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2025届高考数学一轮复习专项练习课时规范练54离散型随机变量及其分布列

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这是一份2025届高考数学一轮复习专项练习课时规范练54离散型随机变量及其分布列，共8页。

1.一串钥匙有5把,只有一把能打开锁,依次试验,打不开的扔掉,直到找到能开锁的钥匙为止,则试验次数ξ的最大值为( )
A.5B.2C.3D.4
2.(多选)如果ξ是一个随机变量,则下列命题中正确的有( )
A.ξ取每一个可能值的概率都是非负数
B.ξ取所有可能值的概率之和是1
C.ξ的取值与自然数一一对应
D.ξ的取值是实数
3.若P(ξ≤x2)=1-β,P(ξ≥x1)=1-α,其中x1A.(1-α)(1-β)B.1-(α+β)
C.1-α(1-β)D.1-β(1-α)
4.设随机变量X的分布列如下,则P(|X-2|=1)等于( )
A.B.C.D.
5.已知随机变量X的概率分别为p1,p2,p3,且依次成等差数列,则公差d的取值范围是 .
6.设随机变量ξ只能取5,6,7,…,14这10个值,且取每一个值的概率均相等,则P(ξ≥10)= ;P(6<ξ≤14)= .
7.有编号为1,2,3,…,n的n个学生,入座编号为1,2,3,…,n的n个座位,每个学生规定坐一个座位,设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X,已知X=2时,共有6种坐法.
(1)求n的值;
(2)求随机变量X的分布列.
8. 2019年年底某汽车4S店为跟踪调查该店售后服务部的当年的服务质量,兑现奖惩,从购买该品牌汽车的顾客中随机抽出100位顾客对售后服务部的服务质量打分(5分制),得到如图所示的柱状图.
(1)从样本中任意选取3名顾客,求恰好有1名顾客的打分不低于4分的概率;
(2)若以这100位顾客打分的频率作为概率,在该4S店随机选取2名顾客进行打分(顾客打分之间相互独立),记X表示两人打分之差的绝对值,求X的分布列和E(X).
9.
为了减少雾霾,还城市一片蓝天,某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策,鼓励民众不开车低碳出行.市政府为了了解民众低碳出行的情况,统计了该市甲、乙两个单位各200名员工12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数,画出茎叶图如图所示.
(1)若甲单位数据的平均数是122,求x;
(2)现从图中的数据中任取4天的数据(甲、乙两个单位中各取2天),记抽取的4天中甲、乙两个单位员工低碳出行的人数不低于130的天数分别为ξ1,ξ2,令η=ξ1+ξ2,求η的分布列.
综合提升组
10.某工厂A,B两条相互独立的生产线生产同款产品,在产量一样的情况下,通过日常监控得知,A,B生产线生产的产品为合格品的概率分别为p和2p-1(0.5≤p≤1).
(1)从A,B生产线上各抽检一件产品,若使得这两件产品至少有一件合格的概率不低于0.995,求p的最小值p0;
(2)假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.
①已知A,B生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元,若从两条生产线上各随机抽检1 000件产品,以挽回损失的平均数作为判断依据,估计哪条生产线的挽回损失较多?
②若最终的合格品(包括返工修复后的合格品)按照一、二、三等级分类后,每件可分别获利10元、8元、6元,现从A,B生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行分级检测,结果统计如图所示,用样本的频率分布估计总体分布,记该工厂生产一件产品的利润为X,求X的分布列并估计该厂产量2 000件时利润的期望值.
11.经调查统计,网民在网上光顾某淘宝小店,经过一番浏览后,对该店铺中的A,B,C三件商品有购买意向.该淘宝小店推出每一件5元优惠的活动.已知某网民购买A,B,C商品的概率分别为,P1,P2(P1(1)求该网民分别购买A,B两件商品的概率;
(2)用随机变量X表示该网民购买商品所享受的优惠钱数,求X的分布列.
创新应用组
12.某班级50名学生的考试分数x分布在区间[50,100)内,设考试分数x的分布频率是f(x)且f(x)=考试成绩采用“5分制”,规定:考试分数在[50,60)内的成绩记为1分,考试分数在[60,70)内的成绩记为2分,考试分数在[70,80)内的成绩记为3分,考试分数在[80,90)内的成绩记为4分,考试分数在[90,100)内的成绩记为5分.在50名学生中用分层抽样的方法,从成绩为1分、2分及3分的学生中随机抽出6人,再从这6人中随机抽出3人,记这3人的成绩之和为ξ(将频率视为概率).
(1)求b的值,并估计该班的考试平均分数;
(2)求P(ξ=7);
(3)求ξ的分布列.
参考答案
课时规范练54 离散型随机变量
及其分布列
1.D 由于不能打开的钥匙会扔掉,故扔掉4把打不开的钥匙后,第5把钥匙就是能开锁的钥匙,ξ的最大值为4,故选D.
2.ABD 根据概率性质可得ξ取每一个可能值的概率都是非负数,所以A正确;ξ取所有可能值的概率之和是1,所以B正确;ξ的取值是实数,不一定是自然数,所以C错误,D正确.
3.B 显然P(ξ>x2)=β,P(ξx2)-P(ξ4.C 由+m+=1,得m=,所以P(|X-2|=1)=P(X=1)+P(X=3)=
5.- 由分布列的性质及等差数列的性质得p1+p2+p3=3p2=1,p2=,又得-d
6 由题意P(ξ=k)=,k=5,6,…,14.P(ξ≥10)=5
P(6<ξ≤14)=8
7.解 (1)因为当X=2时,有种坐法,所以=6,即=6,n2-n-12=0,解得n=4或n=-3(舍去),所以n=4.
(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X,由题意知X的可能取值是0,2,3,4,所以P(X=0)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,所以随机变量X的分布列为
8.解 (1)设“从样本中任意选取3名顾客,恰好有一名顾客的打分不低于4分”为事件A,从样本中选3人,共有种不同选法,恰好有1名顾客的打分不低于4分选法有,则P(A)=
(2)根据题意,每名顾客打分为2,3,4,5分的概率分别为0.2,0.3,0.3,0.2,X的可能取值为0,1,2,3;则P(X=0)=0.2×0.2+0.3×0.3+0.3×0.3+0.2×0.2=0.26,P(X=1)=2×0.2×0.3+2×0.3×0.3+2×0.2×0.3=0.42,P(X=2)=2×0.2×0.3+2×0.3×0.2=0.24,P(X=3)=2×0.2×0.2=0.08.X的分布列如下:
X的数学期望为E(X)=0×0.26+1×0.42+2×0.24+3×0.08=1.14.
9.解 (1)由题意知[105+107+113+115+119+126+(120+x)+132+134+141]=122,解得x=8.
(2)由题得ξ1的所有可能取值为0,1,2,ξ2的所有可能取值为0,1,2,因为η=ξ1+ξ2,所以随机变量η的所有可能取值为0,1,2,3,4.因为甲单位低碳出行的人数不低于130的天数为3,乙单位低碳出行的人数不低于130的天数为4,
所以P(η=0)=,
P(η=1)=,
P(η=2)=,P(η=3)=,
P(η=4)=
所以η的分布列为
10.解 (1)设“从A,B生产线上各抽检一件产品,至少有一件合格”为事件C,“从A生产线上抽检到合格品”为事件M,“从B生产线上抽检到合格品”为事件N,由题知,M,N为相互独立事件,所以P(M)=p,P(N)=2p-1,P(C)=1-P()=1-P()·P()=1-(1-p)[1-(2p-1)]=1-2(1-p)2,令1-2(1-p)2≥0.995,解得p≥0.95,故p的最小值p0=0.95.
(2)由(1)可知,A,B生产线生产的产品为合格品率分别为0.95和0.9,为不合格品的概率分别为0.05和0.1.①由题知,A生产线上随机抽检1000件产品,估计不合格品1000×0.05=50(件),可挽回损失为50×5=250(元),B生产线上随机抽检1000件产品,估计不合格品1000×0.1=100(件),可挽回损失为100×3=300(元).由此,估计B生产线挽回的平均损失较多.②由题知,X的所有可能取值为6,8,10,用样本的频率分布估计总体分布,则
P(X=6)=,P(X=8)=,P(X=10)=,
所以X的分布列为
所以E(X)=6+8+10=8.1(元).
故估计该厂产量为2000件时利润的期望值为2000×8.1=16200(元).
11.解(1)由题意可知,至少购买一件的概率为,∴一件都不买的概率为1-,即(1-P1)(1-P2)=,①
又最多购买两件商品的概率为,
∴三件都买的概率为1-,即P1P2=,②
联立①②可得
∵P1(2)由题意可得X可能的取值为0,5,10,15,
P(X=0)=,
P(X=5)=,
P(X=10)=,
P(X=15)=,
X的分布列为
12.解 (1)因为f(x)=
所以-0.4+-0.4+-0.4+-+b+-+b=1,所以b=1.9.
估计该班的考试平均分数为
-0.4×55+-0.4×65+-0.4×75+-+1.9×85+-+1.9×95=76.
(2)按分层抽样的方法分别从考试成绩记为1分,2分,3分的学生中抽出1人,2人,3人,再从这6人中抽出3人,所以P(ξ=7)=
(3)因为ξ的可能取值为5,6,7,8,9,所以P(ξ=5)=,P(ξ=6)=,P(ξ=7)=,
P(ξ=8)=,P(ξ=9)=故ξ的分布列为
X
1
2
3
4
P
m
X
0
2
3
4
P
X
0
1
2
3
P
0.26
0.42
0.24
0.08
η
0
1
2
3
4
P
X
6
8
10
P
X
0
5
10
15
P
ξ
5
6
7
8
9
P