2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第31讲平面向量的综合应用（教师版）

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知识梳理
向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题
题型归纳
题型1 平面向量与平面几何
【例1-1】平面内及一点满足，则点是的
A．重心B．垂心C．内心D．外心
【分析】利用表达式，转化推出所在的位置，得到结果即可．
【解答】解：平面内及一点满足，可得，所以在的平分线上，
，可得：，所以在的平分线上，
则点是的内心．
故选：．
【例1-2】在中，若，记，，，则下列结论正确的是
A．B．
C．D．
【分析】可作出图形，然后作，从而得出四边形是平行四边形，并设的边上的高为，的边上的高为，从而可得出，进而得出，从而可求出，从而得出正确选项．
【解答】解：如图，
作，则，
四边形是平行四边形，
，设的边上的高为，的边上的高为，则：，
，
，．
故选：．
【跟踪训练1-1】已知点是的重心，，若，，则的最小值是
A．B．C．D．
【分析】由三角形重心的性质可得，，设，由向量数量积的定义可知，可得，然后根据向量数量积的性质可得，结合基本不等式可求
【解答】解：由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得，
，，则根据向量的数量积的定义可得，
设
即
（当且仅当取等号）
即的最小值为
故选：．
【跟踪训练1-2】等腰三角形中，，点在线段上，，，，则面积为 ，点是外接圆上任意一点，则最大值为 ．
【分析】画出图形，利用已知条件求出，然后求解三角形的面积；由平面向量的线性运算去分析转化求解最大值．
【解答】解：等腰三角形中，，点在线段上，，，，可得：，
，，
可得，则，到的距离为：，
面积为：．
设的外心即中点为，外接圆的半径为：，，，．
由平面向量的线性运算知，，
所以，
由图可知：．
当时，，
则最大值为．
故答案为：；．
【名师指导】
向量与平面几何综合问题的2种解法
题型2 平面向量在解析几何中的应用
【例2-1】已知直线与圆交于，两点，是坐标原点，向量，满足，则实数的值为
A．2B．2或C．1或D．或
【分析】根据，得即，如图所示故圆心到直线的距离，可求得．
【解答】解：，两边平方，得，即，如图所示
故圆心到直线的距离，求得．
故选：．
【跟踪训练2-1】已知，，点是圆上的一个动点，则的最大值为
A．16B．20C．24D．28
【分析】设出的坐标，求出向量，利用向量的数量积以及三角函数的最值转化求解即可．
【解答】解：，，点是圆上的一个动点，
设，
则，，
则
，期中．
．
则的最大值为24．
故选：．
【名师指导】
向量在解析几何中的2个作用
题型3 平面向量的其他应用
【例3-1】加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：约为
（参考数据：取重力加速度大小为，
A．63B．69C．75D．81
【分析】由题意知，夹角，计算的模长，再求出体重即可．
【解答】解：由题意知，，夹角，
所以，
即；
所以；
，
则该学生的体重（单位：约为，
故选：．
【跟踪训练3-1】如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为 ．
【分析】根据向量加法的平行四边形法则，即可作出，进而求出的值，从而得出物体重力的大小．
【解答】解：如图，，
，
物体的重力大小为20．
故答案为：20．
【名师指导】
利用向量的载体作用，运用数量积可以处理物力学上质点受力分析部分题目．由此可见数学物理联系性较大．基向量法
适当选取一组基底，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解
坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决
载体作用
向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题
工具作用
利用a⊥b⇔a·b＝0；a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法