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苏教版 (2019)必修 第一册5.3 函数的单调性导学案及答案
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这是一份苏教版 (2019)必修 第一册5.3 函数的单调性导学案及答案，文件包含第03讲函数的单调性教师版-高一数学同步精品讲义苏教版必修第一册doc、第03讲函数的单调性学生版-高一数学同步精品讲义苏教版必修第一册doc等2份学案配套教学资源，其中学案共34页， 欢迎下载使用。
目标导航
知识精讲
一、函数的单调性
1.增函数与减函数
2.函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
【思考1】x1，x2∈D，若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0或>0，则y＝f(x)在某个区间D上是增函数吗？
【思考2】函数y＝在定义域上是减函数吗？
【特别提醒】
函数的单调性定义中的x1，x2有以下3个特征：
(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
(2)有大小，通常规定x1(3)属于同一个单调区间．
二、函数最大值与最小值
【思考1】若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？
【思考2】若函数y＝f(x)在区间[a，b]上为增函数，则f(x)的最大值与最小值分别是多少？
【特别提醒】函数的最大(小)值与值域、单调性之间的关系
(1)对一个函数来说，一定有值域，但不一定有最值，如函数y＝eq \f(1,x).如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．
(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得，即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．
一、2.单调递增或单调递减
【思考1】若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0或>0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)同号，即x2>x1时，f(x2)>f(x1)，所以f(x)在D上为增函数.
【思考2】不是．y＝在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．
二、 = 纵坐标 纵坐标
【思考1】不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．
【思考2】最大值为f(b)，最小值为f(a).
能力拓展
考法01 判断或证明函数的单调性
函数单调性的证明可以通过定义法，图像法等方法进行证明.例 1
求证：函数在区间上是单调递增函数．
【名师指点】利用定义证明函数单调性的步骤
【跟踪训练】利用单调性的定义，证明函数y＝在(－1，＋∞)上是减函数．
考法02 求函数的单调区间
(1)函数单调区间的两种求法
①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．
②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．
(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．
例 2
【例2】求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．
(1)f(x)＝－；(2)f(x)＝ (3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
【跟踪训练】
（1）函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调减区间是( )
A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(－∞，2) D.(2，＋∞)
（2）函数f（x）＝|2x－1|的递减区间是________．
考法03 函数单调性的应用
由函数单调性求参数范围的处理方法是：
(1)由函数解析式求参数
若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件，
若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性.
若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件.
(2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”脱掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域.
例 3
（1）f（x）＝x2＋2（a－1）x＋2在（－∞，4]上是减函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≤－3 B．a≥－3
C．a≤5 D．a≥3
(2)已知函数y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)【跟踪训练】
变式1. （变条件）在例3（1）中若函数f（x）＝x2＋2（a－1）x＋2的单调减区间是（－∞，4]，求实数的a值。
变式2. （变条件）在例3（1）中若函数f（x）＝x2＋2（a－1）x＋2在区间[－3，4]上不是单调函数，求实数的a的取值范围。
考法04 利用图象求函数的最值
函数的最值除了可以通过单调性求解之外，还可以根据图象求解，根据图象的最高点最低点来判断.
例4
(1)若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值为( )
A．2 B．1
C．－1 D．无最大值
（2）求函数f(x)＝的最值．
【名师指点】图象法求最值的步骤
【跟踪训练】已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．
考法05 利用单调性求函数的最值
利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性．
(2)利用单调性求出最大(小)值．
注意：(1)求最值勿忘求定义域．
(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．
例5
已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数f(x)的单调性；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
【跟踪训练】求函数f(x)＝x＋在[1,4]上的最值．
考法06 函数最值的实际应用
求解实际问题的四个步骤
(1)读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系(目标与条件的关系)．
(2)建模：把问题中的关系转化成函数关系，建立函数解析式，把实际问题转换成函数问题．
(3)求解：选择合适的数学方法求解函数．
(4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后将结果应用于现实，作出解释或预测．
例6
轮船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲、乙两地相距s(km)，水流速度为p(km/h)，轮船在静水中的最大速度为q(km/h)(p，q为常数，且q>p)，已知轮船每小时的燃料费用与轮船在静水中的速度v(km/h)成正比，比例系数为常数k.
(1)将全程燃料费用y(元)表示为静水中速度v(km/h)的函数；
(2)若s＝100，p＝10，q＝110，k＝2，为了使全程的燃料费用最少，轮船的实际行驶速度应为多少？
【跟踪训练】某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：
(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域)．
(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知函数，若，则、、的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
2．定义在上的函数为递增函数，则头数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数的定义域为，则不等式的解集为 （ ）
A．B．C．D．
4．已知函数在上为增函数，若不等式对恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数（）在上的最大值为1，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ）
A．B．C．D．
题组B 能力提升练
1．已知函数，则下列x的范围满足不等式的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数，若对任意的[t，t+1]，不等式恒成立，则整数t的取值可以是（ ）
A．B．1C．3D．5
3．已知函数在R上是增函数，则实数a的取值范围是_______．
4．函数的单调递减区间为___________.
5．已知函数满足：①；②在上是减函数；③.请写出一个满足以上条件的___________.
6．已知函数．（其中为常数）
（1）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
7．已知函数，
（1）若，求的值域；
（2）若存在，使得能成立，求实数t的取值范围．
8．已知函数
（1）若，求在上的最小值；
（2）若，试讨论函数在上的单调性．
题组C 培优拔尖练
1．若存在实常数和，使得和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“分隔直线”.已知函数，，若和之间存在“分隔直线”，则的取值范围为___________.
2．已知函数在区间和上均单调递增，则实数的取值范围是________．
3．记号表示，中取较大的数，如．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．若对任意，都有，则实数的取值范围是______．
4．已知函数，
（1）当时
①求函数单调递增区间；②求函数在区间的值域；
（2）当时，记函数的最大值为，求的表达式．
5．已知二次函数
（1）若在的最大值为，求的值；
（2）若对任意实数，总存在，使得．求的取值范围．
6．已知函数，问答以下问题：
（1）若，且，求该函数的最小值；
（2）若关于的不等式的解集为或，求的值；
（3）求关于的不等式：的解集．
课程标准
重难点
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性；
2.理解单调性的作用和实际意义；
3.会利用定义证明函数的单调性；
4.理解并掌握函数单调性的简单应用.
1．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．
2. 会求一些具体函数的单调区间
最大值
最小值
条件
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有
f(x) M
f(x) M
∃x0∈I，使得f(x0) M
结论
M是函数y＝f(x)的最大值
M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义
f(x)图象上最高点的
f(x)图象上最低点的
x
45
50
y
27
12
目标导航
知识精讲
一、函数的单调性
1.增函数与减函数
2.函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
【思考1】x1，x2∈D，若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0或>0，则y＝f(x)在某个区间D上是增函数吗？
【思考2】函数y＝在定义域上是减函数吗？
【特别提醒】
函数的单调性定义中的x1，x2有以下3个特征：
(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
(2)有大小，通常规定x1
二、函数最大值与最小值
【思考1】若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？
【思考2】若函数y＝f(x)在区间[a，b]上为增函数，则f(x)的最大值与最小值分别是多少？
【特别提醒】函数的最大(小)值与值域、单调性之间的关系
(1)对一个函数来说，一定有值域，但不一定有最值，如函数y＝eq \f(1,x).如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．
(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得，即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．
一、2.单调递增或单调递减
【思考1】若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0或>0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)同号，即x2>x1时，f(x2)>f(x1)，所以f(x)在D上为增函数.
【思考2】不是．y＝在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．
二、 = 纵坐标 纵坐标
【思考1】不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．
【思考2】最大值为f(b)，最小值为f(a).
能力拓展
考法01 判断或证明函数的单调性
函数单调性的证明可以通过定义法，图像法等方法进行证明.例 1
求证：函数在区间上是单调递增函数．
【名师指点】利用定义证明函数单调性的步骤
【跟踪训练】利用单调性的定义，证明函数y＝在(－1，＋∞)上是减函数．
考法02 求函数的单调区间
(1)函数单调区间的两种求法
①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．
②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．
(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．
例 2
【例2】求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．
(1)f(x)＝－；(2)f(x)＝ (3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
【跟踪训练】
（1）函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调减区间是( )
A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(－∞，2) D.(2，＋∞)
（2）函数f（x）＝|2x－1|的递减区间是________．
考法03 函数单调性的应用
由函数单调性求参数范围的处理方法是：
(1)由函数解析式求参数
若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件，
若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性.
若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件.
(2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”脱掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域.
例 3
（1）f（x）＝x2＋2（a－1）x＋2在（－∞，4]上是减函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≤－3 B．a≥－3
C．a≤5 D．a≥3
(2)已知函数y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)
变式1. （变条件）在例3（1）中若函数f（x）＝x2＋2（a－1）x＋2的单调减区间是（－∞，4]，求实数的a值。
变式2. （变条件）在例3（1）中若函数f（x）＝x2＋2（a－1）x＋2在区间[－3，4]上不是单调函数，求实数的a的取值范围。
考法04 利用图象求函数的最值
函数的最值除了可以通过单调性求解之外，还可以根据图象求解，根据图象的最高点最低点来判断.
例4
(1)若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值为( )
A．2 B．1
C．－1 D．无最大值
（2）求函数f(x)＝的最值．
【名师指点】图象法求最值的步骤
【跟踪训练】已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．
考法05 利用单调性求函数的最值
利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性．
(2)利用单调性求出最大(小)值．
注意：(1)求最值勿忘求定义域．
(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．
例5
已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数f(x)的单调性；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
【跟踪训练】求函数f(x)＝x＋在[1,4]上的最值．
考法06 函数最值的实际应用
求解实际问题的四个步骤
(1)读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系(目标与条件的关系)．
(2)建模：把问题中的关系转化成函数关系，建立函数解析式，把实际问题转换成函数问题．
(3)求解：选择合适的数学方法求解函数．
(4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后将结果应用于现实，作出解释或预测．
例6
轮船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲、乙两地相距s(km)，水流速度为p(km/h)，轮船在静水中的最大速度为q(km/h)(p，q为常数，且q>p)，已知轮船每小时的燃料费用与轮船在静水中的速度v(km/h)成正比，比例系数为常数k.
(1)将全程燃料费用y(元)表示为静水中速度v(km/h)的函数；
(2)若s＝100，p＝10，q＝110，k＝2，为了使全程的燃料费用最少，轮船的实际行驶速度应为多少？
【跟踪训练】某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：
(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域)．
(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知函数，若，则、、的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
2．定义在上的函数为递增函数，则头数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数的定义域为，则不等式的解集为 （ ）
A．B．C．D．
4．已知函数在上为增函数，若不等式对恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数（）在上的最大值为1，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ）
A．B．C．D．
题组B 能力提升练
1．已知函数，则下列x的范围满足不等式的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数，若对任意的[t，t+1]，不等式恒成立，则整数t的取值可以是（ ）
A．B．1C．3D．5
3．已知函数在R上是增函数，则实数a的取值范围是_______．
4．函数的单调递减区间为___________.
5．已知函数满足：①；②在上是减函数；③.请写出一个满足以上条件的___________.
6．已知函数．（其中为常数）
（1）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
7．已知函数，
（1）若，求的值域；
（2）若存在，使得能成立，求实数t的取值范围．
8．已知函数
（1）若，求在上的最小值；
（2）若，试讨论函数在上的单调性．
题组C 培优拔尖练
1．若存在实常数和，使得和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“分隔直线”.已知函数，，若和之间存在“分隔直线”，则的取值范围为___________.
2．已知函数在区间和上均单调递增，则实数的取值范围是________．
3．记号表示，中取较大的数，如．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．若对任意，都有，则实数的取值范围是______．
4．已知函数，
（1）当时
①求函数单调递增区间；②求函数在区间的值域；
（2）当时，记函数的最大值为，求的表达式．
5．已知二次函数
（1）若在的最大值为，求的值；
（2）若对任意实数，总存在，使得．求的取值范围．
6．已知函数，问答以下问题：
（1）若，且，求该函数的最小值；
（2）若关于的不等式的解集为或，求的值；
（3）求关于的不等式：的解集．
课程标准
重难点
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性；
2.理解单调性的作用和实际意义；
3.会利用定义证明函数的单调性；
4.理解并掌握函数单调性的简单应用.
1．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．
2. 会求一些具体函数的单调区间
最大值
最小值
条件
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有
f(x) M
f(x) M
∃x0∈I，使得f(x0) M
结论
M是函数y＝f(x)的最大值
M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义
f(x)图象上最高点的
f(x)图象上最低点的
x
45
50
y
27
12
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