2025届高考数学一轮复习专项练习课时规范练30等比数列

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1.等比数列{an}的前n项和为Sn,若a3+4S2=0,则公比q=( )
A.-1B.1C.-2D.2
2.等比数列{an}各项均为正数,若a1=1,an+2+2an+1=8an,则{an}的前6项和为( )
A.1 365B.63C.D.
3.(多选)设等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足a6=8a3,则( )
A.数列{an}的公比为2B.数列{an}的公比为8
C.=8D.=9
4.数列{an}中,a1=2,am+n=aman.若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,则k=( )
A.2B.3C.4D.5
5.由实数构成的等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差数列,则S6=( )
A.62B.124C.126D.154
6.(多选)设等比数列{an}的公比为q,则下列结论正确的是( )
A.数列{anan+1}是公比为q2的等比数列
B.数列{an+an+1}是公比为q的等比数列
C.数列{an-an+1}是公比为q的等比数列
D.数列是公比为的等比数列
7.已知数列{an}的前n项和为Sn,且=pSn+q(n∈N*,p≠-1),则“a1=q”是“{an}为等比数列”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则= .
9.已知{an}是递减的等比数列,且a2=2,a1+a3=5,则{an}的通项公式为 ;a1a2+a2a3+…+an(n∈N*)= .
10.等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记Sn为{an}的前n项和,若Sm=63,求m.
11.在①数列{an}的前n项和Sn=n2+n;②函数f(x)=sin πx-2cs 2x+的正零点从小到大构成数列{xn},an=xn+;③-an-=0(n≥2,n∈N*),an>0,且a1=b2这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的M存在,求出M的最小值;若M不存在,说明理由.
问题:数列{bn}是首项为1的等比数列,bn>0,b2+b3=12,且 ,设数列的前n项和为Tn,是否存在M∈N*,使得对任意的n∈N*,Tn综合提升组
12.(多选)设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn.前n项积为Tn,并且满足条件a1>1,a7·a8>1,<0.则下列结论正确的是( )
A.01
C.Sn的最大值为S9D.Tn的最大值为T7
13.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题:“今有垣厚若干尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢,各穿几何?”题意是:“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半.”如果墙足够厚,Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和,则Sn= 尺.
14.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=2,且an+2=2Sn-Sn+1+3,记bn=lg2a2n-1+lg2a2n,则bn= .
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15.(多选)在悠久灿烂的中国古代文化中,数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩.《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一,大约创作于公元五世纪.书中有如下问题:“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈,问日益几何?”.其大意为:“有一女子擅长织布,织布的速度一天比一天快,从第二天起,每天比前一天多织相同数量的布,第一天织5尺,一个月共织了九匹三丈,问从第二天起,每天比前一天多织多少尺布?”.已知1匹=4丈,1丈=10尺,若这一个月有30天,记该女子这一个月中的第n天所织布的尺数为an,bn=,对于数列{an},{bn},下列选项中正确的为( )
A.b10=8b5B.{bn}是等比数列
C.a1b30=105D.
16已知数列{an}满足a1=,an+1=,n∈N*.
(1)求证:数列-1为等比数列.
(2)是否存在互不相等的正整数m,s,t,使m,s,t成等差数列,且am-1,as-1,at-1成等比数列?如果存在,求出所有符合条件的m,s,t;如果不存在,请说明理由.
参考答案
课时规范练30 等比数列
1.C 因为a3+4S2=0,所以a1q2+4a1+4a1q=0.因为a1≠0,所以q2+4q+4=0,所以q=-2.故选C.
2.B ∵等比数列{an}各项均为正数,且an+2+2an+1=8an,∴anq2+2anq=8an,即q2+2q=8,可得q=2或q=-4(舍去),∴S6==63.故选B.
3.AD 因为等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足a6=8a3,所以=q3=8,解得q=2,所以=1+q3=9.故选AD.
4.B 设该女子第一天织布x尺,则=5,得x=,所以前n天所织布的总尺数为(2n-1).由(2n-1)≥30,得2n≥187,则n的最小值为8.故选B.
5.C 由题意知2a3=a2-4+a4,设{an}的公比为q,则解得q=2,则S6==126.故选C.
6.AD 对于A,由=q2(n≥2)知,数列{anan+1}是公比为q2的等比数列,故A正确;对于B,当q=-1时,数列{an+an+1}的项中有0,不是等比数列,故B错误;对于C,当q=1时,数列{an-an+1}的项中有0,不是等比数列,故C错误;对于D,,所以数列是公比为的等比数列,故D正确.故选AD.
7.C 因为an+1=pSn+q,所以当n≥2时,an=pSn-1+q,两式相减得an+1-an=pan,即当n≥2时,=1+p.当n=1时,a2=pa1+q.所以当a1=q时,=1+p,满足上式,故数列{an}为等比数列,所以满足充分性;当{an}为等比数列时,有a2=pa1+q=(1+p)a1,解得a1=q,所以满足必要性.故选C.
8 (方法1)由等比数列的性质可知S3,S6-S3,S9-S6仍成等比数列,由已知得S6=3S3,
,即S9-S6=4S3,S9=7S3,
(方法2)因为{an}为等比数列,由=3,设S6=3k,S3=k(k≠0),所以S3,S6-S3,S9-S6为等比数列,即k,2k,S9-S6成等比数列,所以S9-S6=4k,解得S9=7k,所以
9.an=4×n-1 1-n
由a2=2,a1+a3=5,{an}是递减的等比数列,得a1=4,a3=1,所以q=,an=4×n-1,则a1a2+a2a3+…+an是首项为8,公比为的等比数列的前n项和.故a1a2+a2a3+…+an=8+2++…+8×n-1=1-n.
10.解 (1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.
由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.
故an=(-2)n-1或an=2n-1.
(2)若an=(-2)n-1,则Sn=由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.
若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.
综上,m=6.
11.解 设数列{bn}的公比为q(q>0),因为数列{bn}是首项为1的等比数列,且bn>0,b2+b3=12,
所以q2+q-12=0,解得q=3(q=-4不合题意,舍去),所以bn=
若选①,由Sn=n2+n,可得(n-1)2+(n-1)(n≥2),两式相减可得an=n+2(n≥2),
又因为a1=S1=3也符合上式,所以an=n+2,所以,
则Tn=1-+…+=.
因为>0,所以Tn<,
由题意可得M,又因为M∈N*,所以存在M满足题意,并且M的最小值为1.
若选②,f(x)=sinπx-2cs2x+=sinπx-csπx=2sinπx-,
令f(x)=0,可得πx-=kπ,k∈Z,解得x=k+,k∈Z,即xn=n-1+=n-,故an=xn+=n+2,
同上①,则存在M满足题意,并且M的最小值为1.
若选③,则由-an-=0,得(an--1)(an+)=0.又因为an>0,所以an--1=0,即an-=1,所以数列{an}是公差为1的等差数列.又因为a1=b2,则a1=3,所以an=n+2.
同上①,则存在M满足题意,并且M的最小值为1.
12.AD ∵a1>1,a7·a8>1,可知q>0,又<0,∴a7>1,a8<1,
∴0∵a1>1,0又a7>1,a8<1,∴T7是数列{Tn}中的最大项,故D正确.故选AD.
13.2n-+1 由题意可知,大老鼠每天打洞的距离是以1为首项,2为公比的等比数列,
前n天打洞的距离之和为=2n-1.小老鼠每天打洞的距离是以1为首项,为公比的等比数列,前n天打洞的距离之和为=2-所以Sn=2n-1+2-=2n-+1.
14.2n-1 ∵a1=1,a2=2,且an+2=2Sn-Sn+1+3,∴当n=1时,a3=2-3+3=2.
∵an+2=2Sn-Sn+1+3,
∴当n≥2时,an+1=2Sn-1-Sn+3.
两式相减可得,an+2-an+1=2(Sn-Sn-1)-(Sn+1-Sn)(n≥2),
即当n≥2时,an+2-an+1=2an-an+1,
即an+2=2an.∵a3=2a1,
∴数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列,公比均为2,
∴a2n=2×2n-1=2n,a2n-1=1×2n-1=2n-1,∴bn=lg2a2n-1+lg2a2n=n-1+n=2n-1.
15.BD 由题意可知,数列{an}为等差数列,设数列{an}的公差为d,a1=5,
由题意可得30a1+=390,解得d=,∴an=a1+(n-1)d=
∵bn=,=2d(非零常数),则数列{bn}是等比数列,故B正确;
∵5d=53,=25d≠23,∴b10≠8b5,故A错误;
a30=a1+29d=5+16=21,
∴a1b30=5×221>105,故C错误;
∵a4=a1+3d=5+3,
a5=a1+4d=5+4,
,故D正确.故选BD.
16.(1)证明 因为an+1=,所以,所以-1=-1.
因为a1=,则-1=
所以数列-1是首项为,公比为的等比数列.
(2)解 不存在.理由如下,由(1)知,-1=n-1=,所以an=假设存在互不相等的正整数m,s,t满足条件,
则有
由an=与(as-1)2=(am-1)(at-1),得-12=-1-1.
即3m+t+2×3m+2×3t=32s+4×3s.
因为m+t=2s,所以3m+3t=2×3s.
因为3m+3t≥2=2×3s,当且仅当m=t时等号成立,
这与m,s,t互不相等矛盾.
所以不存在互不相等的正整数m,s,t满足条件.