2025届高考数学一轮复习专项练习课时规范练46双曲线

这是一份2025届高考数学一轮复习专项练习课时规范练46双曲线，共6页。试卷主要包含了过双曲线E，已知点P为双曲线E，设F为双曲线E，已知F为双曲线C等内容，欢迎下载使用。

1.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为,若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( )
A.=1B.=1
C.=1D.=1
2.过双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F(,0)且斜率为k(k<-1)的直线与双曲线过第一象限的渐近线垂直,且垂足为A,交另一条渐近线于点B,若S△BOF=(O为坐标原点),则k的值为( )
A.-B.-2C.-D.-
3.过双曲线E:=1(a>0,b>0)的左焦点(-,0)作圆(x-)2+y2=4的切线,切点在双曲线E上,则双曲线E的离心率为( )
A.2B.C.D.
4.(多选)已知双曲线C过点(3,)且渐近线为y=±x,则下列结论正确的是( )
A.双曲线C的方程为-y2=1
B.双曲线C的离心率为
C.曲线y=ex-2-1经过双曲线C的一个焦点
D.直线x-y-1=0与双曲线C有两个公共点
5.(多选)已知点P为双曲线E:=1的右支上一点,F1,F2为双曲线E的左、右焦点,△PF1F2的面积为20,则下列说法正确的是( )
A.点P的横坐标为
B.△PF1F2的周长为
C.∠F1PF2<
D.△PF1F2的内切圆半径为
6.设F为双曲线E:=1(a,b>0)的右焦点,过双曲线E的右顶点作x轴的垂线与双曲线E的渐近线相交于A,B两点,O为坐标原点,四边形OAFB为菱形,圆x2+y2=c2(c2=a2+b2)与双曲线E在第一象限的交点为P,且|PF|=-1,则双曲线E的方程为( )
A.=1B.=1
C.-y2=1D.x2-=1
7.设双曲线C的方程为=1(a>0,b>0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为( )
A.=1B.x2-=1
C.-y2=1D.x2-y2=1
8.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是 .
9.已知F为双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为 .
综合提升组
10设F1(-c,0),F2(c,0)为双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线C右支上异于顶点的任意一点,PQ为∠F1PF2的平分线,过点F1作PQ的垂线,垂足为Q,O为坐标原点,则|OQ|( )
A.为定值a
B.为定值b
C.为定值c
D.不确定,随点P位置变化而变化
11.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若=0,则C的离心率为 .
创新应用组
12.已知直线l1,l2是双曲线C:-y2=1的两条渐近线,P是双曲线C上一点,若点P到渐近线l1的距离的取值范围是,则点P到渐近线l2的距离的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
13.已知双曲线C:-y2=1,直线l:y=kx+m与双曲线C相交于A,B两点(A,B均异于左、右顶点),且以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D,则直线l所过定点为 .
参考答案
课时规范练46 双曲线
1.B 经过F(-c,0)和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,即
离心率为e=,解得a=b=2,则双曲线的方程为=1.故选B.
2.B 由题意得双曲线过第一象限的渐近线的方程为y=-x,过第二象限的渐近线的方程为y=x,直线FB的方程为y=k(x-),由得xB=,所以yB=又k<-1,所以S△BOF=|OF||yB|=-=,解得k=-2或k=(舍去).
3.B 设圆的圆心为G,双曲线的左焦点为F,切点为P.由圆的方程(x-)2+y2=4,知圆心G(,0),半径r=2,则|FG|=2,|PG|=2.由题意可知点P在双曲线E的右支上,则|PF|=|PG|+2a=2+2a.又PG⊥PF,所以|PF|2+|PG|2=|FG|2,即(2+2a)2+4=20,解得a=1.又c=,所以双曲线E的离心率e=故选B.
4.AC 由题意可设双曲线C的方程为-y2=λ(λ≠0),因为双曲线C过点(3,),所以λ=-()2=1.所以双曲线C的方程为-y2=1,故A正确;因为a=,b=1,所以c=2,所以离心率e=,故B错误;双曲线C的焦点坐标为(2,0),(-2,0),当x=2时,y=e0-1=0,所以双曲线y=ex-2-1经过双曲线C的一个焦点,故C正确;由得y2-2y+2=0,Δ=8-8=0,故直线x-y-1=0与双曲线C只有一个公共点,故D错误.
5.ABCD 由已知得a=4,b=3,c=5,不妨设点P(m,n),m>0,n>0,由△PF1F2的面积为20,可得|F1F2|n=cn=5n=20,即n=4.由=1,解得m=,故A正确.因为点P,4,F1(-5,0),F2(5,0),所以|PF1|=,|PF2|=,|F1F2|=10,所以|PF1|+|PF2|+|F1F2|=,cs∠F1PF2=,所以∠F1PF2<,故B,C正确.设△PF1F2的内切圆的半径为r,则r(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)=20,即r=20,解得r=,故D正确.
6.D 因为四边形OAFB为菱形,所以AB平分OF,所以c=2a,所以b=a.由解得
则点Pa,a.因为|PF|=-1,所以a-2a2+a2=(-1)2,解得a=1.所以b=所以双曲线E的方程为x2-=1.故选D.
7.D 解析∵双曲线=1的渐近线方程为y=±x,y2=4x的焦点坐标为(1,0),
直线l方程为=1,即y=-bx+b,
∴-b=-且-b=-1,
∴a=1,b=1.故选D.
8.y=±x ∵双曲线x2-=1(b>0)过点(3,4),∴32-=1,解得b2=2,即b=或b=-(舍去).
∵a=1,且双曲线的焦点在x轴上,
∴双曲线的渐近线方程为y=±x.
9.2 由题意可得A(a,0),F(c,0),其中c=
由BF垂直于x轴可得点B的横坐标为c,代入双曲线方程可得点B的坐标为B
∵AB的斜率为3,∴B
∵kAB==e+1=3,
∴e=2.
10.A 如图,延长F1Q,PF2交于点M,因为PQ为∠F1PF2的平分线,F1Q⊥PQ,所以三角形PF1M为等腰三角形,所以Q为F1M的中点,|PF1|=|PM|.由双曲线的定义,可得|PF1|-|PF2|=|PM|-|PF2|=|F2M|=2a,因为Q为F1M的中点,O为F1F2的中点,所以|OQ|=|F2M|=a.故选A.
11.2 如图,由,得|F1A|=|AB|.
又|OF1|=|OF2|,得BF2∥OA,且|BF2|=2|OA|.
由=0,得F1B⊥F2B.
则OA⊥F1A,|OB|=|OF1|=|OF2|.
故∠BOF2=∠AOF1=2∠OF1B,得∠BOF2=60°.
则=tan60°=所以e==2.
12.A 设点P(x0,y0),由题意,不妨设渐近线l1:x-2y=0,l2:x+2y=0,则点P到直线l1的距离d1=,点P到直线l2的距离d2=,所以d1d2=
又=1,即-4=4,
所以d1d2=,所以d2=
又d1,
所以d2故选A.
13.-,0 设点A(x1,y1),B(x2,y2),
由
得(1-4k2)x2-8kmx-4(m2+1)=0,
所以Δ=64k2m2+16(1-4k2)(m2+1)>0,x1+x2=,x1x2=,所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=
因为以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D(-2,0),所以kAD·kBD=-1,
即=-1,
所以y1y2+x1x2+2(x1+x2)+4=0,
即+4=0,所以3m2-16km+20k2=0,解得m=2k或m=
当m=2k时,直线l的方程为y=k(x+2),此时直线l过定点(-2,0),与已知矛盾;
当m=时,直线l的方程为y=kx+,此时直线l过定点-,0,经检验符合题意.
故直线l过定点-,0.