2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第15讲导数的应用__导数与函数的单调性（学生版）

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知识梳理
函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
题型归纳
题型1 证明（判断）函数的单调性
【例1-1】已知函数，讨论函数的单调性．
【跟踪训练1-1】函数在区间上
A．单调递减
B．单调递增
C．上单调递增，上单调递减
D．上单调递减，上单调递增
【跟踪训练1-2】试证明函数在上是减函数．
【名师指导】
讨论函数f(x)单调性的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根；
(3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f′(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性．
题型2 求函数的单调区间
【例2-1】函数的单调递增区间为
A．B．C．D．
【例2-2】求函数的单调区间．
【跟踪训练2-1】函数的单调递增区间为
A．B．C．D．
【跟踪训练2-2】确定函数，的单调区间．
【名师指导】
利用导数求函数单调区间的方法
(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出单调区间．
(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．
(3)若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．
题型3 函数单调性的简单应用——比较大小或解不等式
【例3-1】已知，则
A．B．C．D．
【例3-2】是定义在上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【跟踪训练3-1】对于定义在上可导的任意函数，若满足，则必有
A．（a）B． （a）C．（a）D．（a）
【跟踪训练3-2】已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且（2），则不等式的解集为
A．，B．，C．D．
【跟踪训练3-3】已知函数的定义域为，且，则不等式的解集为
A．，B．，C．D．
【名师指导】
一般地，在不等式中如同时含有f(x)与f′(x)，常需要通过构造含f(x)与另一函数的积或商的新函数来求解，再借助导数考查新函数的性质，继而获得解答．如本题已知条件“2f(x)＋xf′(x)>0”，需构造函数g(x)＝x2f(x)，求导后得x>0时，g′(x)>0，即函数g(x)在(0，＋∞)上为增函数，从而问题得以解决．
题型4 函数单调性的简单应用——根据函数单调性求参数
【例4-1】若函数在，上为增函数，则的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
【例4-2】已知函数，若存在，使，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【例4-3】若函数在区间单调递增，则的取值范围是 ；若函数在区间内不单调，则的取值范围是 ．
【跟踪训练4-1】若函数在其定义域上不单调，则实数的取值范围为
A．或B．C．D．
【跟踪训练4-2】若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 ．
【跟踪训练4-3】已知函数在区间，上单调递增，则的取值范围为 ．
【名师指导】
已知函数单调性求参数范围
(1)已知可导函数f(x)在区间D上单调递增，则在区间D上f′(x)≥0恒成立；
(2)已知可导函数f(x)在区间D上单调递减，则在区间D上f′(x)≤0恒成立；
(3)已知可导函数f(x)在区间D上存在增区间，则f′(x)>0在区间D上有解；
(4)已知可导函数f(x)在区间D上存在减区间，则f′(x)<0在区间D上有解．