2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第26讲正弦定理和余弦定理（学生版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第26讲正弦定理和余弦定理（学生版），共6页。试卷主要包含了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式等内容，欢迎下载使用。


知识梳理
1．正弦定理
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccs A；
b2＝c2＋a2－2cacs B；
c2＝a2＋b2－2abcs C.
3．三角形的面积公式
(1)S△ABC＝eq \f(1,2)aha(ha为边a上的高)；
(2)S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B；
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
题型归纳
题型1 利用正、余弦定理解三角形
【例1-1】在中，角，，所对的边分别是，，．若，，，则
A．B．C．D．
【例1-2】在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，，则
A．5B．C．29D．
【例1-3】在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，则
A．B．C．D．
【例1-4】已知的内角，，所对边分别为，，，，．
（1）求的值；
（2）从①，②两个条件中选一个作为已知条件，求的值．
【跟踪训练1-1】在三角形中，角，，所对的边分别为，，，其中，，，则边的长为 ．
【跟踪训练1-2】在中，，，对应边分别为，，，且，，，则的边 ．
【跟踪训练1-3】在中，，，，则
A．B．C．或D．或
【跟踪训练1-4】内角，，的对边分别为，，，若，，则 ．
【跟踪训练1-5】在中，若角，，，则角 ．
【跟踪训练1-6】在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，．
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围．
【名师指导】
1．已知△ABC中的某些条件(a，b，c和A，B，C中至少含有一条边的三个条件)求边长时可用公式a＝eq \f(bsin A,sin B)，b＝eq \f(asin B,sin A)，c＝eq \f(asin C,sin A)，a2＝b2＋c2－2bccs A，b2＝a2＋c2－2accs B，c2＝a2＋b2－2abcs C.
2．已知△ABC的外接圆半径R及角，可用公式a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
题型2 判断三角形的形状
【例2-1】在中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，则的形状为
A．等腰三角形或直角三角形B．等腰直角三角形
C．直角三角形D．等边三角形
【例2-2】在中，若，则的形状是
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【跟踪训练2-1】在中，角，，所对的边分别为，，，若，则为
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
【跟踪训练2-2】在中，角，，所对的边分别为，，，为的面积，若，，则的形状为 ，的大小为 ．
【跟踪训练2-3】已知中，角，，所对的边分别是，，，且，则该三角形的形状是 ．
【名师指导】
1．判定三角形形状的2种常用途径
2．判定三角形的形状的注意点
在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
题型3 三角形的面积问题
【例3-1】在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）和的面积．
条件①：，；
条件②：，．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【例3-2】在中，内角，，所对的边分别为，，，．
（1）求；
（2）若，求的面积的最大值．
【跟踪训练3-1】中，角、、所对边分别为、、，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，求的面积．
【跟踪训练3-2】已知的外接圆半径为，，，分别是角，，的对边，且．
（1）求角；
（2）若是边上的中线，求的面积．
【跟踪训练3-3】已知的内角，，所对的边分别为，，，，___且，
请从①，②，③这三个条件中任选一个补充在横线上，求出此时的面积．
【名师指导】
1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．