2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第32讲复数（教师版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第32讲复数（教师版），共8页。试卷主要包含了复数的有关概念，复数的几何意义，复数的运算等内容，欢迎下载使用。


知识梳理
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(4)复数的模：
向量eq \(OZ,\s\up7(―→))的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2).
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq \(OZ,\s\up7(―→)).
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算定律
设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律：
①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；
②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
题型归纳
题型1 复数的有关概念
【例1-1】复数的虚部是
A．B．C．D．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：，
复数的虚部是．
故选：．
【例1-2】已知复数满足，且为纯虚数，则
A．B．C．D．
【分析】由已知可得，，求得，则答案可求．
【解答】解：由，且满足，
得，①
又为纯虚数，
，代入①，得．
．
故选：．
【例1-3】已知复数，则的共轭复数等于
A．0B．C．D．
【分析】直接根据共轭复数的定义求解即可．
【解答】解：因为复数，则的共轭复数；
故选：．
【跟踪训练1-1】若的实部为，的虚部为，则
A．6B．8C．7D．4
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由题意求得与的值，则答案可求．
【解答】解：，，
，，
则．
故选：．
【跟踪训练1-2】已知复数是纯虚数，则实数
A．B．C．0D．1
【分析】把复数化为的形式，再由实部为0且虚部不为0列式求得值．
【解答】解：是纯虚数，
，解得．
故选：．
【跟踪训练1-3】已知复数为虚数单位），则的虚部为
A．B．C．D．
【分析】利用虚部的定义即可得出．
【解答】解：由复数为虚数单位），
则的虚部为．
故选：．
【跟踪训练1-4】若复数是纯虚数，其中是实数，则 ．
【分析】由复数是纯虚数，列出方程组，求解可得的值，然后代入求出，进而求得答案．
【解答】解：因为复数是纯虚数，其中是实数，
所以：且；故；故；所以：；故答案为：．
【名师指导】
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.
(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
题型2 复数的几何意义
【例2-1】已知复数满足为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．
【解答】解：由，得，
，在复平面内对应的点的坐标为，，所在的象限为第四象限．
故选：．
【例2-2】在复平面内，是坐标原点，向量对应的复数是，若点关于实轴的对称点为点，则向量对应的复数的模为 ．
【分析】由已知求得的坐标，得到的坐标，进一步求出向量对应的复数，再由复数模的计算公式求解．
【解答】解：向量对应的复数是，，
又点关于实轴的对称点为点，．
向量对应的复数为，该复数的模为．
故答案为：．
【跟踪训练2-1】若复数，则复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据复数的几何意义先求出对应点的坐标，然后进行判断即可．
【解答】解：复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，
故选：．
【跟踪训练2-2】复数，则的共轭复数在复平面内所对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】由已知求得，进一步得到的坐标得答案．
【解答】解：，
，则在复平面内所对应的点的坐标为，位于第一象限．
故选：．
【跟踪训练2-3】复数满足，则在复平面表示的点所在的象限为
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由，得；
复数在复平面内对应的点的坐标为，，所在的象限为第一象限．
故选：．
【跟踪训练2-4】已知复数，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出在复平面内对应点的坐标得答案．
【解答】解：；
在复平面内对应的点的坐标为，，
在复平面内对应的点的坐标为，，位于第四象限．
故选：．
【跟踪训练2-5】已知复数是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，则答案可求．
【解答】解：，，
复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选：．
【跟踪训练2-6】已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于第
象限．
【分析】利用虚数单位的运算性质变形，再由共轭复数的概念求得，则答案可求．
【解答】解：，
，
则复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．
故答案为：一．
【名师指导】
1．准确理解复数的几何意义
(1)复数z、复平面上的点Z及向量eq \(OZ,\s\up7(―→))相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔eq \(OZ,\s\up7(―→)).
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
2．与复数的几何意义相关问题的一般步骤
(1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；
(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点(a，b)一一对应．
题型3 复数的运算
【例3-1】若，则
A．0B．1C．D．2
【分析】由复数的乘方和加减运算，化简，再由复数的模的定义，计算可得所求值．
【解答】解：若，则，
则，
故选：．
【例3-2】若，则
A．B．C．D．
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．
【解答】解：由，得，
．故选：．
【例3-3】
A．B．4C．D．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：．
故选：．
【跟踪训练3-1】
A．1B．C．D．
【分析】运用复数的除法运算法则，化简可得所求值．
【解答】解：，
故选：．
【跟踪训练3-2】
A．B．C．D．
【分析】根据复数的乘法公式计算．
【解答】解：，
故选：．
【跟踪训练3-3】已知复数，则
A．2B．5C．10D．18
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由求解．
【解答】解：由，
得．
故选：．
【跟踪训练3-4】已知，则
A．B．C．D．
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：，
．
故选：．
【名师指导】
复数代数形式运算问题的解题策略
复数的加减法
在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可
复数的乘法
复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可
复数的除法
除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式