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    2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第27讲解三角形应用举例(教师版)

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    这是一份2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第27讲解三角形应用举例(教师版),共14页。试卷主要包含了仰角和俯角,方位角,方向角,坡角与坡度等内容,欢迎下载使用。


    知识梳理
    1.仰角和俯角
    在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图①).
    2.方位角
    从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图②).
    3.方向角:相对于某一正方向的水平角.
    (1)北偏东α,即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③).
    (2)北偏西α,即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向.
    (3)南偏西等其他方向角类似.
    区分两种角
    (1)方位角:从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角.
    (2)方向角:正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角.
    4.坡角与坡度
    (1)坡角:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④,角θ为坡角).
    (2)坡度:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④,i为坡度).坡度又称为坡比.
    题型归纳
    题型1 解三角形的实际应用
    【例1-1】海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上最深的海洋蓝洞,若要测量如图所示的蓝洞的口径,两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点,,测得,,,,则,两点的距离为
    A.B.80C.160D.
    【分析】根据题意画出图形,中利用正弦定理求出的值,中利用等角对等边求出的值,再在中由余弦定理求出的值.
    【解答】解:如图所示:
    中,,,,
    ,由正弦定理,得,解得,
    中,,,

    ,,
    中,由余弦定理,得

    ,即,两点间的距离为,
    故选:.
    【例1-2】小华想测出操场上旗杆的高度,在操场上选取了一条基线,请从测得的数据①,②处的仰角,③处的仰角,④,⑤中选取合适的,计算出旗杆的高度为
    A.B.C.D.
    【分析】首先利用仰角和俯角的应用求出和的长,进一步利用余弦定理的应用求出的长
    【解答】解:选①②③⑤,
    如图所示:
    则,,
    设,则,.
    在中,
    利用余弦定理:,
    整理得:,即
    故选:.
    【例1-3】新安江某段南北两岸平行,一艘游船从南岸码头出发航行到北岸,假设游船在静水中的航行速度的大小为,水流的速度的大小为,设和的夹角为,北岸的点在的正北方向,游船正好抵达处时,
    A.B.C.D.
    【分析】依题意可作出图形,利用图中的直角三角形可求得,从而可得答案.
    【解答】解:依题意,作图如下,设由到航行的时间为,则,,
    在直角三角形中,,
    所以,
    所以,
    所以,
    故选:.
    【跟踪训练1-1】为了测量河对岸两地、之间的距离,先在河这岸选择一条基线,测得米,再测得,,,,据此计算、两地之间的距离是
    A.B.C.D.
    【分析】先在直角三角中,求出,然后在三角形中,利用正弦定理求出,最后利用三角形中,利用余弦定理求出的值.
    【解答】解:由已知,在三角形中,米,,,.
    又在三角形中,米,,,,
    由正弦定理得,即,.
    所以在中,,


    故选:.
    【跟踪训练1-2】如图所示,为了测量山高,选择和另一座山的山顶作为测量基点,从点测得点的仰角,点的仰角,,从点测得.已知山高,则山高(单位:为
    A.750B.C.850D.
    【分析】利用直角三角形求出,由正弦定理求出,再利用直角三角形求出的值.
    【解答】解:在中,,,所以;
    在中,,,从而,
    由正弦定理得,,
    因此;
    在中,,,
    由,
    得.
    故选:.
    【跟踪训练1-3】俗语云:天王盖地虎,宝塔镇河妖.萍乡塔多,皆因旧时萍城多水患,民不聊生.迷信使然,建塔以辟邪镇邪.坐落在萍城小西门汪公潭境内的宝塔岭上就有这么一座“如愿塔”.此塔始建于唐代,后该塔曾因久失修倒塌,在清道光年间重建.某兴趣小组为了测量塔的高度,如图所示,在地面上一点处测得塔顶的仰角为,在塔底处测得处的俯角为.已知山岭高为36米,则塔高为
    A.米B.米C.米D.米
    【分析】根据题意结合图形,利用三角形的边角关系,即可求出塔高的值.
    【解答】解:如图所示,
    在中,,,所以;
    在中,,所以,
    所以,
    即塔高为米.
    故选:.
    【跟踪训练1-4】公路北侧有一幢楼,高为60米,公路与楼脚底面在同一平面上.一人在公路上向东行走,在点处测得楼顶的仰角为,行走80米到点处,测得仰角为,再行走80米到点处,测得仰角为.则 .
    【分析】画出示意图,知道边长和角度,然后利用,即可求出结论.
    【解答】解:如图;
    面,,;
    由题可得:;;



    故答案为:.
    【名师指导】
    1.测量距离问题的2个策略
    (1)选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.
    (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.
    2.高度也是两点之间的距离,其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的,基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中,使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度.
    3.测量角度问题的基本思路
    测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.
    题型2 正、余弦定理在平面几何中的应用
    【例2-1】如图,在平面四边形中,的面积为,,,,,则 , .
    【分析】直接利用余弦定理和三角形面积公式的应用,勾股定理的应用求出结果.
    【解答】解:连接,
    如图所示:
    在中,由于,,,
    利用余弦定理:,
    解得,
    所以,
    所以.
    由于,所以.
    已知的面积为,所以,解得.
    进一步利用勾股定理的应用:,解得.
    故答案为:,
    【例2-2】如图,在四边形中,,且,,.
    (1)求的面积;
    (2)若,求的长.
    【分析】(1)利用已知条件求出角的正弦函数值,然后求的面积;
    (2)利用余弦定理求出,通过的值利用余弦定理求解的长.
    【解答】解:(1),,可求:.


    (2),,,
    在中,由余弦定理知,,
    在中,,可得:,整理可得,
    解得:.
    【跟踪训练2-1】如图,在中,,,是边上一点,,,则的长为
    A.B.C.8D.
    【分析】先根据余弦定理求出度数,最后根据正弦定理可得答案.
    【解答】解:在中,,,,
    由余弦定理得,
    因为是三角形内角,

    在中,,,,
    由正弦定理得:.
    故选:.
    【跟踪训练2-2】如图,在中,是边上的点,且,,,则的值为
    A.B.C.D.
    【分析】设,则由题意可得:,,利用余弦定理表示出,把三边长代入求出的值,进而确定出的值,由,,以及的值,利用正弦定理求出的值即可.
    【解答】解:设,则由题意可得:,,
    在中,由余弦定理得:,

    在中,由正弦定理得,,即,
    解得:,
    故选:.
    【跟踪训练2-3】如图,在中,角的平分线交于,且.若,,则 .
    【分析】不妨令,易知,,然后在中,利用正弦定理,求出,的值,最后在中,利用正弦定理,可求出的值.
    【解答】解:在中,角的平分线交于,且.
    设,则,,
    ,即,
    整理得,所以:,
    结合得,
    即,显然是锐角,所以,

    再由得:,,
    解得.
    故答案为:.
    【跟踪训练2-4】如图,在平面四边形中,,,.
    (1)若,求四边形的面积;
    (2)若,求.
    【分析】(1)由已知结合勾股定理可求,然后结合余弦定理可求,再由三角形的面积公式可求;
    (2)由已知结合正弦定理可求,然后结合同角平方关系可求,结合特殊角的三角函数值及两角和的正弦公式可求.
    【解答】解:(1)连接,在 中,由勾股定理可得,,故,
    中,由余弦定理可得,,
    因为为三角形的内角,故,
    所以,,
    故求四边形的面积,
    (2)在中,由正弦定理可得,
    所以,
    因为,所以,,
    中,,故,
    所以.
    【名师指导】
    与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路
    求解平面图形中的计算问题,关键是梳理条件和所求问题的类型,然后将数据化归到三角形中,利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系.
    具体解题思路如下:
    (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解;
    (2)寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,求出结果.
    题型3 解三角形与三角函数的综合问题
    【例3-1】设函数,.
    (Ⅰ)已知,,函数是偶函数,求的值;
    (Ⅱ)设的三边,,所对的角分别为,,,若,,求的面积的最大值.
    【分析】把已知函数解析式利用辅助角公式化简.
    (Ⅰ)由函数是偶函数,得,进一步得到,恒成立,得到,再由的范围求得值;
    (Ⅱ)由求解角,由已知结合余弦定理及基本不等式求得的最大值,则的面积的最大值可求.
    【解答】解:.
    (Ⅰ)由函数是偶函数,得,
    即,
    ,(舍
    或,恒成立.
    即,
    ,,或;
    (Ⅱ)由,得,
    即,
    ,,得,即.
    由余弦定理可得:,
    (当且仅当时取等号),
    即.
    的面积.
    即的面积的最大值为.
    【跟踪训练3-1】已知向量,向量,,函数,直线是函数图象的一条对称轴.
    (1)求函数的解析式及单调递增区间;
    (2)设的内角,,的对边分别为,,,且,,锐角满足,求的值.
    【分析】(1)利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式,结合函数的对称性周期性,求解函数的解析式.利用正弦函数的单调性求解函数的单调增区间即可.
    (2)利用函数的解析式结合正弦定理余弦定理转化求解即可.
    【解答】解:(1),
    直线是函数图象的一条对称轴,,,
    ,,,,

    由,得,.
    单调递增区间为,.
    (2)由,得,即,
    因为为锐角,所以,所以,即,
    又,所以由正弦定理得.①
    由余弦定理,得,即.②
    由①②解得.
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