江西省宜春中学2023-2024学年高一下学期（基础部）第一次月考数学试卷

这是一份江西省宜春中学2023-2024学年高一下学期（基础部）第一次月考数学试卷，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.（ ）
A.B.C.D.
2.设，为非零向量，，，则下列命题为真命题的是（ ）
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则
3.已知向量与的夹角为，且，，则向量在向量上的投影数量为（ ）
A.1B.C.2D.
4.已知函数在上单调递减，则的最大值为（ ）
A.B.C.D.
5.将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，则（ ）
A.B.是图象的一条对称轴
C.是图象的一个对称中心D.在上的最大值为
6.如图，C，D为以的直径的半圆的两个三等分点，为线段的中点，为的中点，设，，则（ ）
A.B.C.D.
7.已知函数，则（ ）
A.2022B.2023C.2024D.2025
8.平面向量有这样一个结论：已知是内的一点，若，，的面积分别为，，，则.设为内一点，且满足：，则（ ）
A.B.C.D.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.已知向量，不共线，若，，则下列条件能使A，B，C三点共线的有（ ）
A.，B.，C.D.
10.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若在区间上恰有两个零点，则实数的值可能为（ ）
A.B.C.D.
11.设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则点M、B、C三点共线
.若点是的重心，则
D.若且，则的面积是面积的
12.关于函数，下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.不等式的解集为
D.若存在实数a，b，c，d，满足，则的取值范围为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.写出一个与向量共线的单位向量：__________.
14.已知，则__________.
15.在中，是的中点，，点为上的一点，则的最大值为__________.
16.如图，已知长为，宽为的长方体木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方体木块底面与桌面所成的角为，求点A走过的路程为__________.
四、解答题（本题共6小题，共70分.）
17.（本题10分）平面内给定三个向量，，.
（1）求满足的实数m，n；
（2）若，求实数的值.
18.（本题12分）已知，函数，且.
（1）求a，b的值；
（2）设，且，求的单调递增区间.
19.（本题12分）如图所示，在中，为边上一点，且.过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（E，F两点不重合）.
（1）用，表示；
（2）若，，求的最小值.
20.（本题12分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，所以至今还在农业生产中被使用.如图，假定在水流稳定的情况下，一个直径为10米的筒车开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要1分钟，筒车的轴心距离水面的高度为米.以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，设筒车开始旋转秒后盛水筒到水面的距离为米（规定：若盛水筒在水面下，则为负数）.
（1）写出（单位：米）关于（单位：秒）的函数解析式（其中，，）；
（2）若盛水筒在，时刻距离水面的高度相等，求的最小值.
21.（本题12分）已知函数，若的图象的相邻两对称轴间的距离为，且过点.
（1）当时，求函数的值域；
（2）记方程在上的根从小到大依次为，，…，，试确定的值，并求的值.
22.（本题12分）若存在a，使得函数和满足，则称函数为的型“同形”函数.
（1）探究：若，，是否存在，使得函数为的型“同形”函数.若存在，求出a，b的值并证明；若不存在，说明理由；
（2）在（1）的条件下，函数，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
2026届高一年级下学期（基础部）第一次月考数学答案
一、单选、多选选择题
三、填空题
13.或回答一个即可14.15.8
16.
四、解答题
17、【详解】（1）解：因为，，，且，，，解得，
（2）解：，.
因为，，解得.
18、【详解】（1）因为，，
所以，则.
因为，所以，解得，；
（2），，
即.
因为，所以，所以，
所以，.令，.
解得，.所以的单调增区间为，.
19、【解析】（1）在中，由，又，所以，
所以.
（2）因为，又，，所以，，
所以，又D，E，F三点共线，且在线外，所以有：，即.从而.
20、【详解】（1）如图，过作交于点，设筒车与水面的交点为M，N，连接.
因为筒车转一周需要1分钟，所以筒车每秒钟转，则.
又因为，，所以，则.
，，
即，.
（2）不妨设，由题意得，
故，
①，，解得，，故，当且仅当，时，等号成立，
②，，解得，显然当时，取得最小值，最小值为.
综上，的最小值为40.
21、【详解】（1）的图象的相邻两对称轴间的距离为，故，故，故，
因为图象过点，故，，
故，，故.
当时，，
故函数的值域为.
（2）在上的图象如图所示：
因此与的图象在上共有5不同的交点，
这些交点的横坐标从小到大依次为，，…，，故.
令，，则，，
故的图象在内的对称轴分别为：，，，，，
结合图象可得，，，，
故.
22、【详解】（1）存在，当时，函数为的型“同形”函数，
证明如下：因为，
所以当，时，函数为的型“同形”函数.
（2）
，不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，所以在上恒成立，
令，
当时，在上单调递增，所以，解得；
当时，在上单调递减，所以，解得（舍）；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得（舍），
综上，实数m的取值范围为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
B
A
C
A
B
C
ABC
BC
ACD
BD