季学期高二3月月考测试
数 学
考生注意：
1.本试满分150分，考试时间120分钟.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式求出集合，利用交集的定义得出结果.
【详解】∵，
，
∴，即.
故选：A.
2. 已知是虚数单位，在复平面内，复数和对应的点间的距离是（ ）
A. 0B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的几何意义，分别得到两复数对应点的坐标，再由两点间距离公式，即可得出结果.
【详解】由于复数和对应的点分别为，，
因此由两点间的距离公式，得这两点间的距离为.
故选：D.
3. 2023年5月，浙江卫视《奔跑吧11》第四期节目打卡爽爽的贵阳城．周深在内的兄弟团成员和以刘宇等为成员的INTO1组合与来自贵阳社会各界的400位青年一起在贵州大学体育馆唱响了一场“青春歌会”．节目组在前期准备工作中统计出了排名靠前的10首人们喜欢的赞颂青春的歌曲．在活动中，兄弟团成员要从这10首歌曲中竞猜排名前5名的歌曲，则在竞猜中恰好猜对2首歌曲的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用排列、组合求出试验的基本事件总数及事件所含基本事件数，再利用古典概率计算作答.
【详解】依题意，10首歌曲任意排列名的试验有个基本事件，
恰好猜对2首歌曲的事件含有个基本事件，
所以在竞猜中恰好猜对2首歌曲的概率.
故选：B
4. 已知等差数列的前项和为．若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的求和公式求出的值，再利用等差数列的求和公式可求得的值.
【详解】设等差数列的公差为，则，
又因为，则，解得，
因此，.
故选：C.
5. 已知，，直线和垂直，则的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得出，再由基本不等式“1”的代换求解即可.
【详解】因为直线和垂直，
所以，所以，
因为，，
所以，
当且仅当，即时取等.
故选：C.
6. 在三棱锥中，两两垂直，且，三角形重心为，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，确定各点坐标，得到，，计算在的投影为，在根据勾股定理计算得到答案.
【详解】如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，
则，，，则.
，，
故在的投影为，
点到线的距离为.
故选：D.
7. 直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点．若，则（ ）
A. 4B. C. 8D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据焦半径公式并结合条件，得到点的坐标，即可求得弦长.
【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
设，，，，
因为，所以，得，①
因为，所以，即，②
由方程①②可得，，
所以.
故选：C
8. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用构造函数法，结合导数判断出的大小关系，利用对数、指数运算判断出的关系，进而确定正确答案.
【详解】构造函数，
所以在上单调递增，所以，
，；
故只需比较与；也即比较与；
也即比较与，
而，，
所以，所以.
综上所述，.
故选：B
二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知二项式的展开式中各项的系数的和为128，则下列结论中正确的有（ ）
A. 展开式共有7项B. 所有二项式系数的和为128
C. 只有第4项的二项式系数最大D. 展开式的常数项为
【答案】BD
【解析】
【分析】首先根据系数和公式求，再根据二项式定理和二项式系数的性质，判断选项.
【详解】由题意可知，当时，，所以，
二项式的展开式共有8项，所有的二项式系数的和为，
其中最大的二项式系数为和，为第4项和第5项，展开式的常数项为，
其中只有BD正确.
故选：BD
10. 声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成，称为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. 是奇函数B. 在区间内有最大值
C. 的周期是D. 在区间内有一个零点
【答案】AB
【解析】
【分析】A.利用函数奇偶性的定义判断；B.利用导数法求解判断；C.利用周期函数的定义判断；D.利用零点的定义求解判断.
【详解】解：因为函数的定义域为R，关于原点对称，
且，所以是奇函数，故A正确；
求导，
当时，，，则，
所以上单调递增，
当时，，，则，
所以在上单调递减，
则，故B正确；
，故C错误；
，
令得，或，因，则，故D错误，
故选：AB
11. 已知曲线：的焦点为，，点为曲线上一动点，则下列叙述正确的是（ ）
A. 若，则的内切圆半径的最大值为
B. 若，则曲线的焦点坐标分别是，
C. 若曲线的离心率为，则或
D. 若曲线是双曲线，且一条渐近线的倾斜角为，则
【答案】AC
【解析】
【分析】当时，求出面积的最大值，利用分割法建立内切圆半径的关系式，结合椭圆的定义可求得内切圆半径的最大值，可判断A选项；当时，求出曲线的焦点坐标，可判断B选项；根据双曲线的离心率求出实数的值，可判断C选项；根据双曲线的渐近线方程求出实数的值，可判断D选项.
【详解】对于A选项，若，则曲线的方程为，则，，，
则的面积，
设的内切圆半径为，
则，
所以，，故A正确；
对于B选项，若，则曲线的方程为，
则，，，
故椭圆的焦点的坐标为和，故B错误；
对于C选项，若曲线的离心率，则曲线为双曲线，且，
若双曲线的焦点在轴上，则，可得，
可化为，
此时，，
则，，解得；
若双曲线的焦点在轴上，则，可得，
可化为，
此时，，则，，解得.
综上所述，若曲线的离心率为，则或，故C正确；
对于D选项，若曲线是双曲线，且一条渐近线倾斜角为，
则渐近线方程为，即，
故可设双曲线的方程为，
所以，，解得，故D错误.
故选：AC.
12. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 若空间向量，，则在上的投影向量为
B. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C. 若空间向量，满足，则与夹角为锐角
D. 若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】A投影向量定义求在上的投影向量；B由空间向量共面的推论判断；C由，同向共线即可判断；D由即可判断.
【详解】A：在上的投影向量为，对；
B：在中，故P，A，B，C四点共面，对；
C：当，同向共线时也成立，但与夹角不为锐角，错；
D：由，即，故，对.
故选：ABD
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则______．
【答案】
【解析】
【分析】先利用三角函数的定义得到，再利用二倍角的正弦公式求解.
【详解】解：因为角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点在角的终边上，
所以，
所以，
故答案为：
14. 已知随机变量，其中，则___________.
【答案】0.2
【解析】
【分析】由服从的分布类型可直接求出，，从而求出，再根据正态分布的对称性即可求解.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
又因为，所以，
因为，所以，且，
又因为，所以，所以.
故答案为：0.2.
15. 若函数在存在单调递减区间，则a的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】将题意转化为：在有解，利用参变量分离得到，转化为，结合导数求解即可．
【详解】，等价于在有解，即在有解，
即在有解，所以，
令，
则，即在上是增函数，
∴，所以.
故答案为：.
16. 如图，、两点分别在、轴上滑动，，为垂足，点轨迹形成“四叶草”的图形，若，则的面积最大值为______．

【答案】##
【解析】
【分析】设，则为锐角，可得出，，由此可得出，令，其中，利用导数求出函数的最大值，即为所求.
【详解】设，则为锐角，所以，，
因为，则，
，所以，，
令，其中，
则，
因为，则，则，
由，可得，可得，
由，可得，可得，
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
故当时，.
所以，面积的最大值为.
故答案为：.
四、解答题：共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 设为数列的前项和．已知．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，求出的值，当时，由可得出，两式作差可得出，结合等比数列的定义可证得结论成立；
（2）由（1）中的结论可求出数列的通项公式，可求得的表达式，再利用裂项相消法可求得.
【小问1详解】
证明：已知①，
当时，②，
①②得：，即，
所以，，
当时，则，则，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列．
【小问2详解】
解：由（1）可知，，则，
所以，，
所以，，
.
18. 在锐角中，角、、所对的边分别为、、．
①；②；③．
在以上三个条件中选择一个，并作答．
（1）求角；
（2）已知的面积为，是边上的中线，求的最小值．
【答案】（1）条件选择见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）选①，利用余弦定理化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；选②，利用正弦定理结合三角恒等变换可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；选③，利用已知等式结合两角和的正切公式、诱导公式可得出的值，结合的取值范围可得出角的值；
（2）利用三角形的面积公式可得出的值，利用平面向量的线性运算可得出，利用平面向量的数量积结合基本不等式可求得长的最小值.
【小问1详解】
解：若选①，因为，即，
则，即，所以，，
因为，故；
若选②，原式等价于，即，
即，
因为、，则，所以，，则，故；
若选③，原式等价于，
即
所以，，即，即，
因为，故.
【小问2详解】
解：因为，所以，，
因为为的中点，
则，
所以，，
则
，则，
当且仅当时，即当时，等号成立.
因此，长的最小值为.
19. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，三个年级的学生都报名参加公益志愿活动，经过选拔，高一年级有的学生成为公益活动志愿者，高二、高三年级各有的学生成为公益活动志愿者．
（1）设事件“在三个年级中随机抽取的1名学生是志愿者”；事件“在三个年级中随机抽取1名学生，该生来自高年级”（）．请完成下表中不同事件的概率并写出演算步骤：
（2）若在三个年级中随机抽取1名学生是志愿者，根据以上表中所得数据，求该学生来自于高一年级的概率．
【答案】（1）表格见解析，演算步骤见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三个年级的人数比值，以及每层抽取的比例，即可填写表格，再根据全概率公式，即可求解
（2）根据条件概率公式，即可求解
【小问1详解】
根据三个年级的人数比值为，则，
，，
由每个年级的抽取比例可知，，，
由全概率公式，得
，
【小问2详解】该学生来自于高一年级的概率.
20. 已知多面体的底面为矩形，四边形为平行四边形，平面平面，，，是棱上一点.
（1）证明：平面；
（2）当平面时，求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）先证平面ADE平面BCF，再证明平面即可；
（2）设出的坐标，求出平面的法向量，由平面的向量关系求出点坐标，再用向量法求线面角即可.
【小问1详解】
因为底面为矩形，所以；
平面，平面，所以平面，
又四边形平行四边形，所以，又平面，平面，
所以平面，因为，且平面ADE，平面ADE，
所以平面ADE平面BCF，因为平面ADE，所以平面；
【小问2详解】
如图，连接AF，EG，取的中点，的中点，
因为是等边三角形，所以，又平面平面，
平面FBC，平面平面，
所以平面ABCD，又底面为矩形，所以，
以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
由题意得，，
则，设，则，
可知，
由底面是平行四边形，得，
设平面的法向量为，
则，取，得，
则平面的法向量为，
由题意平面AEF，则，解得，
所以，即是中点，
因为，所以，所以，
设平面的法向量为，则，
取，得，所以平面的法向量为，
，设直线与平面所成的角为，
则
所以BG与平面DEG所成角的正弦值为.
21. 在直角坐标平面内，已知，，动点满足条件：直线与直线斜率之积等于，记动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）过直线：上任意一点作直线与，分别交于，两点，则直线是否过定点？若是，求出该点坐标；若不是，说明理由．
【答案】（1）（）；
（2）是，定点为.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用斜率坐标公式列式化简作答.
（2）设出点的坐标，由已知探求出点的坐标关系，再按直线斜率存在与否分类讨论求解作答.
【小问1详解】
设动点，则直线、的斜率分别为，
于是，整理得，显然点不在轨迹上，
所以的方程为（）.
【小问2详解】
设直线上的点，显然，

依题意，直线的斜率满足，
且，直线斜率，则，有，
设，，则（且），
当直线不垂直于x轴时，设直线的方程为，
消去y得，
则，，
又，即，
则，整理得，
解得或，此时方程中的，
当时，直线：恒过点，
当时，直线：，由于舍去，
当直线时，则有，即有，而，解得，
直线：过点，
所以直线恒过点．
22. 牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法．比如，我们可以先猜想某个方程的其中一个根在的附近，如图所示，然后在点处作的切线，切线与轴交点的横坐标就是，用代替重复上面的过程得到；一直继续下去，得到，，，……，．从图形上我们可以看到较接近，较接近，等等．显然，它们会越来越逼近．于是，求近似解的过程转化为求，若设精度为，则把首次满足的称为的近似解．

已知函数，．
（1）当时，试用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解（取，且结果保留小数点后第二位）；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求处的切线方程，求得，再求处的切线方程，再依次求取，直到，求，即可求解；（2）首先化简不等式，，再构造函数，并求函数的导数，讨论和两种情况下函数的单调性，转化为求函数的最值，并结合最值的单调性，即可求解.
小问1详解】
当时，，则，
曲线在处的切线为，且
曲线在处的切线为，且
故，用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解为．
【小问2详解】
由，得，
设，
则
∴当时，，单调递增，由于时，，不合题意；
当时，则有，，单调递减，，，单调递增，
即，即
易知单调递增，且，故.
【点睛】关键点点睛：本题第一问的关键是理解题意，重点是利用导数的几何意义求切线方程；第二问的关键是转化不等式，从而分析函数的性质，即可利用导数分析函数的性质.
事件概率
概率值
事件概率
概率值