238、（解析版）湖南省九校联盟2024届高三下学期第二次联考数学试题-Word

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由 长沙市一中 常德市一中 湖南师大附中 双峰县一中 桑植县一中
武冈市一中 湘潭市一中 岳阳市一中 株洲市二中 联合命题
炎德文化审校、制作
命题学校：长沙市一中 审题学校：双峰县一中
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据，下列统计量的数值能够刻画其经验回归方程的拟合效果的是（ ）
A.平均数 B.相关系数 C.决定系数 D.方差
2.已知是等比数列，是其前项和.若，则的值为（ ）
A.2 B.4 C. D.
3.关于复数与其共轭复数，下列结论正确的是（ ）
A.在复平面内，表示复数和的点关于虚轴对称
B.
C.必为实数，必为纯虚数
D.若复数为实系数一元二次方程的一根，则也必是该方程的根
4.已知为双曲线上一动点，则到点和到直线的距离之比为（ ）
A.1 B. C. D.2
5.如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（ ）
A. B. C. D.
6.某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为3%，某人存入大额存款元，按照复利计算10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（ ）

7.已知函数，若沿轴方向平移的图象，总能保证平移后的曲线与直线在区间上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.过点的动直线与圆交于两点，在线段上取一点，使得，已知线段的最小值为，则的值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.下列函数的图象与直线相切的有（ ）
A. B.
C. D.
10.在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ）
A.
B.若，则为直角三角形
C.若为锐角三角形，的最小值为1
D.若为锐角三角形，则的取值范围为
11.如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ）
A.若点满足，则动点的轨迹长度为
B.三棱锥体积的最大值为
C.当直线与所成的角为时，点的轨迹长度为
D.当在底面上运动，且溚足平面时，线段长度最大值为
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.对于非空集合，定义函数已知集合，若存在，使得，则实数的取值范围为__________.
13.已知椭圆与双曲线，椭圆的短轴长与长轴长之比大于，则双曲线离心率的取值范围为__________.
14.函数在范围内极值点的个数为__________.
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15.（木小题满分15分）
如图所示，半圆柱的轴截面为平面，是圆柱底面的直径，为底面圆心，为一条母线，为的中点，且.
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
16.（本小题满分15分）
猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表：
（1）求甲按“”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；
（2）甲决定按“”或者“”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由.
17.（本小题满分15分）
已函数，其图象的对称中心为.
（1）求的值；
（2）判断函数的零点个数.
18.（本小题满分17分）
已知数列的前项和为，满足；数列满足，其中.
（1）求数列的通项公式；
（2）对于给定的正整数，在和之间插入个数，使，成等差数列.
（i）求；
（ii）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.
19.（本小题满分17分）
直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
（1）若圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式；
（2）若点不在线族：的任意一条直线上，求的取值范和直线族的包络曲线；
（3）在（2）的条件下，过曲线上两点作曲线的切线，其交点为.已知点，若三点不共线，探究是否成立？请说明理由.
歌曲
猜对的概率
0.8
0.5
0.5
获得的奖励基金金额/元
1000
2000
3000