2025届高考数学一轮复习专项练习课时规范练24平面向量的概念及线性运算

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1.(多选)已知下列各式,其中结果为零向量的为( )
A.
B.
C.
D.
2.(多选)以下说法正确的是( )
A.零向量与任一非零向量平行
B.零向量与单位向量的模不相等
C.平行向量方向相同
D.平行向量一定是共线向量
3.已知向量a=e1-2e2,b=2e1+e2,c=-6e1+2e2,其中e1,e2不共线,则a+b与c的关系为( )

A.不共线B.共线
C.相等D.无法确定
4.已知点G为△ABC的重心,若=a,=b,则=( )
A.a+bB.-a+b
C.a-bD.-a-b
5.在▱ABCD中,若||=||,则必有( )
A.▱ABCD为菱形B.▱ABCD为矩形
C.▱ABCD为正方形D.▱ABCD为梯形
6.设a,b是非零向量,则“a=2b”是“|a+b|≥|a|+|b|”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.下列说法中,正确的个数有( )
①单位向量都相等;②模相等的两个平行向量是相等向量;③若a,b满足|a|>|b|且a与b同向,则a>b;④若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合;⑤若a∥b,b∥c,则a∥c.
A.0个B.1个C.2个D.3个
8.已知向量e1与e2不共线,且向量=e1+me2,=ne1+e2,若A,B,C三点共线,则实数m,n满足的条件是( )
A.mn=1B.mn=-1
C.m+n=1D.m+n=-1
9.已知P为△ABC所在平面内一点,=0,||=||=||=2,则△ABC的面积等于( )
A.B.2
C.3D.4
10.(多选)设M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是( )
A.若,则M是边BC的中点
B.若=2,则点M在边BC的延长线上
C.若=-,则M是△ABC的重心
D.若=x+y,且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的
11.设向量a,b不平行,向量a+λb与-a+b平行.则实数λ= .
12.在等腰梯形ABCD中,设=a,=b,=2,M为BC的中点,则= (用a和b表示);当x= 时,|b-xa|最小.
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13.有下列说法,其中正确的是( )
A.若a∥b,b∥c,则a∥c
B.若2+3=0,S△AOC,S△ABC分别表示△AOC,△ABC的面积,则S△AOC∶S△ABC=1∶6
C.两个非零向量a,b,若|a-b|=|a|+|b|,则a与b共线且同向
D.若a∥b,则存在唯一实数λ使得a=λb
14.已知非零向量a,b满足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4,则|a+b|= .
15.A,B,C是平面上不共线的三点,O为△ABC所在平面内一点,D是AB的中点,动点P满足[(2-2λ)+(1+2λ)](λ∈R),则点P的轨迹一定过△ABC的 (内心、外心、垂心或重心).
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16.在△ABC中,有如下结论:若M为△ABC的重心,则=0.设a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,M为△ABC的重心.若a+b=0,则内角A的大小为 ;当a=3时,△ABC的面积为 .
17.
如图,在边长为2的正六边形ABCDEF中,动圆Q的半径为1,圆心在线段CD(含端点)上运动,P是圆Q上及内部的动点,设向量=m+n(m,n为实数),则m+n的最大值为 .
参考答案
课时规范练24 平面向量的
概念及线性运算
1.AD =0,故A正确;,故B不正确;,故C不正确;=0,故D正确.故选AD.
2.ABD 对于A,根据零向量的性质,可知A正确;
对于B,由零向量的模是0,单位向量的模是1,可知B正确;
对于C,平行向量的方向相同或相反,故C不正确;
对于D,由平行向量的性质可知,平行向量就是共线向量,故D正确.故选ABD.
3.B ∵a+b=3e1-e2,∴c=-2(a+b),
∴a+b与c共线.故选B.
4.B 设D是AC中点,则),又G为△ABC的重心,)=)=(-)=-=-a+b.故选B.
5.B ,又||=||,∴||=||,∴BD=AC,∴▱ABCD为矩形.故选B.
6.A 当a=2b时,|a+b|=3|b|,|a|+|b|=3|b|,此时|a+b|≥|a|+|b|成立.
当|a+b|≥|a|+|b|时,如a=b也满足条件,此时a=2b不成立.
故“a=2b”是“|a+b|≥|a|+|b|”的充分不必要条件.故选A.
7.A 单位向量的大小相等,但方向不一定相同,故①错误;模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量,故②错误;向量是有方向的量,不能比较大小,故③错误;向量是可以自由平移的矢量,当两个向量相等时,它们的起点和终点不一定相同,故④错误;当b=0时,a∥b,b∥c,则a与c不一定平行.综上,正确的说法个数有0个,故选A.
8.A 因为A,B,C三点共线,所以一定存在一个确定的实数λ,使得=,所以有e1+me2=nλe1+λe2,由此可得所以mn=1.故选A.
9.B 由||=||得,△PBC是等腰三角形.取BC的中点D,连接PD,则PD⊥BC.又=0,所以=-()=-2,所以PD=AB=1,且PD∥AB,故AB⊥BC,即△ABC是直角三角形.由||=2,||=1可得||=,则||=2,所以△ABC的面积为2×2=2
10.
ACD 若,则M是边BC的中点,故A正确;若=2,即有,即,则点M在边CB的延长线上,故B错误;若=-,即=0,则M是△ABC的重心,故C正确;若=x+y,且x+y=,可得2=2x+2y,2x+2y=1,设=2,则=2x+2y,2x+2y=1,可知B,N,C三点共线,由图可得M为AN的中点,则△MBC的面积是△ABC面积的,故D正确.故选ACD.
11.-4 ∵a,b不平行,a+b与-a+b平行,∴存在实数μ,使a+b=μ(-a+b),=-4.
12a+b -
∵M为BC的中点,)=)=a+b+2a=a+b.
如图,设=xa,则b-xa=,∴当ED⊥AB时,|b-xa|最小,此时由几何知识易得x=-
13.B A错误,例如b=0,推不出a∥c;设AC的中点为M,BC的中点为D,因为2+3=0,所以2×2+2=0,即2=-,所以O是MD的三等分点,可知O到AC的距离等于D到AC距离的,而B到AC的距离等于D到AC距离的2倍,故可知O到AC的距离等于B到AC距离的,根据三角形面积公式可知B正确;C错误,两边平方可得-2a·b=2|a||b|,所以cs=-1,即夹角为π,两向量反向,结论不正确;D错误,例如a=0,b=0,λ值不唯一.故选B.
14.4 如图,=a,=b,则=a-b.以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则=a+b.由于=42,故||2+||2=||2.
所以△OAB是以∠AOB为直角的直角三角形,从而OA⊥OB,所以▱OACB为矩形,根据矩形的对角线相等有||=||=4,即|a+b|=4.
15.重心 ∵动点P满足[(2-2λ)+(1+2λ)](λ∈R),且(2-2λ)+(1+2λ)=1,∴P,C,D三点共线.又D是AB的中点,∴CD为中线,∴点P的轨迹一定过△ABC的重心.
16 由a+b=a+bc(-)=a-c+b-c=0,且不共线,∴a-c=b-c=0,∴a=b=c.在△ABC中,由余弦定理可求得csA=,∴A=若a=3,则b=3,c=3,S△ABC=bcsinA=3×3
17.
5 如图所示,设点O为正六边形的中心,则
①当动圆Q的圆心位于点C时,与边BC交于点P1,P1为边BC的中点.连接OP1,
则共线,∴存在实数t,使得=t,
+t=(1+t)+(1-t),
∴此时m+n=1+t+1-t=2,取得最小值.
②当动圆Q的圆心位于点D时,取AD的延长线与圆Q的交点为P2,)=,
此时m+n=5,取得最大值.