2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第22讲三角函数的图象与性质（学生版）

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知识梳理
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)“五点法”作图原理：
在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．
在余弦函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1).
(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
题型归纳
题型1 三角函数的定义域
【例1-1】函数的定义域为
A．，B．，
C．，D．，
【例1-2】函数的定义域是 ．
【跟踪训练1-1】函数的定义域为
A．B．
C．D．
【跟踪训练1-2】函数的定义域为 ．
【名师指导】
1．三角函数定义域的求法
(1)以正切函数为例，应用正切函数y＝tan x的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式．
(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式．
2．简单三角不等式的解法
(1)利用三角函数线求解．
(2)利用三角函数的图象求解．
题型2 三角函数的值域（最值）
【例2-1】函数在区间上的值域为 ．
【例2-2】函数的值域是 ．
【跟踪训练2-1】函数的值域是
A．，B．，C．，D．，
【跟踪训练2-2】函数，，的值域是 ．
【名师指导】
求三角函数的值域(最值)的3种类型及解法思路
(1)形如y＝asin x＋bcs x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asin xcs x＋b(sin x±cs x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cs x，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(4)对分式形式的三角函数表达式也可构造基本不等式求最值．
题型3 三角函数的单调性
【例3-1】函数的单调递增区间是
A．B．
C．D．
【例3-2】函数的单调递增区间是
A．B．
C．D．
【例3-3】函数的单调递增区间为 ．
【例3-4】已知函数在区间，（其中上单调递增，则实数的取值范围是
A．B．
C．，D．，
【跟踪训练3-1】函数的一个单调递减区间是
A．B．C．D．
【跟踪训练3-2】函数的单调递减区间是
A．B．
C．D．
【跟踪训练3-3】函数的单调递增区间是
A．B．
C．D．
【跟踪训练3-4】已知函数为正整数）在区间上单调，则的最大值为 ．
【跟踪训练3-5】已知，函数在，上单调递减，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【名师指导】
1.求三角函数单调区间的方法
求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，可利用换元法转化为两个简单函数(t＝ωx＋φ与y＝Asin t)进行求解，应注意ω的符号对复合函数单调性的影响，牢记基本法则——同增异减．准确记忆基本结论：
2.已知函数单调性求参数
(1)明确一个不同：“函数f(x)在区间M上单调”与“函数f(x)的单调区间为N”两者的含义不同，显然M是N的子集．
(2)抓住两种方法．已知函数在区间M上单调求解参数问题，主要有两种方法：一是利用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式求解；二是利用导数，转化为导函数在区间M上的保号性，由此列不等式求解．
题型4 三角函数的周期性、奇偶性、对称性
【例4-1】函数的最小正周期是
A．B．C．D．
【例4-2】函数是上的偶函数，则的值是
A．0B．C．D．
【例4-3】已知点为函数图象的一个对称中心，则实数
A．B．C．D．
【例4-4】已知函数，则函数的图象的对称轴方程为
A．B．
C．D．
【跟踪训练4-1】设函数在，的图象大致如图，则的最小正周期为
A．B．C．D．
【跟踪训练4-2】下列函数中，周期为，且在，上单调递减的是
A．B．C．D．
【跟踪训练4-3】函数的最小正周期为 ．
【跟踪训练4-4】函数是
A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的偶函数
【跟踪训练4-5】已知函数，是偶函数，且在，上是减函数，则 ，的最大值是 ．
【跟踪训练4-6】已知函数是偶函数，则的最小值是 ．
【跟踪训练4-7】已知函数图象关于直线对称，则函数在区间，上零点的个数为
A．1B．2C．3D．4
【跟踪训练4-8】下列是函数图象的对称轴方程的是
A．B．C．D．
【名师指导】
1．三角函数最小正周期的求解方法
(1)定义法；
(2)公式法：函数y＝Asin(ωx＋φ)(y＝Acs(ωx＋φ))的最小正周期T＝eq \f(2π,|ω|)，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝eq \f(π,|ω|)；
(3)图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期．
2．有关周期的2个结论
(1)函数y＝|Asin(ωx＋φ)|，y＝|Acs(ωx＋φ)|，y＝|Atan(ωx＋φ)|的周期均为T＝eq \f(π,|ω|).
(2)函数y＝|Asin(ωx＋φ)＋b|(b≠0)，y＝|Acs(ωx＋φ)＋b|(b≠0)的周期均为T＝eq \f(2π,|ω|).
3．若y＝f(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，y＝0；若y＝f(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，y取最大值或最小值．
4.求对称轴方程(对称中心坐标)的方法
(1)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)整理；对称中心横坐标只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x.
(2)求f(x)＝Acs(ωx＋φ)的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝kπ(k∈Z)．整理，对称中心横坐标为ωx＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，求x即可．
(3)求f(x)＝Atan(ωx＋φ)的对称中心的横坐标，只需对ωx＋φ＝eq \f(kπ,2)(k∈Z)，求x.函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定
义
域
R
R
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R，且x≠kπ＋\f(π,2)))，k∈Z))
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
奇偶
性
奇函数
偶函数
奇函数
单
调
性
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)上是递增函数，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)上是递减函数
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)上是递增函数
周
期
性
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π
对
称
性
对称轴是x＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)
对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))(k∈Z)
对称中心是
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)
函数
单调递增区间
单调递减区间
y＝sin x
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)
y＝cs x
[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)
[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
y＝tan x
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)
无